40 câu trắc nghiệm đạo hàm cấp hai theo từng dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: ĐẠO HÀM CẤP HAI CỦA HÀM SỐ
Phương pháp:
$y” = f”\left( x \right) = {\left[ {f’\left( x \right)} \right]^\prime }$
Câu 1. Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + 2x$, giá trị của $f”\left( 1 \right)$ bằng
A. 6 .
B. 8 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn A
$f’\left( x \right) = 3{x^2} + 2,f”\left( x \right) = 6x \Rightarrow f”\left( 1 \right) = 6.$
Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + x + 1$. Giá trị $f”\left( 1 \right)$ bằng:
A. 0 .
B.1.
C.2.
D.3.
Lời giải
Chọn A.
$y’ = 3{x^2} – 6x + 1 \Rightarrow y” = 6x – 6 \Rightarrow y”\left( 1 \right) = 0$
Câu 3. Cho hàm số $f\left( x \right) = {(x + 1)^3}$. Giá trị $f”\left( 0 \right)$ bằng
A. 3 .
B. 6 .
C. 12 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn B.
Vì: $f’\left( x \right) = 3{(x + 1)^2};f”\left( x \right) = 6\left( {x + 1} \right) \Rightarrow f”\left( 0 \right) = 6$.
Câu 4. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x – 1}}$. Tính $f”\left( { – 1} \right)$.
A. $ – \frac{8}{{27}}$.
B. $\frac{2}{9}$.
C. $\frac{8}{{27}}$.
D. $ – \frac{4}{{27}}$.
Lời giải
Chọn A
$f’\left( x \right) = \frac{{ – 2}}{{{{(2x – 1)}^2}}},f”\left( x \right) = \frac{8}{{{{(2x – 1)}^3}}}$.
Khi đó $f”\left( { – 1} \right) = – \frac{8}{{27}}$.
Câu 5. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{(x + 2)}^6}}}$. Tính $f”\left( { – 1} \right)$.
A. 42 .
B. $\frac{{14}}{{2167}}$.
C. $ – \frac{{14}}{{2167}}$.
D. -42 .
Lời giải
Chọn A
$f’\left( x \right) = \frac{{ – 6}}{{{{(x + 2)}^7}}},f”\left( x \right) = \frac{{42}}{{{{(x + 2)}^8}}}$.
Khi đó $f”\left( { – 1} \right) = 42$.
Câu 6. Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {2x – 1} $. Tính $f”\left( 1 \right)$.
A. -1 .
B. 1 .
C. $\frac{3}{2}$.
D. 0 .
Lời giải
Chọn A
Ta có: $f\left( x \right) = \sqrt {2x – 1} \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{{{{(2x – 1)}’}}}{{2\sqrt {2x – 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x – 1} }}$
$ \Rightarrow f”\left( x \right) = \frac{{ – {{(\sqrt {2x – 1} )}’}}}{{2x – 1}} = \frac{{ – 1}}{{\left( {2x – 1} \right)\sqrt {2x – 1} }} = \frac{{ – 1}}{{\sqrt {{{(2x – 1)}^3}} }}$
Vậy $f”\left( 1 \right) = – 1$.
Câu 7. Hàm số $y = \frac{x}{{x – 2}}$ có đạo hàm cấp hai là:
A. $y” = 0$.
B. $y” = \frac{1}{{{{(x – 2)}^2}}}$.
C. $y” = – \frac{4}{{{{(x – 2)}^2}}}$.
D. $y” = \frac{4}{{{{(x – 2)}^3}}}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $y’ = {\left( {\frac{x}{{x – 2}}} \right)’} = \frac{{ – 2}}{{{{(x – 2)}^2}}};y” = {\left( {\frac{{ – 2}}{{{{(x – 2)}^2}}}} \right)’} = 2 \cdot \frac{{2\left( {x – 2} \right)}}{{{{(x – 2)}^4}}} = \frac{4}{{{{(x – 2)}^3}}}$
Câu 8. Hàm số $y = \sqrt {2x + 5} $ có đạo hàm cấp hai bằng:
A. $y” = \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}$.
B. $y” = \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}$.
C. $y” = – \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}$.
D. $y” = – \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $y’ = {(\sqrt {2x + 5} )’} = \frac{2}{{2\sqrt {2x + 5} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 5} }}$
$y” = – \frac{{{{(\sqrt {2x + 5} )}’}}}{{2x + 5}} = – \frac{{\frac{2}{{2\sqrt {2x + 5} }}}}{{2x + 5}} = – \frac{1}{{\left( {2x + 5} \right)\sqrt {2x + 5} }}$.
Câu 9. Hàm số $y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}$ có đạo hàm cấp 2 bằng:
A. $y” = \frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}$
B. $y” = 1 – \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$.
C. $y” = – \frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}$.
D. $y” = 1 + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $y = x + \frac{1}{{x + 1}} \Rightarrow y’ = 1 – \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$.
$ \Rightarrow y” = \frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}$
Câu 10. Hàm số $y = \frac{{ – 2{x^2} + 3x}}{{1 – x}}$ có đạo hàm cấp 2 bằng :
A. $y” = 2 + \frac{1}{{{{(1 – x)}^2}}}$.
B. $y” = \frac{2}{{{{(1 – x)}^3}}}$.
C. $y” = \frac{{ – 2}}{{{{(1 – x)}^3}}}$.
D. $y” = \frac{2}{{{{(1 – x)}^4}}}$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $y = 2x – 1 + \frac{1}{{1 – x}} \Rightarrow y’ = 2 + \frac{1}{{{{(1 – x)}^2}}};y” = \frac{2}{{{{(1 – x)}^3}}}$.
Câu 11. Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x + 5}}{{x – 1}}$
A. $\frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
B. $\frac{6}{{{{(x – 1)}^3}}}$
C. $ – \frac{6}{{{{(x – 1)}^3}}}$
D. $\frac{{{x^2} – x – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
Lời giải
Chọn C
$y = \frac{{{x^2} – 3x + 5}}{{x – 1}} \Rightarrow y’ = \frac{{{x^2} – 2x – 2}}{{{{(x – 1)}^2}}} \Rightarrow y” = – \frac{6}{{{{(x – 1)}^3}}}\forall x \ne 1$
Câu 12. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} + x + 2}}{{x – 1}}$. Xét hai mệnh đề :
$\left( I \right):y’ = f’\left( x \right) = – 1 – \frac{2}{{{{(x – 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1$
$\left( {II} \right):y” = f”\left( x \right) = \frac{4}{{{{(x – 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1$.
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ $\left( I \right)$ đúng.
B. Chỉ (II) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $y = f\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} + x + 2}}{{x – 1}} = – x + \frac{2}{{x – 1}} \Rightarrow y’ = – 1 – \frac{2}{{{{(x – 1)}^2}}};y” = \frac{4}{{{{(x – 1)}^3}}}$.
Câu 13. Hàm số $y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3}$ có đạo hàm cấp hai là:
A. $y” = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x$.
B. $y” = {x^4} + 3{x^2} + 6$.
C. $y” = 30{x^4} + 36{x^2} + 6$.
D. $y” = – 12\left( {{x^2} + 1} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $y = {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1$;
$y’ = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x$
$y” = 30{x^4} + 36{x^2} + 6;$
Câu 14. Hàm số $y = {(2x + 5)^5}$ có đạo hàm cấp 3 bằng :
A. $y” = 10{(2x + 5)^4}$.
B. $y” = 80{(2x + 5)^3}$.
C. $y” = 5{(2x + 5)^4}$.
D. $y” = 40{(2x + 5)^3}$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $y’ = 5{(2x + 5)^4} \cdot 2 = 10{(2x + 5)^4}$;
$y” = 80{(2x + 5)^3}$
Câu 15. Hàm số $y = x\sqrt {{x^2} + 1} $ có đạo hàm cấp 2 bằng :
A. $y” = – \frac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}$.
B. $y” = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$.
C. $y” = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}$.
D. $y” = – \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $y’ = \sqrt {{x^2} + 1} + x\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }};y” = \frac{{4x\sqrt {{x^2} + 1} – \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\sqrt {1 + {x^2}} }}$
Câu 16. Cho hàm số $y = \frac{1}{x}$. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A. $y”{y^3} + 2 = 0$.
B. $y”y = 2{\left( {y’} \right)^2}$.
C. $y”y + 2{\left( {y’} \right)^2} = 0$.
D. $y”{y^3} = 2$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $y’ = – \frac{1}{{{x^2}}};y” = \frac{2}{{{x^3}}}$.
$y”{y^3} + 2 = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{{x^3}}} \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + 2 = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{{x^6}}} + 2 = 0$ (vô lî).
$y”y = 2{\left( {y’} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{2}{{{x^3}}} \cdot \frac{1}{x} = 2{\left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{2}{{{x^4}}} = \frac{2}{{{x^4}}}$ (đúng).
$y”y + 2{\left( {y’} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{{x^3}}} \cdot \frac{1}{x} + 2{\left( { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{{{x^4}}} = 0$ (vô lí).
$y”{y^3} = 2 \Leftrightarrow \frac{2}{{{x^3}}} \cdot {\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} = 2 \Leftrightarrow \frac{2}{{{x^6}}} = 2$ (vô lí).
Câu 17. Cho hàm số $y = \sqrt {1 + 3x – {x^2}} $. Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. ${\left( {y’} \right)^2} + y \cdot y” = – 1$.
B. ${\left( {y’} \right)^2} + 2y \cdot y” = 1$.
C. $y \cdot y” – {\left( {y’} \right)^2} = 1$.
D. ${\left( {y’} \right)^2} + y \cdot y” = 1$.
Lời giải
Chọn A
$y = \sqrt {1 + 3x – {x^2}} \Rightarrow {y^2} = 1 + 3x – {x^2}$
$ \Rightarrow 2y \cdot y’ = 3 – 2x \Rightarrow 2 \cdot {\left( {y’} \right)^2} + 2y \cdot y” = – 2 \Rightarrow {\left( {y’} \right)^2} + y \cdot y” = – 1$
Câu 18. Cho hàm số $f\left( x \right) = 5{(x + 1)^3} + 4\left( {x + 1} \right)$. Tập nghiệm của phương trình $f”\left( x \right) = 0$ là
A. $\left[ { – 1;2} \right]$.
B. $\left( { – \infty ;0} \right]$.
C. $\left\{ { – 1} \right\}$.
D. $\emptyset $.
Lời giải
Chọn C.
Vì: $f’\left( x \right) = 15{(x + 1)^2} + 4;f”\left( x \right) = 30\left( {x + 1} \right) \Rightarrow f”\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = – 1$.
Câu 19. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{1 – x}}$. Phương trình $f’\left( x \right) + f”\left( x \right) = 0$ có nghiệm là:
A. $x = \frac{3}{2}$.
B. $x = – \frac{3}{2}$.
C. $x = – \frac{1}{2}$.
D. $x = \frac{1}{2}$.
Lời giải
Chọn A.
Có $f’\left( x \right) = \frac{3}{{{{(x – 1)}^2}}} \Rightarrow f”\left( x \right) = – \frac{6}{{{{(x – 1)}^3}}}$.
Vậy $f’\left( x \right) + f”\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{{{(x – 1)}^2}}} – \frac{6}{{{{(x – 1)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 = \frac{2}{{x – 1}} \Leftrightarrow x = 3$.
Câu 20. Cho hàm số: $y = \frac{{2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 3}}$. Phương trình $y” = 0$ có nghiệm là:
A. $x = – 4$.
B. $x = – 2$.
C. $x = 0$.
D. $x = 2$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $y = \frac{{2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 3}} = \frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{{{(x + 2)}^2} – 1}}$.
$y’ = {\left( {\frac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{{{(x + 2)}^2} – 1}}} \right)’} = \frac{{2{{(x + 2)}^2} – 2 – 2\left( {x + 2} \right) \cdot 2\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right]}^2}}} = \frac{{ – 2{{(x + 2)}^2} – 2}}{{{{\left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right]}^2}}}$
$y” = {\left( {\frac{{ – 2{{(x + 2)}^2} – 2}}{{{{\left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right]}^2}}}} \right)’} $
$= \frac{{ – 4\left( {x + 2} \right){{\left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right]}^2} – \left[ { – 2{{(x + 2)}^2} – 2} \right] \cdot 2\left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right]2\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right]}^4}}}$
$ = \frac{{4\left( {x + 2} \right)\left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right]\left[ { – {{(x + 2)}^2} + 1 + 2{{(x + 2)}^2} + 2} \right]}}{{{{\left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right]}^4}}}$
$ = \frac{{4\left( {x + 2} \right)\left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right]\left[ {{{(x + 2)}^2} + 3} \right]}}{{{{\left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right]}^4}}}$.
Ta có $y” = 0 \Leftrightarrow \frac{{4\left( {x + 2} \right)\left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right]\left[ {{{(x + 2)}^2} + 3} \right]}}{{{{\left[ {{{(x + 2)}^2} – 1} \right]}^4}}} = 0$.
Điều kiện ${(x + 2)^2} – 1 \ne 0$.
Khi đó $y” = 0 \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = – 2$.
DẠNG 2: Ý NGHĨA VẬT LÝ CỦA ĐẠO HÀM
Phương pháp:
• Nếu phương trình chuyển động của vật là $s = f\left( t \right)$ thì $v\left( t \right) = f’\left( t \right)$ là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t$.
• Một vật chuyển động có phương trình $s = f\left( t \right)$ thì đạo hàm cấp hai (nếu có) là gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có: $a\left( t \right) = f”\left( t \right)$.
• Nếu hàm số $T = f\left( t \right)$ biểu thị nhiệt độ $T$ theo thời gian $t$ thì $f’\left( {{t_0}} \right)$ biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm ${t_0}$.
• Cường độ tức thời của điện lượng $Q = Q\left( t \right)$ tại thời điểm ${t_0}$ là : $I\left( {{t_0}} \right) = Q’\left( {{t_0}} \right)$.
Câu 21. Một vật giao động điều hòa có phương trình quảng đường phụ thuộc thời gian $s = Asin\left( {\omega t + \varphi } \right)$. Trong đó $A,\omega ,\varphi $ là hằng số, $t$ là thời gian. Khi đó biểu thức vận tốc của vật là?
A. $v = Acos\left( {\omega t + \varphi } \right)$.
B. $v = – A\omega cos\left( {\omega t + \varphi } \right)$.
C. $v = A\omega cos\left( {\omega t + \varphi } \right)$.
D. $v = – Acos\left( {\omega t + \varphi } \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có vận tốc của vật đó là
$v = s’ = {(Asin\left( {\omega t + \varphi } \right))’} = A{(\omega t + \varphi )’}cos\left( {\omega t + \varphi } \right) = A\omega cos\left( {\omega t + \varphi } \right)$.
Câu 22. Một vật chuyển động theo quy luật $s = \frac{{ – 1}}{2}{t^2} + 20t$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 8$ giây bằng bao nhiêu?
A. $40\;m/s$.
B. $152\;m/s$.
C. $22\;m/s$.
D. $12\;m/s$.
Lời giải
Chọn D
Vận tốc của chuyển động: $v = s’ = – t + 20$
Tại thời điểm $t = 8$ thì $v = 12\;m/s$.
Câu 23. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: $S = {t^2} – 2t + 3$, trong đó $t$ được tính bằng giây và $S$ được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm $t = 2s$ là:
A. $2\;m/s$
B. $5\;m/s$
C. $1\;m/s$
D. $3m/s$
Lời giải
Chọn A
Tacó $v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 2t – 2 \Rightarrow v\left( 2 \right) = 2.2 – 2 = 2$
Câu 24. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = {t^3} – 3{t^2} + 5t + 2$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi $t = 3$ là:
A. $24\;m/{s^2}$.
B. $17\;m/{s^2}$.
C. $14m/{s^2}$.
D. $12\;m/{s^2}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t$ bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm $t$.
$s’ = {\left( {{t^3} – 3{t^2} + 5t + 2} \right)’} = 3{t^2} – 6t + 5$
$s” = 6t – 6 \Rightarrow s”\left( 3 \right) = 12$
Câu 25. Một chuyển động xác định bởi phương trình $S\left( t \right) = {t^3} – 3{t^2} – 9t + 2$. Trong đó $t$ được tính bằng giây, $S$ được tính bằng mét. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi $t = 0\;s$ hoặc $t = 2\;s$.
B. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm $t = 3\;s$ là $12\;m/{s^2}$
C. Gia tốc của chuyển động bằng $0\;m/{s^2}khit = 0\;s$.
D. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm $t = 2\;s$ là $v = 18\;m/s$.
Lời giải
Chọn B
Vận tốc của chuyển động tại thời điểm $t$ có phương trình là $v\left( t \right) = S’\left( t \right) = 3{t^2} – 6t – 9$.
Gia tốc của chuyển động tại thời điểm $t$ có phương trình là $a\left( t \right) = v’\left( t \right) = 6t – 6$.
Tại thời điểm $t = 3\;s$ ta có $a\left( 3 \right) = 6.3 – 6 = 12\;m/{s^2}$.
Câu 26. Chochuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = {t^3} – 3{t^2}$ ( $t$ tính bằng giây; $s$ tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Gia tốc của chuyển động khi $t = 4\;s$ là $a = 18\;m/{s^2}$.
B. Gia tốc của chuyển động khi $t = 4\;s$ là $a = 9\;m/{s^2}$.
C. Vận tốc của chuyển động khi $t = 3\;s$ là $v = 12\;m/s$.
D. Vận tốc của chuyển động khi $t = 3\;s$ là $v = 24\;m/s$.
Lời giải
Chọn A
$s’ = 3{t^2} – 6t \Rightarrow s” = 6t – 6$
$s”\left( 4 \right) = 18$
Câu 27. Một vật chuyển động theo quy luật $s\left( t \right) = – \frac{1}{2}{t^3} + 12{t^2},t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động, $s$ (mét) là quãng đường vật chuyển động trong $t$ giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t = 10$ (giây).
A. $80\left( {\;m/s} \right)$.
B. $70\left( {\;m/s} \right)$.
C. $90\left( {\;m/s} \right)$.
D. $100\left( {\;m/s} \right)$.
Lời giải
Chọn C
Ta có vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ là đạo hàm cấp một của quãng đường $s$ tại thời điểm $t$.
$v\left( t \right) = s’\left( t \right) = – \frac{3}{2}{t^2} + 24t \Rightarrow v\left( {10} \right) = \frac{{ – 3.100}}{2} + 240 = 90\left( {\;m/s} \right).$
Câu 28. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = – {t^3} + 3{t^2} + 9t$, trong đó $t$ tính bằng giây và $S$ tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
A. $12\;m/s$.
B. $0\;m/s$.
C. $11\;m/s$.
D. $6\;m/s$.
Lời giải
Chọn A
Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: $v = S’ = – 3{t^2} + 6t + 9$
Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường: $a = S” = – 6t + 6$
Gia tốc triệt tiêu khi $S” = 0 \Leftrightarrow t = 1$.
Khi đó vận tốc của chuyển động là $S’\left( 1 \right) = 12\;m/s$.
Câu 29. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = {t^3} – 3{t^2} + 5t + 2$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi $t = 3$ là
A. $24\;m/{s^2}$.
B. $17\;m/{s^2}$.
C. $14\;m/{s^2}$.
D. $12\;m/{s^2}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t$ bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm $t$.
$s’ = 3{t^2} – 6t + 5$
$s” = 6t – 6 \Rightarrow s”\left( 3 \right) = 6.3 – 6 = 12$.
Do đó, gia tốc của chuyển động khi $t = 3$ là $12\;m/{s^2}$.
Câu 30. Một chất điểm chuyển động có phương trình $S = 2{t^4} + 6{t^2} – 3t + 1$ với $t$ tính bằng giây (s) và $S$ tính bằng mét $\left( m \right)$. Hỏi gia tốc của chuyển động tại thời điểm $t = 3\left( s \right)$ bằng bao nhiêu?
A. $64\left( {\;m/{s^2}} \right)$.
B. $228\left( {\;m/{s^2}} \right)$.
C. $88\left( {\;m/{s^2}} \right)$.
D. $76\left( {\;m/{s^2}} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có vận tốc tức thời của chuyển động được tính theo công thức: $v\left( t \right) = {(S\left( t \right))’} = 8{t^3} + 12t – 3$.
Khi đó gia tốc tức thời của chuyển động được tính theo công thức:
$a\left( t \right) = 24{t^2} + 12 \Rightarrow a\left( 3 \right) = 24 \cdot {3^2} + 12 = 228\left( {\;m/{s^2}} \right)$.
Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm $t = 3\left( s \right)$ là $228\left( {\;m/{s^2}} \right)$.
Câu 31. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = \frac{1}{2}\left( {{t^4} + 3{t^2}} \right),t$ được tính bằng giây, $S$ được tính bằng $m$. Vận tốc của chuyển động tại $t = 4$ (giây) bằng
A. $0\;m/s$.
B. $200\;m/s$.
C. $150\;m/s$.
D. $140\;m/s$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: $v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 2{t^3} + 3t;$
Vận tốc tại $t = 4$ là $V\left( 4 \right) = 140\;m/s$.
Câu 32. Một vật chuyển động theo quy luật $s = – \frac{1}{2}{t^3} + 6{t^2}$ với $t$ (giây)là khoảng thời gian từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật di chuyển trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. $24\left( {\;m/s} \right)$.
B. $108\left( {\;m/s} \right)$.
C. $64\left( {\;m/s} \right)$.
D. $18\left( {\;m/s} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $v = s’ = – \frac{3}{2}{t^2} + 12t = – \frac{3}{2}\left( {{t^2} – 8t + 16} \right) + 24 = 24 – \frac{3}{2}{(t – 4)^2} \leqslant 24$
Vậy tại thời điểm $t = 4$ (giây).
Câu 33. Một chất điểm chuyển động theo quy luật $S\left( t \right) = 1 + 3{t^2} – {t^3}$. Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi $t$ bằng bao nhiêu
A. $t = 2$.
B. $t = 1$.
C. $t = 3$.
D. $t = 4$.
Lời giải
Chọn B
Chất điểm chuyển động theo quy luật $S\left( t \right) = 1 + 3{t^2} – {t^3}$. Vì vận tốc của chuyển động ở thời điểm $t$ chính là $S’\left( t \right)$; ta đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số $S’\left( t \right)$.
Ta có $S’\left( t \right) = {\left( {1 + 3{t^2} – {t^3}} \right)’} = 6t – 3{t^2} = – 3\left( {{t^2} – 2t} \right) = 3 – 3{(t – 1)^2} \leqslant 3,\forall t \in \mathbb{R}$
khi $t – 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$.
Câu 34. Một chất điểm chuyển động theo quy luật $S = – \frac{1}{3}{t^3} + 4{t^2} + 9t$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $S$ (mét) là quãng đường vật chuyển động trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của chất điểm là bao nhiêu?
A. $88\left( {\;m/s} \right)$.
B. $25\left( {\;m/s} \right)$.
C. $100\left( {\;m/s} \right)$.
D. $11\left( {\;m/s} \right)$.
Lời giải
Chọn B
Ta có $v = S’ = – {t^2} + 8t + 9,t \in \left( {0;10} \right)$
$ = – \left( {{t^2} – 8t + 16} \right) + 25 = – {(t – 4)^2} + 25 \leqslant 25$
Vậy vận tốc lớn nhất của chất điểm là $25\left( {\;m/s} \right)$ tại tại $t = 4$.
Câu 35. Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s\left( t \right) = – {t^3} + 6{t^2}$ với là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, $s\left( t \right)$ là quãng đường đi được trong khoảng thời gian $t$. Tính thời điểm $t$ tại đó vận tốc đạt giá trị lớn nhất.
A. $t = 3$.
B. $t = 4$.
C. $t = 1$.
D. $t = 2$.
Lời giải
Chọn D
$s\left( t \right) = – {t^3} + 6{t^2}$
$v\left( t \right) = s’\left( t \right) = – 3{t^2} + 12t = – 3\left( {{t^2} – 4t} \right) = – 3\left( {{t^2} – 4t + 4} \right) + 12 = – 3{(t – 2)^2} + 12 \leqslant 12$
$ \Rightarrow {v_{max}} = 12 \Leftrightarrow t = 2$.
Câu 36. Một vật chuyển động theo quy luật $s = \frac{1}{3}{t^3} – {t^2} + 9t$, với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. $89\left( {\;m/s} \right)$.
B. $109\left( {\;m/s} \right)$.
C. $71\left( {\;m/s} \right)$.
D. $\frac{{25}}{3}\left( {\;m/s} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $v\left( t \right) = s’\left( t \right) = {t^2} – 2t + 9$.
Ta có: $v’ = 2t – 2 \Rightarrow v’ = 0 \Leftrightarrow t = 1$
Tính: $v\left( 1 \right) = 8;v\left( {10} \right) = 89,v\left( 0 \right) = 9$.
Vậy vận tốc lớn nhất là $89\left( {\;m/s} \right)$.
Câu 37. Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s\left( t \right) = {t^2} – \frac{1}{6}{t^3}\left( {\;m} \right)$. Tìm thời điểm $t$ (giây) mà tại đó vận tốc $v\left( {\;m/s} \right)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
A. $t = 2$
B. $t = 0.5$.
C. $t = 2.5$.
D. $t = 1$.
Lời giải
Chọn A
Vận tốc của chất điểm chuyển động theo quy luật: $v\left( t \right) = s’\left( t \right) = 2t – \frac{1}{2}{t^2}$.
Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi $v\left( t \right) = 2t – \frac{1}{2}{t^2}$ đạt giá trị lớn nhất $ \Leftrightarrow t = 2$.
Câu 38. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $S = – 2{t^3} + 18{t^2} + 2t + 1$, trong đó $t$ tính bằng giây $\left( s \right)$ và $S$ tính bằng mét $\left( m \right)$. Tính thời gian vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn nhất.
A. $t = 5\;s$
B. $t = 6\;s$
C. $t = 3\;s$
D. $t = 1\;s$
Lời giải
Chọn C
Có $v\left( t \right) = S’ = – 6{t^2} + 36t + 2$. Đây là hàm số bậc hai có $a < 0$ nên nó sẽ đạt giá trị lớn nhất tại $t = – \frac{b}{{2a}} = 3\left( s \right)$
Câu 39. Một chất điểm chuyển động trong 20 giây đầu tiên có phương trình $s\left( t \right) = \frac{1}{{12}}{t^4} – {t^3} + 6{t^2} + 10t$, trong đó $t > 0$ với $t$ tính bằng giây $\left( s \right)$ và $s\left( t \right)$ tính bằng mét $\left( m \right)$. Hỏi tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc của vật bằng bao nhiêu?
A. $17\left( {\;m/s} \right)$.
B. $18\left( {\;m/s} \right)$.
C. $28\left( {\;m/s} \right)$.
D. $13\left( {\;m/s} \right)$.
Lời giải
Chọn C
Vận tốc của chuyển động là $v\left( t \right) = s’\left( t \right) = \frac{1}{3}{t^3} – 3{t^2} + 12t + 10$.
Gia tốc của chuyển động là $a\left( t \right) = v’\left( t \right) = {t^2} – 6t + 12 = {(t – 3)^2} + 3 \geqslant 3$.
Vậy gia tốc đạt giá trị nhỏ nhất khi $t = 3$. Khi đó vận tốc của vật bằng $v\left( 3 \right) = 28\left( {\;m/s} \right)$.
Câu 40. Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động là $S = \frac{1}{2}g{t^2}$, trong đó $t$ tính bằng giây $\left( s \right),S$ tính bằng mét $\left( m \right)$ và $g = 9,8\;m/{s^2}$. Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 4\;s$ là
A. $v = 9,8\;m/s$.
B. $v = 78,4\;m/s$.
C. $v = 39,2\;m/s$.
D. $v = 19,6\;m/s$.
Lời giải
Chọn C
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo đơn vị thời gian ${v_{\left( t \right)}} = {\left( {{S_{\left( t \right)}}} \right)’} = {\left( {\frac{1}{2}g{t^2}} \right)’} = gt$
Vậy vận tốc tại thời điểm $t = 4\;s$ là ${v_{\left( 4 \right)}} = g \cdot 4 = 39,2\left( {\;m/s} \right)$.
