Đề thi giữa học kỳ 1 Toán 11 Kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 1 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM:
Câu 1. Đổi từ rađian sang độ với số đo $ – \frac{{13\pi }}{5}$ ta được
A. ${36^ \circ }$.
B. ${468^ \circ }$.
C. $ – {468^ \circ }$.
D. ${486^ \circ }$.
Câu 2. Điểm $M$ trên đường tròn lượng giác dưới đây biểu diễn cho góc lượng giác nào trong các đáp án $A,B,C,D$ ?
A. $\frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$
B. $\frac{{2\pi }}{3}$.
C. $ – \frac{{2\pi }}{3}$.
D. $ – \frac{{5\pi }}{3}$
Câu 3. Chọn khẳng định đúng.
A. $tan\left( {a – b} \right) = \frac{{tana – tanb}}{{1 – tanatanb}}$.
B. $tan\left( {a – b} \right) = \frac{{tana + tanb}}{{1 – tanatanb}}$.
C. $tan\left( {a + b} \right) = \frac{{tana + tanb}}{{1 – tanatanb}}$.
D. $tan\left( {a + b} \right) = \frac{{tana – tanb}}{{1 + tanatanb}}$.
Câu 4. Giả sử các đẳng thức đều có nghĩa. Đẳng thức sai trong các đẳng thức sau là
A. $1 + sin2a = {(sina + cosa)^2}$.
B. $tan2a = \frac{{2ta{n^2}a}}{{1 – tana}}$.
C. $1 – cos2a = 2si{n^2}a$.
D. $sina + cosa = \sqrt 2 sin\left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)$.
Câu 5. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số $y = cosx$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
B. Hàm số $y = cosx$ có tập giá trị là $\left[ { – 1;1} \right]$.
C. Hàm số $y = cosx$ là hàm số lẻ.
D. Hàm số $y = cosx$ tuần hoàn với chu kì $2\pi $.
Câu 6. Tập xác định của hàm số $\frac{{cosx}}{{si{n^2}x}}$ là
A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$.
B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$.
C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$
D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$.
Câu 7. Hàm số $y = Asin\omega t\left( {\omega \ne 0} \right)$ là hàm số tuần hoàn với chu kì
A. $T = \frac{{2\pi }}{\omega }$.
B. $T = \frac{{2\pi }}{{\left| \omega \right|}}$.
C. $T = 2\pi $.
D. $T = – \frac{{2\pi }}{{\left| \omega \right|}}$.
Câu 8. Phép biến đổi nào trong các phép biến đổi sau đây không phải là phép biến đổi tương đương?
A. Cộng hai vế của một phương trình với cùng một số thực dương.
B. Trừ hai vế của một phương trình với cùng một số thực âm.
C. Nhân hai vế của một phương trình với cùng một số thực âm.
D. Bỏ mẫu của phương trình chứa ẩn dưới mẫu.
Câu 9. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $cosu = cosv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k2\pi } \\
{u = \pi – v + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
B. $cosu = cosv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k2\pi } \\
{u = – v + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$
C. $cosu = cosv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k\pi } \\
{u = \pi – v + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
D. $cosu = cosv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k\pi } \\
{u = – v + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
Câu 10. Tất cả các nghiệm của phương trình $sinx = 1$ là
A. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
B. $x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C. $x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
D. $x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Câu 11. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.
B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên.
C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.
D. Một dãy số không đổi thì bị chặn.
Câu 12. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = {( – 1)^n}$. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định dưới đây.
A. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.
B. ${\;^{\left( {{u_n}} \right)}}$ là dãy số không bị chặn.
C. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn trên.
D. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn dưới.
Câu 13. Dãy số này dưới đây là một cấp số cộng?
A. $1; – 3; – 7; – 11; – 15; \ldots $.
B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12; \ldots $.
C. $1; – 2; – 4; – 6; – 8; \ldots $.
D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9; \ldots $.
Câu 14. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = – \frac{1}{2}$ và công sai $d = \frac{1}{2}$. Năm số hạng đầu liên tiếp của cấp số cộng này là
A. $ – \frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1$.
B. $ – \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}$.
C. $\frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1$.
D. $ – \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}$.
Câu 15. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân.
A. $1;3;5;7;9$.
B. $ – 1; – 3;1;3;5$.
C. $1;2;4;16;256$.
D. $1;2;4;8;16$.
Câu 16. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{3}{2} \cdot {5^n}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.
B. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = 5$ và số hạng đầu ${u_1} = \frac{3}{2}$.
C. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = 5$ và số hạng đầu ${u_1} = \frac{{15}}{2}$.
D. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = 5$ và số hạng đầu ${u_1} = 3$.
Câu 17. Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:
| Nhóm | [0;2) | [2;4) | [4;6) | [6;8) | [8;10) | [10;12) | [12;14) |
| Tần số | 5 | 10 | 40 | 20 | 16 | 3 | 6 |
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Giá trị 4 thuộc vào nhóm $\left[ {2;4} \right)$.
B. Tần số của nhóm $\left[ {8;10} \right)$ là 20 .
C. Tần số của nhóm $\left[ {4;6} \right)$ là 40 .
D. Giá trị 3 thuộc vào nhóm $\left[ {10;12} \right)$.
Câu 18. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 20 con mèo vừa chào đời.
| Cân nặng (gam) | [90;95) | [95;100) | [100;105) | [105;110) | [110;115) |
| Số lượng | 3 | 3 | 6 | 6 | 2 |
Hãy cho biết có bao nhiêu con mèo có cân nặng nhỏ hơn 100 gam trong mẫu số liệu trên.
A. 12 .
B. 6 .
C. 9 .
D. 10 .
Câu 19. Mẫu số liệu ở Câu 18 có số mốt là
A. 1 .
B. 2 .
C. $\left[ {100;105} \right)$.
D. $\left[ {105;110} \right)$.
Câu 20. Nhóm chứa trung vị trong mẫu số liệu ở Câu 18 là
A. $\left[ {90;95} \right)$.
B. $\left[ {95;100} \right)$.
C. $\left[ {100;105} \right)$.
D. $\left[ {105;110} \right)$.
Câu 21. Cho $tan\alpha = – \frac{4}{5}$ với $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi $. Khi đó
A. $sin\alpha = – \frac{4}{{\sqrt {41} }},cos\alpha = – \frac{5}{{\sqrt {41} }}$.
B. $sin\alpha = \frac{4}{{\sqrt {41} }},\;cos\alpha = \frac{5}{{\sqrt {41} }}$.
C. $sin\alpha = – \frac{4}{{\sqrt {41} }}cos\alpha = \frac{5}{{\sqrt {41} }}$.
D. $sin\alpha = \frac{4}{{\sqrt {41} }},cos\alpha = – \frac{5}{{\sqrt {41} }}$.
Câu 22. Cho hai góc nhọn $a$ và $b$ với $sina = \frac{1}{3},sinb = \frac{1}{2}$. Giá trị của $sin2\left( {a + b} \right)$ là
A. $\frac{{2\sqrt 2 + 7\sqrt 3 }}{{18}}$.
B. $\frac{{3\sqrt 2 + 7\sqrt 3 }}{{18}}$.
C. $\frac{{4\sqrt 2 + 7\sqrt 3 }}{{18}}$.
D. $\frac{{5\sqrt 2 + 7\sqrt 3 }}{{18}}$.
Câu 23. Biểu thức $A = \frac{{2co{s^2}2\alpha + \sqrt 3 sin4\alpha – 1}}{{2si{n^2}2\alpha + \sqrt 3 sin4\alpha – 1}}$ có kết quả rút gọn là
A. $\frac{{cos\left( {4\alpha + {{30}^ \circ }} \right)}}{{cos\left( {4\alpha – {{30}^ \circ }} \right)}}$.
B. $\frac{{cos\left( {4\alpha – {{30}^ \circ }} \right)}}{{cos\left( {4\alpha + {{30}^ \circ }} \right)}}$.
C. $\frac{{sin\left( {4\alpha + {{30}^ \circ }} \right)}}{{sin\left( {4\alpha – {{30}^ \circ }} \right)}}$.
D. $\frac{{sin\left( {4\alpha – {{30}^ \circ }} \right)}}{{sin\left( {4\alpha + {{30}^ \circ }} \right)}}$.
Câu 24. Hàm số $y = sinx$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( {\frac{{19\pi }}{2};10\pi } \right)$.
B. $\left( { – 6\pi ; – 5\pi } \right)$.
C. $\left( { – \frac{{7\pi }}{2}; – 3\pi } \right)$.
D. $\left( {7\pi ;\frac{{15\pi }}{2}} \right)$.
Câu 25. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = 7 – 2cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ lần lượt là
A. $ – 2;7$.
B. $5;9$.
C. $ – 2;2$.
D. $4;7$.
Câu 26. Giải phương trình $sinx = – sin\left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$.
A. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
B. $x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C. $x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
D. $x = – \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Câu 27. Phương trình $sinx – \sqrt 3 cosx = 1$ chỉ có các nghiệm là
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \;\mathbb{Z}.\;} \right)} \right.$
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{x = – \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}(k \in \;} \right.\mathbb{Z})$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}\;} \right)} \right.$
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{x = – \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}(k \in \;} \right.\mathbb{Z})$
Câu 28. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = \frac{{2n}}{{{n^2} + 1}}$. Số $\frac{9}{{41}}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ ?
A. 10 .
B. 9.
C. 8 .
D. 11.
Câu 29. Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?
A. ${a_n} = \sqrt {n + 10} $.
B. ${b_n} = \sqrt {5n + 10} $.
C. ${u_n} = \sqrt {n + 10} + \sqrt {20 – n} $.
D. ${v_n} = \sqrt {5n – 6} $.
Câu 30. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_5} = 18$ và $4{S_n} = {S_{2n}}$. Số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ là
A. ${u_1} = 3;d = 2$.
B. ${u_1} = 2;d = 2$.
C. ${u_1} = 2;d = 4$.
D. ${u_1} = 2;d = 3$.
Câu 31. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_{20}} = – 52$ và ${u_{51}} = – 145$. Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là:
A. ${u_n} = – 3n + 8$.
B. ${u_n} = 5 + 3\left( {n – 1} \right)$.
C. ${u_n} = 3n – 3$.
D. ${u_n} = – 3n + 5$.
Câu 32. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 24$ và $\frac{{{u_4}}}{{{u_{11}}}} = 16384$. Số hạng ${u_{17}}$ là
A. $\frac{3}{{67108864}}$.
B. $\frac{3}{{368435456}}$.
C. $\frac{3}{{536870912}}$.
D. $\frac{3}{{2147483648}}$.
Câu 33. Tính tổng
$S = 9 + 99 + 999 + \ldots .. + \mathop {999999999}\limits_{9\;chu\;so\,9\;} $ ta được kết quả là
A. 111111110 .
B. 111111111 .
C. 1111111111 .
D. 1111111101 .
Câu 34. Người ta tiến hành phỏng vấn 50 người về một mẫu áo phông mới. Người điều tra yê cầu cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm 100 . Kết quả được trình bày trong bảng sau:
| Nhóm | [50;60) | [60;70) | [70;80) | [80;90) | [90;100) |
| Số lượng | 9 | 10 | 23 | 6 | 2 |
Điểm trung bình của mẫu áo trong mẫu số liệu trên là
A. 74,1 .
B. 74,34 .
C. 71,14 .
D. 71,4 .
Câu 35. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên Câu 34 gần nhất với giá trị nào dưới đây.
A. 72 .
B. 73 .
C. 74 .
D. 75 .
PHẦN II. TỰ LUẬN
Bài 1. (1 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:
a) $sin\left( {x – {{120}^ \circ }} \right) – cos2x = 0$;
b) $cosx \cdot cos2x \cdot cos4x \cdot cos8x = \frac{1}{{16}}$.
Bài 2. (1 điểm) Cho 2 cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số cộng có 100 số hạng: $4,7,10,13,16, \ldots $ và $1,6,11,16,21, \ldots $. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả 2 cấp số trên.
Bài 3. (1 điểm) Để kiểm tra thời gian sử dụng của quạt tích điện, Hằng thống kê thời gian sử dụng quạt của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:
| Thời gian sử dụng (giờ) | [7;9) | [9;11) | [11;13) | [13;15) | [15;17) |
| Số lần | 2 | 5 | 7 | 5 | 1 |
a) Hãy ước lượng thời gian sử dụng trung bình từ lúc Hằng sạc đầy quạt cho tới khi hết pin.
b) Hằng cho rằng có khoảng $25\% $ số lần sạc pin quạt chỉ dùng được dưới 10 giờ. Nhận định của Hằng có hợp lí không?
—–HẾT—–
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
Bảng đáp án trắc nghiệm
| 1.C | 2. B | 3. B | 4. B | 5. C | 6. A | 7. B |
| 8. D | 9. B | 10. A | 11. C | 12. A | 13. A | 14. D |
| 15. D | 16. C | 17.C | 18.B | 19. B | 20. C | 21. C |
| 22. C | 23. C | 24.A | 25.B | 26. C | 27. A | 28. B |
| 29. C | 30. C | 31. A | 32. C | 33. D | 34. D | 35. B |
Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm
Câu 1. Đổi từ rađian sang độ với số đo $ – \frac{{13\pi }}{5}$ ta được
A. ${36^ \circ }$.
B. ${468^ \circ }$.
C. $ – {468^ \circ }$.
D. ${486^ \circ }$.
Đáp án đúng là: $C$
Ta có:
$ – \frac{{13\pi }}{5} = – \frac{{13\pi }}{5} \cdot {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^ \circ } = – {468^ \circ }$
Câu 2. Điểm $M$ trên đường tròn lượng giác dưới đây biểu diễn cho góc lượng giác nào trong các đáp án $A,B,C,D$ ?
A. $\frac{{2\pi }}{3} + k\pi \;$.
B. $\frac{{2\pi }}{3}$.
C. $ – \frac{{2\pi }}{3}$.
D. $ – \frac{{5\pi }}{3}$
Đáp án đúng là: $B$
Điểm $M$ trên đường tròn lượng giác đã cho biểu diễn cho góc lượng giác $\frac{{2\pi }}{3}$.
Câu 3. Chọn khẳng định đúng.
A. $tan\left( {a – b} \right) = \frac{{tana – tanb}}{{1 – tanatanb}}$.
B. $tan\left( {a – b} \right) = \frac{{tana + tanb}}{{1 – tanatanb}}$.
C. $tan\left( {a + b} \right) = \frac{{tana + tanb}}{{1 – tanatanb}}$
D. $tan\left( {a + b} \right) = \frac{{tana – tanb}}{{1 + tanatanb}}$.
Đáp án đúng là: $C$
Chọn ${\mathbf{C}}$ vì đúng theo công thức cộng.
Câu 4. Giả sử các đẳng thức đều có nghĩa. Đẳng thức sai trong các đẳng thức sau là
A. $1 + sin2a = {(sina + cosa)^2}$.
B. $tan2a = \frac{{2tana}}{{1 – tana}}$
C. $1 – cos2a = 2si{n^2}a$.
D. $sina + cosa = \sqrt 2 sin\left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)$.
Đáp án đúng là: $B$
• Theo công thức góc nhân đôi và hệ thức lượng giác cơ bản ta có:
$1 + sin2a = si{n^2}a + co{s^2}a + 2sinacosa = {(sina + cosa)^2}$, do đó đáp án A đúng.
• Theo công thức góc nhân đôi, ta có $tan2a = \frac{{2tana}}{{1 – ta{n^2}a}}$, do đó đáp án $B$ sai.
• Ta có: $cos2a = 1 – 2si{n^2}a \Rightarrow 2si{n^2}a = 1 – cos2a$, do đó đáp án $C$ đúng.
• Theo công thức cộng ta có:
$\sqrt 2 sin\left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \left( {sinasin\frac{\pi }{4} + cosacos\frac{\pi }{4}} \right) = sina + cosa$, do đó đáp án D đúng.
Câu 5. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số $y = cosx$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.
B. Hàm số $y = cosx$ có tập giá trị là $\left[ { – 1;1} \right]$.
C. Hàm số $y = cosx$ là hàm số lẻ.
D. Hàm số $y = cosx$ tuần hoàn với chu kì $2\pi $.
Đáp án đúng là: $C$
Các đáp án $A,B,D$ đúng theo lý thuyết.
Hàm số $y = cosx$ là hàm số chẵn. Vậy đáp án $C$ sai.
Câu 6. Tập xác định của hàm số $y = \frac{{cosx}}{{si{n^2}x}}$ là
A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$.
B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$.
C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$
D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ { – \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\;} \right\}$.
Đáp án đúng là: A
Hàm số $y = \frac{{cosx}}{{si{n^2}x}}$ xác định khi ${\sin ^2}x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi $
Câu 7. Hàm số $y = Asin\omega t\left( {\omega \ne 0} \right)$ là hàm số tuần hoàn với chu kì
A. $T = \frac{{2\pi }}{\omega }$.
B. $T = \frac{{2\pi }}{{\left| \omega \right|}}$.
C. $T = 2\pi $.
D. $T = – \frac{{2\pi }}{{\left| \omega \right|}}$.
Đáp án đúng là: $B$
Hàm số $y = Asin\omega t\left( {\omega \ne 0} \right)$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T = \frac{{2\pi }}{{\left| \omega \right|}}$.
Câu 8. Phép biến đổi nào trong các phép biến đổi sau đây không phải là phép biến đổi tương đương?
A. Cộng hai vế của một phương trình với cùng một số thực dương.
B. Trừ hai vế của một phương trình với cùng một số thực âm.
C. Nhân hai vế của một phương trình với cùng một số thực âm.
D. Bỏ mẫu của phương trình chứa ẩn dưới mẫu.
Đáp án đúng là: D
Khi bỏ mẫu trong phương trình chứa ẩn dưới mẫu, ta đã thay đổi điều kiện của phương trình, do đó đây không phải phép biến đổi tương đương.
Câu 9. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $cosu = cosv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k2\pi } \\
{u = \pi – v + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
B. $cosu = cosv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k2\pi } \\
{u = – v + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$
C. $cosu = cosv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k\pi } \\
{u = \pi – v + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
D. $cosu = cosv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k\pi } \\
{u = – v + k\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
Đáp án đúng là: $B$
Theo lí thuyết ta có $cosu = cosv \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = v + k2\pi } \\
{u = – v + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$.
Câu 10. Tất cả các nghiệm của phương trình $sinx = 1$ là
A. $x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Q}} \right)$.
B. $x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Q}} \right)$.
C. $x = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Q}} \right)$.
D. $x = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Q}} \right)$.
Đáp án đúng là: $A$
Ta có: $sinx = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Câu 11. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.
B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên.
C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.
D. Một dãy số không đổi thì bị chặn.
Đáp án đúng là: $C$
+) Mỗi dãy số tăng đều bị chặn dưới bởi số hạng đầu ${u_1}$ vì ${u_1} < {u_2} < {u_3} < \ldots $, do đó đáp án $A$ đúng.
+) Mỗi dãy số giảm đều bị chặn trên bởi số hạng đầu ${u_1}$ vì ${u_1} > {u_2} > {u_3} > \ldots $, do đó đáp án $B$ đúng.
+) Một dãy số bị chặn không nhất thiết phải là dãy số tăng hoặc giảm. Vậy đáp án C sai.
+) Đáp án $D$ đúng do một dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ không đổi thì mọi số hạng luôn bằng nhau và luôn tồn tại $m,M$ để $m \leqslant {u_n} \leqslant M$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$.
Câu 12. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = {( – 1)^n}$. Chọn khẳng định đúng nhất trong các khẳng định dưới đây.
A. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.
B. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số không bị chặn.
C. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn trên.
D. $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn dưới.
Đáp án đúng là: $A$
Ta có: $ – 1 \leqslant {( – 1)^n} \leqslant 1 \Rightarrow – 1 \leqslant {u_n} \leqslant 1$.
Do đó, $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.
Câu 13. Dãy số này dưới đây là một cấp số cộng?
A. $1; – 3; – 7; – 11; – 15; \ldots $.
B. $1; – 3; – 6; – 9; – 12; \ldots $.
C. $1; – 2; – 4; – 6; – 8; \ldots $.
D. $1; – 3; – 5; – 7; – 9; \ldots $.
Đáp án đúng là: $A$
Dãy số $1; – 3; – 7; – 11; – 15; \ldots $ là một cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công sai $d = – 4$.
Câu 14. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = – \frac{1}{2}$ và công sai $d = \frac{1}{2}$. Năm số hạng đầu liên tiếp của cấp số cộng này là
A. $ – \frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1$.
B. $ – \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}$.
C. $\frac{1}{2};0;1;\frac{1}{2};1$.
D. $ – \frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}$.
Đáp án đúng là: D
Ta có ${u_1} = – \frac{1}{2},d = \frac{1}{2}$, do đó:
${u_2} = – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0,{u_3} = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2},{u_4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\;{u_5} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Câu 15. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân.
A. $1;3;5;7;9$.
B. $ – 1; – 3;1;3;5$.
C. $1;2;4;16;256$.
D. $1;2;4;8;16$.
Đáp án đúng là: D
Xét dãy số $1;2;4;8;16$, ta có: $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{8}{4} = \frac{{16}}{8} = 2$.
Vậy dãy số trên là cấp số nhân.
Câu 16. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$với ${u_n} = \frac{3}{2} \cdot {5^n}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.
B. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = 5$ và số hạng đầu ${u_1} = \frac{3}{2}$.
C. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = 5$ và số hạng đầu ${u_1} = \frac{{15}}{2}$.
D. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = 5$ và số hạng đầu ${u_1} = 3$.
Đáp án đúng là: $C$
Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{3}{2} \cdot {5^{n + 1}}}}{{\frac{3}{2} \cdot {5^n}}} = \frac{{5 \cdot {5^n}}}{{{5^n}}} = 5$ luôn không đổi với mọi $n \in {\mathbb{Z}^*}$.
Do đó, $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = 5$ và số hạng đầu ${u_1} = \frac{3}{2} \cdot {5^1} = \frac{{15}}{2}$.
Câu 17. Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:
| Nhóm | [0;2) | [2;4) | [4;6) | [6;8) | [8;10) | [10;12) | [12;14) |
| Tần số | 5 | 10 | 40 | 20 | 16 | 3 | 6 |
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Giá trị 4 thuộc vào nhóm $\left[ {2;4} \right)$.
B. Tần số của nhóm $\left[ {8;10} \right)$ là 20 .
C. Tần số của nhóm $\left[ {4;6} \right)$ là 40 .
D. Giá trị 3 thuộc vào nhóm $\left[ {10;12} \right)$.
Đáp án đúng là: $C$
Quan sát mẫu số liệu đã cho, ta có:
• Giá trị 4 không thuộc vào nhóm [2;4).
• Tần số của nhóm [8;10) là 16 .
• Tần số của nhóm $\left[ {4;6} \right)$ là 40.
• Giá trị 3 không thuộc nhóm [10;12).
Câu 18. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 20 con mèo vừa chào đời.
| Cân nặng (gam) | [90;95) | [95;100) | [100;105) | [105;110) | [110;115) |
| Số lượng | 3 | 3 | 6 | 6 | 2 |
Hãy cho biết có bao nhiêu con mèo có cân nặng nhỏ hơn 100 gam trong mẫu số liệu trên.
A. 12 .
B. 6 .
C. 9 .
D. 10 .
Đáp án đúng là: $B$
Số con mèo có cân nặng nhỏ hơn 100 gam trong mẫu số liệu trên là $3 + 3 = 6$ (con).
Câu 19. Mẫu số liệu ở Câu 18 có số mốt là
A. 1 .
B. 2 .
C. $\left[ {100;105} \right)$.
D. $\left[ {105;110} \right)$.
Đáp án đúng là: $B$
Tần số lớn nhất trong mẫu số liệu ở Câu 18 là 6 và có hai nhóm cùng có tần số 6 là nhóm $\left[ {100;105} \right)$ và $\left[ {105;110} \right)$, do đó mẫu số liệu này có 2 mốt.
Câu 20. Nhóm chứa trung vị trong mẫu số liệu ở Câu 18 là
A. $\left[ {90;95} \right)$.
B. $\left[ {95;100} \right)$.
C. $\left[ {100;105} \right)$.
D. $\left[ {105;110} \right)$.
Đáp án đúng là: $C$
Ta có cỡ mẫu $n = 20$.
Gọi ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{20}}$ là cân nặng của 20 con mèo mới chào đời và giả sử dãy này đã được xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị là $\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}$. Do ${x_{10}},{x_{11}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {100;105} \right)$ nên nhóm này chứa trung vị của mẫu số liệu.
Câu 21. Cho $tan\alpha = – \frac{4}{5}$ với $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi $. Khi đó
A. $sin\alpha = – \frac{4}{{\sqrt {41} }},\;cos\alpha = – \frac{5}{{\sqrt {41} }}$.
B. $sin\alpha = \frac{4}{{\sqrt {41} }},\;cos\alpha = \frac{5}{{\sqrt {41} }}$.
C. $sin\alpha = – \frac{4}{{\sqrt {41} }}cos\alpha = \frac{5}{{\sqrt {41} }}$.
D. $sin\alpha = \frac{4}{{\sqrt {41} }},cos\alpha = – \frac{5}{{\sqrt {41} }}$.
Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$
$1 + ta{n^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }} \Rightarrow 1 + \frac{{16}}{{25}} = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }} \Rightarrow \frac{1}{{co{s^2}\alpha }} = \frac{{41}}{{25}}$
$ \Rightarrow co{s^2}\alpha = \frac{{25}}{{41}} \Rightarrow cos\alpha = \pm \frac{5}{{\sqrt {41} }}$
Vì $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha \left\langle {2\pi \Rightarrow cos\alpha } \right\rangle 0 \Rightarrow cos\alpha = \frac{5}{{\sqrt {41} }}$
Ta có $tan\alpha = \frac{{sin\alpha }}{{cos\alpha }}$
$ \Rightarrow sin\alpha = tan\alpha \cdot cos\alpha = – \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{{\sqrt {41} }} = – \frac{4}{{\sqrt {41} }}$.
Câu 22. Cho hai góc nhọn $a$ và $b$ với $sina = \frac{1}{3},sinb = \frac{1}{2}$. Giá trị của $sin2\left( {a + b} \right)$ là
A. $\frac{{2\sqrt 2 + 7\sqrt 3 }}{{18}}$.
B. $\frac{{3\sqrt 2 + 7\sqrt 3 }}{{18}}$.
C. $\frac{{4\sqrt 2 + 7\sqrt 3 }}{{18}}$.
D. $\frac{{5\sqrt 2 + 7\sqrt 3 }}{{18}}$.
Đáp án đúng là: $C$ Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < a < \frac{\pi }{2}} \\
{sina = \frac{1}{3}}
\end{array} \Rightarrow cosa = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < b < \frac{\pi }{2}} \\
{sinb = \frac{1}{2}}
\end{array} \Rightarrow cosb = \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right.} \right.$
$sin2\left( {a + b} \right) = 2sin\left( {a + b} \right) \cdot cos\left( {a + b} \right) = 2\left( {sina \cdot cosb + sinb \cdot cosa} \right)\left( {cosa \cdot cosb – sina \cdot sinb} \right)$
$ = 2\left( {\frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) \cdot \left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} \right)$
$ = \frac{{4\sqrt 2 + 7\sqrt 3 }}{{18}}$.
Câu 23. Biểu thức $A = \frac{{2co{s^2}2\alpha + \sqrt 3 sin4\alpha – 1}}{{2si{n^2}2\alpha + \sqrt 3 sin4\alpha – 1}}$ có kết quả rút gọn là
A. $\frac{{cos\left( {4\alpha + {{30}^ \circ }} \right)}}{{cos\left( {4\alpha – {{30}^ \circ }} \right)}}$.
B. $\frac{{cos\left( {4\alpha – {{30}^ \circ }} \right)}}{{cos\left( {4\alpha + {{30}^ \circ }} \right)}}$.
C. $\frac{{sin\left( {4\alpha + {{30}^ \circ }} \right)}}{{sin\left( {4\alpha – {{30}^ \circ }} \right)}}$.
D. $\frac{{sin\left( {4\alpha – {{30}^ \circ }} \right)}}{{sin\left( {4\alpha + {{30}^ \circ }} \right)}}$.
Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$
Ta có
$A = \frac{{2co{s^2}2\alpha + \sqrt 3 sin4\alpha – 1}}{{2si{n^2}2\alpha + \sqrt 3 sin4\alpha – 1}}$
$ = \frac{{\left( {2co{s^2}2\alpha – 1} \right) + \sqrt 3 sin4\alpha }}{{\sqrt 3 sin4\alpha – \left( {1 – 2si{n^2}2\alpha } \right)}}$
$ = \frac{{cos4\alpha + \sqrt 3 sin4\alpha }}{{\sqrt 3 sin4\alpha – cos4\alpha }}$
$ = \frac{{\frac{1}{2}cos4\alpha + \frac{{\sqrt 3 }}{2}sin4\alpha }}{{\sqrt 3 }}sin4\alpha – \frac{1}{2}cos4\alpha $
$ = \frac{{sin{{30}^ \circ } \cdot cos4\alpha + cos{{30}^ \circ } \cdot sin4\alpha }}{{sin4\alpha \cdot cos{{30}^ \circ } – cos4\alpha \cdot sin{{30}^ \circ }}}$
$ = \frac{{sin\left( {4\alpha + {{30}^ \circ }} \right)}}{{sin\left( {4\alpha – {{30}^ \circ }} \right)}}$
Câu 24. Hàm số $y = sinx$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( {\frac{{19\pi }}{2};10\pi } \right)$.
B. $\left( { – 6\pi ; – 5\pi } \right)$.
C. $\left( { – \frac{{7\pi }}{2}; – 3\pi } \right)$.
D. $\left( {7\pi ;\frac{{15\pi }}{2}} \right)$.
Đáp án đúng là: $A$
Theo lí thuyết ta có hàm số $y = sinx$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Ta có $\left( {\frac{{19\pi }}{2};10\pi } \right) = \left( { – \frac{\pi }{2} + 10\pi ;10\pi } \right) \subset \left( { – \frac{\pi }{2} + 10\pi ;\frac{\pi }{2} + 10\pi } \right)$.
Vậy hàm số $y = sinx$ đồng biến trên khoảng $\left( {\frac{{19\pi }}{2};10\pi } \right)$.
Câu 25. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = 7 – 2cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ lần lượt là
A. $ – 2;7$.
B. $5;9$.
C. $ – 2;2$.
D. $4;7$.
Đáp án đúng là: $B$
Vì $ – 1 \leqslant cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \leqslant 1\,\forall x \in \mathbb{R}$
$ \Rightarrow – 2 \leqslant 2cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \leqslant 2\,\forall x \in \;\mathbb{R}$
$ \Rightarrow 2 \geqslant – 2cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \geqslant – 2\,\forall x \in \mathbb{R}$
$ \Rightarrow 7 + 2 \geqslant 7 – 2cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \geqslant – 2 + 7\,\forall x \in \;\mathbb{R}$
$ \Rightarrow 5 \leqslant 7 – 2cos\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \leqslant 9\,\forall x \in \;\mathbb{R}$
$ \Rightarrow 5 \leqslant y \leqslant 9$.
Câu 26. Giải phương trình $sinx = – sin\left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$.
A. $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
B. $\;x = – \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C. $x = \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
D. $x = – \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Đáp án đúng là: $C$
Phương trình $sinx = – sin\left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)$ $ \Leftrightarrow sinx = sin\left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{3} – x + k2\pi } \\
{x = \pi – \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right) + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$
$ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Vậy họ nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.
Câu 27. Phương trình $sinx – \sqrt 3 cosx = 1$ chỉ có các nghiệm là
A. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \;\mathbb{Z}.\;} \right)} \right.$
B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{x = – \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}(k \in \;} \right.\mathbb{Z})$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}\;} \right)} \right.$
D. $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{x = – \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}(k \in \;} \right.\mathbb{Z})$
Đáp án đúng là: $A$
$sinx – \sqrt 3 cosx = 1$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}sinx – \frac{{\sqrt 3 }}{2}cosx = \frac{1}{2}$
$ \Leftrightarrow sinx \cdot cos\frac{\pi }{3} – cosx \cdot sin\frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}$
$ \Leftrightarrow sin\left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}$
$ \Leftrightarrow sin\left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) = sin\frac{\pi }{6}$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi } \\
{x – \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Q}} \right)} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi } \\
{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }
\end{array}\left( {k \in \;} \right)} \right.$
Câu 28. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = \frac{{2n}}{{{n^2} + 1}}$. Số $\frac{9}{{41}}$ là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ ?
A. 10 .
B. 9 .
C. 8 .
D. 11 .
Đáp án đúng là: $B$
Ta có
${u_n} = \frac{{2n}}{{{n^2} + 1}} = \frac{9}{{41}} \Leftrightarrow 9{n^2} – 82n + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 9} \\
{n = \frac{1}{9}}
\end{array}} \right..\;$
$ \Rightarrow \frac{9}{{41}}$ là số hạng thứ 9
Câu 29. Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?
A. ${a_n} = \sqrt {n + 10} $.
B. ${b_n} = \sqrt {5n + 10} $.
C. ${u_n} = \sqrt {n + 10} + \sqrt {20 – n} $.
D. ${v_n} = \sqrt {5n – 6} $.
Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$
Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = \sqrt {n + 10} + \sqrt {20 – n} $.
Ta có
$u_n^2 = {(\sqrt {n + 10} + \sqrt {20 – n} )^2} \leqslant \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {n + 10 + 20 – n} \right) = 60$
${u_n} \in \left( {0;2\sqrt {15} } \right]$ do ${u_n} = \sqrt {n + 10} + \sqrt {20 – n} > 0\forall n \in {\mathbb{N}^*}$
$ \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.
Câu 30. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_5} = 18$ và $4{S_n} = {S_{2n}}$. Số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ là
A. ${u_1} = 3;d = 2$.
B. ${u_1} = 2;d = 2$.
C. ${u_1} = 2;d = 4$.
D. ${u_1} = 2;d = 3$.
Đáp án đúng là: ${\mathbf{C}}$
Ta có $4{S_n} = {S_{2n}} \Rightarrow 4\frac{{{u_1} + {u_n}}}{2}n = \frac{{{u_1} + {u_{2n}}}}{2}.2n$
$ \Leftrightarrow 2\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = {u_1} + {u_{2n}} \Leftrightarrow {u_1} + 2{u_n} = {u_{2n}}$
$ \Leftrightarrow {u_1} + 2\left[ {{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right] = {u_1} + \left( {2n – 1} \right)d \Leftrightarrow 2{u_1} = d$
Mặt khác ${u_5} = 18 = {u_1} + 4d \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{u_1} = d} \\
{{u_1} + 4d = 18}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d = 4} \\
{{u_1} = 2}
\end{array}} \right.} \right.$.
Câu 31. Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_{20}} = – 52$ và ${u_{51}} = – 145$. Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là
A. ${u_n} = – 3n + 8$.
B. ${u_n} = 5 + 3\left( {n – 1} \right)$.
C. ${u_n} = 3n – 3$.
D. ${u_n} = – 3n + 5$.
Đáp án đúng là: $A$ Ta có:
${u_{20}} = {u_1} + 19d = – 52;{u_{51}} = {u_1} + 50d = – 145$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} + 19d = – 52} \\
{{u_1} + 50d = – 145}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 5} \\
{d = – 3}
\end{array}} \right.} \right.$
Do đó ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d = 5 + \left( {n – 1} \right) \cdot \left( { – 3} \right) = – 3n + 8$.
Câu 32. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 24$ và $\frac{{{u_4}}}{{{u_{11}}}} = 16384$. Số hạng ${u_{17}}$ là
A. $\frac{3}{{67108864}}$.
B. $\frac{3}{{368435456}}$.
C. $\frac{3}{{536870912}}$.
D. $\frac{3}{{2147483648}}$.
Đáp án đúng là: $C$
Ta có: $\frac{{{u_4}}}{{{u_{11}}}} = 16384 \Leftrightarrow \frac{{{u_1} \cdot {q^3}}}{{{u_1} \cdot {q^{10}}}} = 16384 \Leftrightarrow \frac{1}{{{q^7}}} = 16384$
Mà $16384 = {4^7} \Rightarrow q = \frac{1}{4}$.
Do vậy ${u_{17}} = {u_1} \cdot {q^{16}} = 24 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{16}} = \frac{3}{{536870912}}$.
Câu 33. Tính tổng
$S = 9 + 99 + 999 + \ldots .. + \mathop {999999999}\limits_{9\;chu\;so\,9\;} $ta được kết quả là
A. 111111110 .
B. 111111111 .
C. 1111111111 .
D. 1111111101 .
Đáp án đúng là: D
Ta có
$S = 9 + 99 + 999 + \ldots .. + \mathop {999999999}\limits_{9\;chu\;so\,9\;} $
$ = \left( {10 – 1} \right) + \left( {{{10}^2} – 1} \right) + \left( {{{10}^3} – 1} \right) + \ldots + \left( {{{10}^9} – 1} \right)$
$ = \left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + \ldots + {{10}^9}} \right) – 9$
$ = \frac{{10\left( {1 – {{10}^9}} \right)}}{{1 – 10}} – 9$$ = 1111111101$.
Câu 34. Người ta tiến hành phỏng vấn 50 người về một mẫu áo phông mới. Người điều tra yê cầu cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm 100 . Kết quả được trình bày trong bảng sau:
| Nhóm | [50;60) | [60;70) | [70;80) | [80;90) | [90;100) |
| Số lượng | 9 | 10 | 23 | 6 | 2 |
Điểm trung bình của mẫu áo trong mẫu số liệu trên là
A. 74,1 .
B. 74,34 .
C. 71,14 .
D. 71,4 .
Đáp án đúng là: $D$
Cỡ mẫu $n = 50$. Ta có bảng sau:
| Giá trị đại diện nhóm | 55 | 65 | 75 | 85 | 95 |
| Số lượng | 9 | 10 | 23 | 6 | 2 |
Điểm trung bình của mẫu áo trong mẫu số liệu trên là
Câu 35. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên Câu 34 gần nhất với giá trị nào dưới đây.
A. 72 .
B. 73 .
C. 74 .
D. 75 .
Đáp án đúng là: $B$
Cỡ mẫu $n = 50$.
Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{50}}$ là điểm của mẫu áo do 50 người đánh giá trong mẫu số liệu ở Câu 34 và giả sử dãy này đã được xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó trung vị của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}$. Do ${x_{25}},{x_{26}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {70;80} \right)$ nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, $p = 3,{a_3} = 70,{m_3} = 23,{m_1} + {m_2} = 9 + 10 = 19,{a_4} – {a_3} = 80 – 70 = 10$ và ta có:
${M_e} = 70 + \frac{{\frac{{50}}{2} – 23}}{{19}} \cdot 10 \approx 73$
Hướng dẫn giải tự luận
Bài 1. (1 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:
a) $sin\left( {x – {{120}^ \circ }} \right) – cos2x = 0$;
b) $cosx \cdot cos2x \cdot cos4x \cdot cos8x = \frac{1}{{16}}$
Lời giải:
a) $sin\left( {x – {{120}^ \circ }} \right) – cos2x = 0$
$ \Leftrightarrow cos\left( {{{90}^ \circ } – \left( {x – {{120}^ \circ }} \right)} \right) – cos2x = 0$
$ \Leftrightarrow cos\left( {{{210}^ \circ } – x} \right) – cos2x = 0$
$ \Leftrightarrow cos\left( {{{210}^ \circ } – x} \right) = cos2x$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{210}^ \circ } – x = 2x + k{{360}^ \circ }} \\
{{{210}^ \circ } – x = – 2x + k{{360}^ \circ }}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {{70}^0} + k{{120}^ \circ }} \\
{x = – {{210}^ \circ } + k{{360}^ \circ }}
\end{array}} \right.$
Cách khác: sử dụng $cos2x = sin\left( {{{90}^ \circ } – 2x} \right)$.
b) $cosx \cdot cos2x \cdot cos4x \cdot cos8x = \frac{1}{{16}}$
Vì $sinx = 0$ không thỏa mãn phương trình (1), nên phương trình (1) tương đương với $sinx \cdot cosx \cdot cos2x \cdot cos4x \cdot cos8x = \frac{1}{{16}}sinx$
Áp dụng công thức góc nhân đôi, ta có:
$sinx \cdot cosx \cdot cos2x \cdot cos4x \cdot cos8x$
$ = \frac{1}{2} \cdot \left( {2sinx \cdot cosx} \right) \cdot cos2x \cdot cos4x \cdot cos8x$
$ = \frac{1}{2}sin2x \cdot cos2x \cdot cos4x \cdot cos8x$
$ = \frac{1}{4}sin4x \cdot cos4x \cdot cos8x$
$ = \frac{1}{8}sin8x \cdot cos8x = \frac{1}{{16}}sin16x$
Khi đó $\left( * \right)$ $ \Leftrightarrow \frac{1}{{16}}sin16x = \frac{1}{{16}}sinx$
$ \Leftrightarrow sin16x = sinx$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{16x = x + k2\pi } \\
{16x = \pi – x + k2\pi }
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{15x = k2\pi } \\
{17x = \pi + k2\pi }
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{k2\pi }}{{15}}} \\
{x = \frac{\pi }{{17}} + \frac{{k2\pi }}{{17}}}
\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.$
Bài 2. (1 điểm) Cho 2 cấp số cộng hữu hạn, mỗi cấp số cộng có 100 số hạng: $4,7,10,13,16, \ldots $ và $1,6,11,16,21, \cdots $. Hỏi có tất cả bao nhiêu số có mặt trong cả 2 cấp số trên.
Lời giải:
Gọi cấp số cộng thứ nhất là $\left( {{u_n}} \right)$ và cấp số cộng thứ hai là $\left( {{v_n}} \right)$. $\left( {{u_n}} \right):4,7,10,13,16, \ldots $ có số hạng đầu ${u_1} = 4$ và công sai ${d_1} = 3$.
${\left( {{v_n}} \right)_:}:1,6,11,16,21, \ldots $ có số hạng đầu ${v_1} = 1$ và công sai ${d_2} = 5$.
Ta có: ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right){d_1} = 4 + 3\left( {n – 1} \right) \Rightarrow {u_n} = 3n + 1$
${v_n} = {v_1} + \left( {k – 1} \right){d_2} = 1 + 5\left( {k – 1} \right) \Rightarrow {v_n} = 5k – 4$
với $k,n \in \mathbb{Q},1 \leqslant k \leqslant 100,1 \leqslant n \leqslant 100$
Ta có
${u_n} = {v_n} \Leftrightarrow 3n + 1 = 5k – 4 \Leftrightarrow 5k – 3n = 5 \Leftrightarrow 3n = 5\left( {k – 1} \right)$.
Do đó, $n$ chia hết cho 5 .
Đặt $n = 5t,\,t \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 3t + 1$
Do $1 \leqslant k \leqslant 100,1 \leqslant n \leqslant 100$ nên $t \in \left\{ {1;2; \ldots ;20} \right\}$
Vậy có 20 số đồng thời có mặt trong cả 2 cấp số cộng trên là 16,31,46,..,301.
Bài 3. (1 điểm) Để kiểm tra thời gian sử dụng của quạt tích điện, Hằng thống kê thời gian sử dụng quạt của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:
| Thời gian sử dụng (giờ) | [7;9) | [9;11) | [11;13) | [13;15) | [15;17) |
| Số lần | 2 | 5 | 7 | 5 | 1 |
a) Hãy ước lượng thời gian sử dụng trung bình từ lúc Hằng sạc đầy quạt cho tới khi hết pin.
b) Hằng cho rằng có khoảng $25\% $ số lần sạc pin quạt chỉ dùng được dưới 10 giờ. Nhận định của Hằng có hợp lí không?
Lời giải:
a) Từ bảng số liệu ghép nhóm, ta có bảng thống kê thời gian sử dụng quạt của Hằng từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin theo giá trị đại diện như sau:
| Thời gian sử dụng
(giờ) |
8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
| Số lần | 2 | 5 | 7 | 5 | 1 |
Cỡ mẫu $n = 2 + 5 + 7 + 5 + 1 = 20$.
Thời gian sử dụng trung bình từ lúc Hằng sạc đầy pin quạt cho tới khi hết pin là:
$\overline x = \frac{{2.8 + 5.10 + 7.12 + 5.14 + 1.16}}{{20}} = 11,8$ (giờ).
b) Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{20}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu trên là $\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}$. Mà ${x_5},{x_6}$ thuộc nhóm $\left[ {9;11} \right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
${Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{20}}{4} – 2}}{5} \cdot \left( {11 – 9} \right) = 10,2$
Do ${Q_1}$ gần với 10 nên nhận định của Hằng là hợp lí.
