Trắc nghiệm bài 7 Cấp số nhân mức thông hiểu giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ NHÂN
Phương pháp:
* Dãy $({u_n})$ là cấp số nhân $ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n}.q$$ \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q$ với $q$ là hằng số.
* Dãy $({u_n})$ là cấp số nhân $ \Leftrightarrow {u_{n – 1}}.{u_{n + 1}} = {u_n}^2$với $n \geqslant 2$.
Câu 1. Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A. $1;0,2;0,04;0,0008; \ldots $
B. $2;22;222;2222; \ldots $
C. $x;2x;3x;4x; \ldots $
D. $1; – {x^2};{x^4}; – {x^6}; \ldots $
Chọn D.
Lời giải
Dãy số : $1; – {x^2};{x^4}; – {x^6}; \ldots $ là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 1$; công bội $q = – {x^2}$.
Câu 2. Xác định $x$ để 3 số $x – 2;x + 1;3 – x$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:
A. Không có giá trị nào của $x$.
B. $x = \pm 1$.
C. $x = 2$.
D. $x = – 3$.
Chọn A.
Lời giải
Ba số $x – 2;x + 1;3 – x$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân $ \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {3 – x} \right) = {(x + 1)^2}$ $ \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x + 7 = 0$ (Phương trình vô nghiệm)
Câu 3. Xác định $x$ để 3 số $2x – 1;x;2x + 1$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân:
A. $x = \pm \frac{1}{3}$.
B. $x = \pm \sqrt 3 $.
C. $x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
D. Không có giá trị nào của $x$.
Chọn C
Lời giải
Ba số: $2x – 1;x;2x + 1$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân $ \Leftrightarrow \left( {2x – 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = {x^2} \Leftrightarrow 4{x^2} – 1 = {x^2}$ $ \Leftrightarrow 3{x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.
Câu 4. Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau, dãy nào là cấp số nhân?
A. ${u_n} = {n^2} + n + 1$.
B. ${u_n} = \left( {n + 2} \right) \cdot {3^n}$.
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{{u_{n + 1}} = \frac{6}{{{u_n}}},\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}}
\end{array}} \right.$
D. ${u_n} = {( – 4)^{2n + 1}}$.
Chọn D
Lời giải
A. $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{n^2} + 3n + 3}}{{{n^2} + n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$, không phải là hằng số. Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.
B. $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\left( {n + 3} \right) \cdot {3^{n + 1}}}}{{\left( {n + 2} \right) \cdot {3^n}}} = \frac{{3\left( {n + 3} \right)}}{{n + 2}},\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$, không phải là hằng số. Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.
C. Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra ${u_1} = 2;{u_2} = 3;{u_3} = 2;{u_4} = 3; \ldots $
Vì $\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} \ne \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}}$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.
D. $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{( – 4)}^{2\left( {n + 1} \right) + 1}}}}{{{{( – 4)}^{2n + 1}}}} = 16,\forall n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$. Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân.
Câu 5. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{{u_{n + 1}} = {u_n} + 1,n \geqslant 1}
\end{array}} \right.$.
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 1} \\
{{u_{n + 1}} = – 3{u_n},n \geqslant 1}
\end{array}} \right.$.
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 2} \\
{{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3,n \geqslant 1}
\end{array}} \right.$.
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = \frac{\pi }{2}} \\
{{u_n} = {\text{sin}}\left( {\frac{\pi }{{n – 1}}} \right),n \geqslant 1}
\end{array}} \right.$.
Lời giải
$\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân $ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = q{u_n} \to $ Chọn B.
Câu 6. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với ${u_n} \ne 0,n \in {\mathbb{N}^{\text{*}}}$. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. ${u_1};{u_3};{u_5}; \ldots $
B. $3{u_1};3{u_2};3{u_3}$;
C. $\frac{1}{{{u_1}}};\frac{1}{{{u_2}}};\frac{1}{{{u_3}}}; \ldots $
D. ${u_1} + 2;{u_2} + 2;{u_3} + 2; \ldots $
Lời giải
Giả sử $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân công bội $q$, thì
Dãy ${u_1};{u_3};{u_5}; \ldots $ là cấp số nhân công bội ${q^2}$.
Dãy $3{u_1};3{u_2};3{u_3}; \ldots $ là cấp số nhân công bội $2q$.
Dãy $\frac{1}{{{u_1}}};\frac{1}{{{u_2}}};\frac{1}{{{u_3}}};.$. là cấp số nhân công bội $\frac{1}{q}$.
Dãy ${u_1} + 2;{u_2} + 2;{u_3} + 2;$ không phải là cấp số nhân.
Chọn D.
Câu 7. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
A. $128; – 64;32; – 16;8; \ldots $
B. $\sqrt 2 ;2;4;4\sqrt 2 $;
C. $5;6;7;8; \ldots $
D. $15;5;1;\frac{1}{5}; \ldots $
Lời giải
Xét đáp án: $128; – 64;32; – 16;8; \ldots \to \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = – \frac{1}{2} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}$.
Câu 8. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?
A. $2;4;8;16; \ldots $
B. $1; – 1;1; – 1; \cdots $
C. ${1^2};{2^2};{3^2};{4^2}; \cdots $
D. $a;{a^3};{a^5};{a^7}; \cdots \left( {a \ne 0} \right)$.
Lời giải
Xét đáp án: ${1^2};{2^2};{3^2};{4^2}; \cdots \to \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 4 \ne \frac{9}{4} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}$.
Câu 9. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. $1;2;4;8; \cdots $
B. $3;{3^2};{3^3};{3^4}; \cdots $
C. $4;2;\frac{1}{2};\frac{1}{4}; \cdots $
D. $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}}; \cdots $
Lời giải
Xét đáp án $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{{\pi ^2}}};\frac{1}{{{\pi ^4}}};\frac{1}{{{\pi ^6}}}; \cdots \to \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{\pi } \ne \frac{1}{{{\pi ^2}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}$.
DẠNG 2: TÍNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT, TỔNG n HẠNG ĐẦU
Phương pháp:
* Số hạng tổng quát của cấp số nhân là ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$.
* Tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân là ${s_n} = {u_1} + {u_2} + …{u_n} = {u_1}.\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}}$.
* Dãy $({u_n})$ là cấp số nhân thì ${u_k} + {u_{k + 1}} + … + {u_n} = {S_n} – {S_{k – 1}}$
Câu 10. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – 2$ và $q = – 5$. Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
A. $ – 2;10;50; – 250$.
B. $ – 2;10; – 50;250$.
C. $ – 2; – 10; – 50; – 250$.
D. $ – 2;10;50;250$.
Lời giải
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 2} \\
{q = – 5}
\end{array} \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 2} \\
{{u_2} = {u_1}q = 10} \\
{{u_3} = {u_2}q = – 50} \\
{{u_4} = {u_3}q = 250}
\end{array}.} \right.} \right.$
Câu 11. Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${u_n}$ sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
A. ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n – 2}}}}$.
B. ${u_n} = \frac{1}{{{3^n}}} – 1$.
C. ${u_n} = n + \frac{1}{3}$.
D. ${u_n} = {n^2} – \frac{1}{3}$.
Lời giải
Dãy ${u_n} = \frac{1}{{{3^{n – 2}}}} = 9 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}$ là cấp số nhân có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3} \\
{q = \frac{1}{3}}
\end{array}} \right.$.
Câu 12. Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${u_n}$ sau, dãy số nào là một cấp số nhân?
A. ${u_n} = 7 – 3n$.
B. ${u_n} = 7 – {3^n}$.
C. ${u_n} = \frac{7}{{3n}}$.
D. ${u_n} = {7.3^n}$.
Lời giải
Dãy ${u_n} = {7.3^n}$ là cấp số nhân có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 21} \\
{q = 3}
\end{array}} \right.$.
Câu 13. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.
D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
Lời giải
Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
Ví dụ dãy $ – 5; – 2;1;3; \ldots $ là dãy số có $d = 3 > 0$ nhưng không phải là dãy số dương.
Câu 14. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?
A. ${u_n} = {( – 1)^n}n$.
B. ${u_n} = {n^2}$.
C. ${u_n} = {2^n}$.
D. ${u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}$.
Lời giải
$\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} = 2{u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội bằng 2 .
Câu 15. Xác định $x$ dương để $2x – 3;x;2x + 3$ lập thành cấp số nhân.
A. $x = 3$.
B. $x = \sqrt 3 $.
C. $x = \pm \sqrt 3 $.
D. không có giá trị nào của $x$.
Lời giải
$2x – 3;x;2x + 3$ lập thành cấp số nhân
$ \Leftrightarrow {x^2} = \left( {2x – 3} \right)\left( {2x + 3} \right) \Leftrightarrow {x^2} = 4{x^2} – 9 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 {\text{.}}$
Vì $x$ dương nên $x = \sqrt 3 $.
Câu 16. Tìm $x$ để các số $2;8;x;128$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
A. $x = 14$.
B. $x = 32$.
C. $x = 64$.
D. $x = 68$.
Lời giải
Cấp số nhân $2;8;x;128$ theo thứ tự đó sẽ là ${u_1};{u_2};{u_3};{u_4}$, ta có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}} \\
{\frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{{{u_4}}}{{{u_3}}}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{8}{2} = \frac{x}{8}} \\
{\frac{{128}}{x} = \frac{x}{8}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 32} \\
{{x^2} = 1024}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 32} \\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 32} \\
{x = – 32}
\end{array} \Leftrightarrow x = 32.} \right.}
\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.$
Câu 17. Với giá trị $x$ nào dưới đây thì các số $ – 4;x; – 9$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?
A. $x = 36$.
B. $x = – \frac{{13}}{2}$.
C. $x = 6$.
D. $x = – 36$.
Lời giải
Cấp số nhân: $q$.
Nhận xét: ba số $a;b;c$ theo thứ tự đó lấp thành cấp số nhân $ \Leftrightarrow ac = {b^2}$.
Câu 18. Tìm $b > 0$ để các số $\frac{1}{{\sqrt 2 }};\sqrt b ;\sqrt 2 $ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
A. $b = – 1$.
B. $b = 1$.
C. $b = 2$.
D. $b = – 2$.
Lời giải
Cấp số nhân $\frac{1}{{\sqrt 2 }};\sqrt b ;\sqrt 2 \to \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot \sqrt 2 = {(\sqrt b )^2} \Leftrightarrow b = 1$.
Câu 19. Tìm $x$ để ba số $1 + x;9 + x;33 + x$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
A. $x = 1$.
B. $x = 3$.
C. $x = 7$.
D. $x = 3;x = 7$.
Lời giải
Cấp số nhân $1 + x;9 + x;33 + x \to \left( {1 + x} \right)\left( {33 + x} \right) = {(9 + x)^2} \Leftrightarrow x = 3$.
Câu 20. Với giá trị $x,y$ nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là $ – 2;x; – 18;y$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 6} \\
{y = – 54}
\end{array}} \right.$.
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 10} \\
{y = – 26}
\end{array}} \right.$.
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 6} \\
{y = – 54}
\end{array}} \right.$.
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 6} \\
{y = 54}
\end{array}} \right.$.
Lời giải
Cấp số nhân: $ – 2;x; – 18;y \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{x}{{ – 2}} = \frac{{ – 18}}{x}} \\
{\frac{{ – 18}}{x} = \frac{y}{{ – 18}}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \pm 6} \\
{y = \frac{{324}}{x} = \pm 54}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vậy
$\left( {x;y} \right) = \left( {6;54} \right)$ hoặc $\left( {x;y} \right) = \left( { – 6; – 54} \right){\text{.}}$
Câu 21. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $x;12;y;192$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $x = 1;y = 144$.
B. $x = 2;y = 72$.
C. $x = 3;y = 48$.
D. $x = 4;y = 36$.
Lời giải
Câp số nhân: $x;12;y;192 \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{12}}{x} = \frac{y}{{12}}} \\
{\frac{y}{{12}} = \frac{{192}}{y}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{144}}{y}} \\
{{y^2} = 2304}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \pm 3} \\
{y = \pm 48}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$.
Câu 22. Thêm hai số thực dương $x$ và $y$ vào giữa hai số 5 và 320 để được bốn số $5;x;y;320$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhận. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 25} \\
{y = 125}
\end{array}} \right.$.
B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 20} \\
{y = 80}
\end{array}} \right.$.
C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 15} \\
{y = 45}
\end{array}} \right.$.
D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 30} \\
{y = 90}
\end{array}} \right.$.
Lời giải
Cấp số nhân: $5;x;y;320 \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 5} \\
{q = \frac{x}{5}} \\
{y = {u_3} = {u_1}{q^2} = \frac{{{x^2}}}{5}} \\
{320 = {u_4} = {u_1}{q^3} = \frac{{{x^3}}}{{25}}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 20} \\
{y = 80}
\end{array}} \right.} \right.$.
Câu 23. Ba số hạng đầu của một cấp số nhân là $x – 6;x$ và $y$. Tìm $y$, biết rằng công bội của cấp số nhân là 6.
A. $y = 216$.
B. $y = \frac{{216}}{5}$.
C. $y = \frac{{1296}}{5}$.
D. $y = 12$.
Lời giải
Cấp số nhân $x – 6;x$ và $y$ có công bội $q = 6$ nên ta có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x – 6,q = 6} \\
{x = {u_2} = {u_1}q = 6\left( {x – 6} \right)} \\
{y = {u_3} = {u_2}q = 6x}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{36}}{5}} \\
{y = 6 \cdot \frac{{36}}{5} = \frac{{216}}{5}}
\end{array}.} \right.} \right.$
Câu 24. Hai số hạng đầu của của một cấp số nhân là $2x + 1$ và $4{x^2} – 1$. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là:
A. $2x – 1$.
B. $2x + 1$.
C. $8{x^3} – 4{x^2} – 2x + 1$.
D. $8{x^3} + 4{x^2} – 2x – 1$.
Lời giải
Công bội của cấp số nhân là: $q = \frac{{4{x^2} – 1}}{{2x + 1}} = 2x – 1$. Vậy số hạng thứ ba của cấp số nhân là: $\left( {4{x^2} – 1} \right)\left( {2x – 1} \right) = 8{x^3} – 4{x^2} – 2x + 1$.
Câu 25. Cho dãy số: $ – 1;1; – 1;1; – 1;.$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.
B. Số hạng tổng quát ${u_n} = {1^n} = 1$.
C. Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = – 1,q = – 1$.
D. Số hạng tổng quát ${u_n} = {( – 1)^{2n}}$.
Chọn C
Lời giải
Ta có $1 = – 1\left( { – 1} \right); – 1 = 1\left( { – 1} \right)$. Vậy dãy số trên là cấp số nhân với ${u_1} = – 1;q = – 1$.
Câu 26. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 2$ và công bội $q = 3$. Số hạng ${u_2}$ là:
A. ${u_2} = – 6$.
B. ${u_2} = 6$.
C. ${u_2} = 1$.
D. ${u_2} = – 18$.
Lời giải
Số hạng ${u_2}$ là: ${u_2} = {u_1} \cdot q = – 6$
Câu 27. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 3$ và $q = \frac{2}{3}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${u_5} = – \frac{{27}}{{16}}$.
B. ${u_5} = – \frac{{16}}{{27}}$.
C. ${u_5} = \frac{{16}}{{27}}$.
D. ${u_5} = \frac{{27}}{{16}}$.
Lời giải
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 3} \\
{q = \frac{2}{3}}
\end{array} \to {u_5} = {u_1}{q^4} = – 3 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^4} = – 3 \cdot \frac{{16}}{{81}} = – \frac{{16}}{{27}}} \right.$.
Câu 28. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = 81$ và ${u_{n + 1}} = 9$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $q = \frac{1}{9}$.
B. $q = 9$.
C. $q = – 9$.
D. $q = – \frac{1}{9}$.
Lời giải
Công bội $q = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{9}{{81}} = \frac{1}{9}$.
Câu 29. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} \ne 0$ và $q \ne 0$. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. ${u_7} = {u_4} \cdot {q^3}$.
B. ${u_7} = {u_4} \cdot {q^4}$.
C. ${u_7} = {u_4} \cdot {q^5}$.
D. ${u_7} = {u_4} \cdot {q^6}$.
Lời giải
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_4} = {u_1}{q^3}} \\
{{u_7} = {u_1}{q^6}}
\end{array} \to {u_7} = \left( {{u_1}{q^3}} \right) \cdot {q^3} = {u_4}{q^3}} \right.$.
Câu 30. Cho cấp số nhân $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}; \cdots ;\frac{1}{{4096}}$. Hỏi số $\frac{1}{{4096}}$ là số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho?
A. 11 .
B. 12 .
C. 10 .
D. 13 .
Lời giải
Cấp số nhân $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}; \cdots ;\frac{1}{{4096}}$
$ \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1} = \frac{1}{2}} \\
{q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{2}}
\end{array} \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{2} \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n – 1}} = \frac{1}{{{2^n}}}.} \right.$
${u_n} = \frac{1}{{4096}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{1}{{{2^{12}}}} \Leftrightarrow n = 12$
Câu 31. Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{3}{2} \cdot {5^n}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\left( {{u_n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.
B. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = 5$ và số hạng đầu ${u_1} = \frac{3}{2}$.
C. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = 5$ và số hạng đầu ${u_1} = \frac{{15}}{2}$.
D. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = \frac{5}{2}$ và số hạng đầu ${u_1} = 3$.
Lời giải
${u_n} = \frac{3}{2} \cdot {5^n}$ là cấp số nhân công bội $q = 5$ và ${u_1} = \frac{{15}}{2}$.
Câu 32. Một cấp số nhân có ba số hạng là $a,b,c$ (theo thứ tự đó) trong đó các số hạng đều khác 0 và công bội $q \ne 0$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $\frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{bc}}$.
B. $\frac{1}{{{b^2}}} = \frac{1}{{ac}}$.
C. $\frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{{ba}}$.
D. $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2}{c}$.
Lời giải
Ta có $ac = {b^2} \Rightarrow \frac{1}{{{b^2}}} = \frac{1}{{ac}}$.
Câu 33. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $3;9;27;81; \ldots $ Tìm số hạng tổng quát ${u_n}$ của cấp số nhân đã cho.
A. ${u_n} = {3^{n – 1}}$.
B. ${u_n} = {3^n}$.
C. ${u_n} = {3^{n + 1}}$.
D. ${u_n} = 3 + {3^n}$.
Lời giải
Câp số nhân 3; 9; 27;81;…
${u_1} = 3$$ \Rightarrow {u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} = 3 \cdot {3^{n – 1}} = {3^n}$
$q = \frac{9}{3} = 3$
Câu 34. Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội $q$ của cấp số nhân đã cho.
A. $q = 3$.
B. $q = – 3$.
C. $q = 2$.
D. $q = – 2$.
Lời giải
Theo giả thuyết ta có:
$\left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 2 \hfill \\
{u_6} = 486 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \to 486 = {u_6} = {u_1}.{q^5} = 2{q^5}$$ \Leftrightarrow {q^5} = 243 \Leftrightarrow q = 3$.
Câu 35. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 2$ và ${u_2} = – 8$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${S_6} = 130$.
B. ${u_5} = 256$.
C. ${S_5} = 256$.
D. $q = – 4$.
Lời giải
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{{u_2} = – 8 = {u_1}q = 2q}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{q = – 4} \\
{{S_5} = {u_1} \cdot \frac{{1 – {q^5}}}{{1 – q}} = 2 \cdot \frac{{1 – {{( – 4)}^5}}}{{1 + 4}} = 410.} \\
{{S_6} = 2 \cdot \frac{{1 – {{( – 4)}^6}}}{{1 + 4}} = – 1638} \\
{{u_5} = {u_1}{q^4} = 2 \cdot {{( – 4)}^4} = 512.}
\end{array}} \right.} \right.$
Câu 36. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 3$ và $q = – 2$. Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
A. Số hạng thứ 5.
B. Số hạng thứ 6 .
C. Số hạng thứ 7 .
D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Lời giải
$192 = {u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} = 3 \cdot {( – 2)^{n – 1}} \Leftrightarrow {( – 1)^{n – 1}} \cdot {2^{n – 1}} = 64 = {( – 1)^6} \cdot {2^6} \Leftrightarrow n = 7.$
Câu 37. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 1$ và $q = – \frac{1}{{10}}$. Số $\frac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân đã cho?
A. Số hạng thứ 103.
B. Số hạng thứ 104.
C. Số hạng thứ 105.
D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Lời giải
$\frac{1}{{{{10}^{103}}}} = {u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} = – 1.{\left( { – \frac{1}{{10}}} \right)^{n – 1}} = \frac{{{{( – 1)}^n}}}{{{{10}^{n – 1}}}}$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
n\,chẵn \hfill \\
n – 1 = 103 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow n = 104$
Câu 38. Một dãy số được xác định bởi ${u_1} = – 4$ và ${u_n} = – \frac{1}{2}{u_{n – 1}},n \geqslant 2$. Số hạng tổng quát ${u_n}$ của dãy số đó là:
A. ${u_n} = {2^{n – 1}}$.
B. ${u_n} = {( – 2)^{n – 1}}$.
C. ${u_n} = – 4\left( {{2^{ – n + 1}}} \right)$.
D. ${u_n} = – 4{\left( { – \frac{1}{2}} \right)^{n – 1}}$.
Lời giải
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 4} \\
{{u_{n + 1}} = – \frac{1}{2}{u_n}}
\end{array} \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 4} \\
{q = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$$ \Rightarrow {u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} = – 4 \cdot {\left( { – \frac{1}{2}} \right)^{n – 1}}$
Câu 39. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 3$ và $q = – 2$. Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho.
A. ${S_{10}} = – 511$.
B. ${S_{10}} = – 1025$.
C. ${S_{10}} = 1025$.
D. ${S_{10}} = 1023$.
Lời giải
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = – 3} \\
{q = – 2}
\end{array} \to {S_{10}} = {u_1} \cdot \frac{{1 – {q^{10}}}}{{1 – q}} = – 3 \cdot \frac{{1 – {{( – 2)}^{10}}}}{{1 – \left( { – 2} \right)}} = 1023.} \right.$
Câu 40. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $1;4;16;64; \cdots $ Gọi ${S_n}$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${S_n} = {4^{n – 1}}$.
B. ${S_n} = \frac{{n\left( {1 + {4^{n – 1}}} \right)}}{2}$.
C. ${S_n} = \frac{{{4^n} – 1}}{3}$.
D. ${S_n} = \frac{{4\left( {{4^n} – 1} \right)}}{3}$.
Lời giải
Cấp số nhân đã cho có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 1} \\
{q = 4}
\end{array} \to {S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}} = 1 \cdot \frac{{1 – {4^n}}}{{1 – 4}} = \frac{{{4^n} – 1}}{3}} \right.$.
Câu 41. Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là $\frac{1}{4};\frac{1}{2};1; \cdots ;2048$. Tính tổng $S$ của tất cả các số hạng của cấp số nhân đã cho.
A. $S = 2047,75$.
B. $S = 2049,75$.
C. $S = 4095,75$.
D. $S = 4096,75$.
Lời giải
Cấp số nhân đã cho có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = \frac{1}{4}} \\
{q = 2}
\end{array}} \right.$$ \to 2048 = {2^{11}} = {u_1}{q^{n – 1}} = \frac{1}{4} \cdot {2^{n – 1}} = {2^{n – 3}} \Leftrightarrow n = 14$
Vậy cấp số nhân đã cho có tất cả 14 số hạng. Vậy
${S_{14}} = {u_1} \cdot \frac{{1 – {q^{14}}}}{{1 – q}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{1 – {2^{14}}}}{{1 – 2}} = 4095,75.$
Câu 42. Tính tổng $S = – 2 + 4 – 8 + 16 – 32 + 64 – \ldots + {( – 2)^{n – 1}} + {( – 2)^n}$ với $n \geqslant 1,n \in \mathbb{N}$.
A. $S = 2n$.
B. $S = {2^n}$.
C. $S = \frac{{ – 2\left( {1 – {2^n}} \right)}}{{1 – 2}}$.
D. $S = – 2 \cdot \frac{{1 – {{( – 2)}^n}}}{3}$.
Lời giải
Các số hạng $ – 2;4; – 8;16; – 32;64; \ldots ;{( – 2)^{n – 1}};{( – 2)^n}$ trong tổng $S$ gồm có $n$ số hạng theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân có ${u_1} = – 2,q = – 2$. Vậy
$S = {S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}} = – 2 \cdot \frac{{1 – {{( – 2)}^n}}}{{1 – \left( { – 2} \right)}} = – 2 \cdot \frac{{1 – {{( – 2)}^n}}}{3}{\text{.}}$
Câu 43. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = – 6$ và $q = – 2$. Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng 2046. Tìm $n$.
A. $n = 9$.
B. $n = 10$.
C. $n = 11$.
D. $n = 12$.
Lời giải
Ta có $2046 = {S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}} = – 6 \cdot \frac{{1 – {{( – 2)}^n}}}{{1 – \left( { – 2} \right)}} = 2\left( {{{( – 2)}^n} – 1} \right)$
$ \Rightarrow {( – 2)^n} = 1024 \Leftrightarrow n = 10$
Câu 44. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_2} = – 6$ và ${u_6} = – 486$. Tìm công bội $q$ của cấp số nhân đã cho, biết rằng ${u_3} > 0$.
A. $q = – 3$.
B. $q = – \frac{1}{3}$.
C. $q = \frac{1}{3}$.
D. $q = 3$.
Lời giải
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 6 = {u_2} = {u_1}q} \\
{ – 486 = {u_6} = {u_1}{q^5} = {u_1}q \cdot {q^4} = – 6.{q^4}}
\end{array} \Rightarrow {q^4} = 81 = {3^4} \Rightarrow q = 3.} \right.$
Câu 45. Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64 , thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?
A. ${u_n} = {2^{n – 1}}$.
B. ${u_n} = {2^n}$
C. ${u_n} = {2^{n + 1}}$.
D. ${u_n} = 2n$.
Lời giải
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{4 = {u_2} = {u_1}q} \\
{64 = {u_6} = {u_1}{q^5} = {u_1}q \cdot {q^4} = 4{q^4}}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 2} \\
{q = 2}
\end{array} \Rightarrow {u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} = {{2.2}^{n – 1}} = {2^n}} \right.} \right.$.
Câu 46. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ${u_k} = {u_1} \cdot {q^{k – 1}}$.
B. ${u_k} = \frac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}$.
C. $S = 9 + 99 + 999 + \ldots + 999 \ldots 9$
D. $S = \frac{{{{10}^n} – 1}}{9}$.
Lời giải
${u_k} = {u_1} \cdot {q^{k – 1}}$.
Câu 47. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} \ne 0$ và $q \ne 0$. Với $1 < k < m$, đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. ${u_m} = {u_k} \cdot {q^k}$.
B. ${u_m} = {u_k} \cdot {q^m}$.
C. ${u_m} = {u_k} \cdot {q^{m – k}}$.
D. ${u_m} = {u_k} \cdot {{\text{q}}^{m + k}}$.
Lời giải
${u_k} = {u_1}{q^{k – 1}} \to {u_m} = {u_1}{q^{m – 1}} = \left( {{u_1}{q^{k – 1}}} \right) \cdot {q^{m – k}} = {u_k}{q^{m – k}}$.
Câu 48. Cho một cấp số nhân có 15 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. ${u_1} \cdot {u_{15}} = {u_2} \cdot {u_{14}}$.
B. ${u_1} \cdot {u_{15}} = {u_5} \cdot {u_{11}}$.
C. ${u_1} \cdot {u_{15}} = {u_6} \cdot {u_9}$.
D. ${u_1} \cdot {u_{15}} = {u_{12}} \cdot {u_4}$.
Lời giải
${u_1} \cdot {u_{15}} = {u_1} \cdot {u_1} \cdot {q^{14}} = \left( {{u_1}{q^{m – 1}}} \right) \cdot \left( {{u_1}{q^{n – 1}}} \right) = {u_m} \cdot {u_n}$ với $m + n = 16$.
Câu 49. Cho một cấp số nhân có $n$ số hạng $(n > k > 55)$ Đẳng thức nào sau đây sai?
A. ${u_1} \cdot {u_n} = {u_2} \cdot {u_{n – 1}}$.
B. ${u_1} \cdot {u_n} = {u_5} \cdot {u_{n – 4}}$
C. ${u_1} \cdot {u_n} = {u_{55}} \cdot {u_{n – 55}}$.
D. ${u_1} \cdot {u_n} = {u_k} \cdot {u_{n – k + 1}}$.
Lời giải
${u_1}{u_n} = {u_1} \cdot {u_1}{q^{n – 1}} = \left( {{u_1}{q^{k – 1}}} \right) \cdot \left( {{u_1}{q^{m – 1}}} \right) = {u_k} \cdot {u_m}$ với $k + m = n + 1.$
Câu 50. Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_4} – {u_2} = 54$ và ${u_5} – {u_3} = 108$.
A. ${u_1} = 3$ và $q = 2$.
B. ${u_1} = 9$ và $q = 2$.
C. ${u_1} = 9$ và $q = – 2$.
D. ${u_1} = 3$ và $q = – 2$.
Lời giải
Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là ${u_1}$ và công bội là $q$.
Theo giả thiết, ta có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_4} – {u_2} = 54} \\
{{u_5} – {u_3} = 108}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} \cdot {q^3} – {u_1} \cdot q = 54} \\
{{u_1} \cdot {q^4} – {u_1} \cdot {q^2} = 108}
\end{array}} \right.} \right.$
$ \Rightarrow \frac{{q\left( {{q^2} – 1} \right)}}{{{q^2}\left( {{q^2} – 1} \right)}} = \frac{{54}}{{108}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow q = 2$
Với $q = 2$, ta có $8{u_1} – 2{u_1} = 54 \Leftrightarrow 6{u_1} = 54 \Leftrightarrow {u_1} = 9$.
Câu 51. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right);{u_1} = 1,q = 2$. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?
A. 11 .
B. 9 .
C. 8 .
D. 10 .
Lời giải
Ta có ${u_n} = {u_1} \cdot {q^{n – 1}} \Leftrightarrow {1.2^{n – 1}} = 1024$$ \Leftrightarrow {2^{n – 1}} = {2^{10}} \Leftrightarrow n – 1 = 10 \Leftrightarrow n = 11$
Câu 52. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_1} = 12,\frac{{{u_3}}}{{{u_8}}} = 243$. Tìm ${u_9}$.
A. ${u_9} = \frac{2}{{2187}}$.
B. ${u_9} = \frac{4}{{6563}}$.
C. ${u_9} = 78732$.
D. ${u_9} = \frac{4}{{2187}}$.
