SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức] Giải bài tập 1.42 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Hướng dẫn học bài: Giải bài tập 1.42 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức - Môn Toán học Lớp 12 Lớp 12. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức Lớp 12' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:
a) \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\);
b) \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\).

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty \)

Sử dụng kiến thức về khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = + \infty \)

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\) là đường thẳng \(x = - 1\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3\) nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\) đường thẳng \(y = 3\).

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} = - \infty \)

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}\) là đường thẳng \(x = \frac{1}{2}\).

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} = \frac{x}{2} + \frac{5}{4} + \frac{1}{{4\left( {2x - 1} \right)}}\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {\frac{x}{2} + \frac{5}{4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{4\left( {2x - 1} \right)}} = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {\frac{x}{2} + \frac{5}{4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{4\left( {2x - 1} \right)}} = 0\)

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}\) là đường thẳng \(y = \frac{x}{2} + \frac{5}{4}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} = + \infty \) nên đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}\) không có tiệm cận ngang.