SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức] Giải mục 2 trang 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 36, 37, 38 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm cấp hai của hàm số. Học sinh sẽ được hướng dẫn cách tìm đạo hàm cấp hai, nhận biết và vận dụng tính chất của đạo hàm cấp hai để xác định tính lồi lõm, cực trị của hàm số. Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững kiến thức về đạo hàm cấp hai, áp dụng vào giải quyết các bài tập liên quan đến các vấn đề về tính chất của đồ thị hàm số.

2. Kiến thức và kỹ năng Kiến thức: Học sinh sẽ nắm vững khái niệm đạo hàm cấp hai của hàm số, quy tắc tính đạo hàm cấp hai. Học sinh sẽ làm quen với các dạng bài tập liên quan đến việc tìm đạo hàm cấp hai của hàm số và xác định tính lồi lõm, các điểm uốn, cực trị của hàm số. Kỹ năng: Học sinh sẽ rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm cấp hai của hàm số, kỹ năng phân tích và sử dụng tính chất của đạo hàm cấp hai để giải quyết các bài toán về tính chất của đồ thị hàm số, kỹ năng vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin từ đạo hàm cấp hai. 3. Phương pháp tiếp cận

Bài học được thiết kế theo phương pháp hướng dẫn và thực hành. Giáo viên sẽ trình bày lý thuyết, ví dụ minh họa, sau đó hướng dẫn học sinh thực hành giải các bài tập. Bài học sẽ sử dụng nhiều phương pháp khác nhau để giúp học sinh hiểu sâu về vấn đề:

Thuyết trình: Trình bày các khái niệm, quy tắc. Ví dụ minh họa: Phân tích các bài toán mẫu, từng bước giải chi tiết. Thực hành: Giáo viên đặt câu hỏi, hướng dẫn học sinh giải các bài tập trong sách giáo khoa. Nhóm thảo luận: Học sinh thảo luận nhóm để cùng nhau giải quyết các bài tập khó. 4. Ứng dụng thực tế

Kiến thức về đạo hàm cấp hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực:

Vật lý: Xác định gia tốc, vận tốc trong chuyển động. Kỹ thuật: Tối ưu hóa quy trình sản xuất, thiết kế công trình. Toán học: Phân tích hành vi của các hàm số phức tạp. 5. Kết nối với chương trình học
Bài học này là sự tiếp nối của các bài học về đạo hàm cấp nhất. Học sinh cần nắm vững kiến thức về đạo hàm cấp nhất trước khi học bài này. Bài học này cũng chuẩn bị cho việc học các bài toán về phương trình vi phân trong chương trình sau này.
6. Hướng dẫn học tập

Chuẩn bị trước bài học: Học sinh nên đọc kỹ phần lý thuyết trong sách giáo khoa trước khi đến lớp.
Ghi chú đầy đủ: Học sinh cần ghi chép đầy đủ các công thức, định lý, ví dụ trong bài học.
Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập khác nhau để củng cố kiến thức.
Hỏi đáp thắc mắc: Đừng ngần ngại đặt câu hỏi cho giáo viên hoặc bạn bè nếu có khó khăn trong quá trình học tập.
Làm việc nhóm: Học sinh có thể làm việc nhóm để thảo luận và cùng nhau giải quyết các bài tập khó.

Tiêu đề Meta: Giải Toán 12 - Đạo hàm cấp hai Mô tả Meta: Bài học này hướng dẫn chi tiết cách tìm đạo hàm cấp hai, xác định tính lồi lõm, cực trị của hàm số. Học sinh sẽ được rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan, ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Keywords:

1. Đạo hàm cấp hai
2. Hàm số
3. Tính lồi lõm
4. Điểm uốn
5. Cực trị
6. Đồ thị hàm số
7. Toán 12
8. SGK Toán 12
9. Kết nối tri thức
10. Giải bài tập
11. Phương pháp giải
12. Ứng dụng thực tế
13. Chương trình Toán 12
14. Bài tập
15. Bài giải chi tiết
16. Cực đại
17. Cực tiểu
18. Gia tốc
19. Vận tốc
20. Phương trình vi phân
21. Lồi lõm
22. Điểm uốn
23. Hàm số lồi
24. Hàm số lõm
25. Quy tắc tính đạo hàm
26. Công thức đạo hàm
27. Quy tắc Leibniz
28. Phương pháp tính đạo hàm
29. Đồ thị hàm số bậc 3
30. Đồ thị hàm số bậc 4
31. Đồ thị hàm số phân thức
32. Định lý Fermat
33. Định lý Rolle
34. Định lý Lagrange
35. Định lý Cauchy
36. Tính chất đạo hàm
37. Phân tích đồ thị
38. Vẽ đồ thị
39. Toán học ứng dụng
40. Giải bài tập SGK

lt2

trả lời câu hỏi luyện tập 2 trang 38 sgk toán 12 kết nối tri thức

anh an chèo thuyền từ điểm a trên bờ một con sông thẳng rộng 3km và muốn đến điểm b ở bờ đối diện cách 8km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (h.1.35). anh an có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm c rồi chạy bộ đến b, hoặc anh có thể chèo thuyển thẳng đến b, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm d nào đó giữa c và b rồi chạy bộ đến b. nếu vận tốc chèo thuyền là 6km/h và vận tốc chạy bộ là 8km/h thì anh an phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến b càng sớm càng tốt? (giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh an).

phương pháp giải:

sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tính:

bước 1: xác định đại lượng q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

bước 2: chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở bước 1 theo x. khi đó, đại lượng q sẽ là hàm số của một biến x. tìm tập xác định của hàm số \(q = q\left( x \right)\).

bước 3: tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(q = q\left( x \right)\) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

lời giải chi tiết:

gọi độ dài đoạn cd là x (km \(0 < x < 8\))

quãng đường ad dài: \(\sqrt {a{c^2} + d{c^2}} = \sqrt {9 + {x^2}} \left( {km} \right)\)

quãng đường bd dài \(8 - x\left( {km} \right)\)

thời gian người đó đi đến b bằng cách chèo thuyền đến một điểm d nào đó giữa c và b rồi chạy bộ đến b là: \(\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\) (giờ)

xét hàm số \(y = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\) với \(0 < x < 8\)

ta có: \(y' = \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8}\)

\(y' = 0 \leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8} = 0 \leftrightarrow 4x = 3\sqrt {9 + {x^2}} \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{x^2} = 9\left( {9 + {x^2}} \right)\\x > 0\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{81}}{7}\\x > 0\end{array} \right. \leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\)

bảng biến thiên:

vậy anh an phải chèo thuyền sang bờ ở điểm d cách c một khoảng bằng \(\frac{9}{{\sqrt 7 }}km\) thì đến b sớm nhất.

trả lời câu hỏi vận dụng trang 40 sgk toán 12 kết nối tri thức

một nhà sản xuất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.

a) tìm hàm cầu.

b) công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất?

c) nếu hàm chi phí hằng tuần là \(c\left( x \right) = 12\;000 - 3x\) (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất?

phương pháp giải:

a) sử dụng kiến thức về hàm cầu để tìm hàm cầu: gọi p(x) là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán x đơn vị. khi đó, p được gọi là hàm cầu (hay hàm giá).

b) sử dụng kiến thức về hàm doanh thu để tính: nếu x đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là p(x) thì tổng doanh thu là: r(x)=x.p(x), khi đó r(x) được gọi là hàm doanh thu.

c) nếu x đơn vị được bán thì tổng lợi nhuận là \(p\left( x \right) = r\left( x \right) - c\left( x \right)\) thì p(x) là hàm lợi nhuận và c(x) là hàm chi phí.

sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tính:

bước 3: tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(q = q\left( x \right)\) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

lời giải chi tiết:

a) gọi p (triệu đồng) là giá của mỗi ti vi, x là số ti vi. khi đó, hàm cầu là \(p = p\left( x \right)\).

theo giả thiết, tốc độ thay đổi của x tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số \(p = p\left( x \right)\) là hàm số bậc nhất nên. do đó, \(p\left( x \right) = ax + b\) (a khác 0).

giá tiền \({p _1} = 14\) ứng với \({x_1} = 1\;000\), giá tiền \({p_2} = 13,5\) ứng với \({x_2} = 1\;000 + 100 = 1\;100\)

do đó, phương trình đường thẳng \(p\left( x \right) = ax + b\) đi qua hai điểm (1000; 14) và (1 100; 13,5). ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}14 = 1\;000a + b\\13,5 = 1\;100a + b\end{array} \right. \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{{200}}\\b = 19\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

vậy hàm cầu là: \(p\left( x \right) = - \frac{1}{{200}}x + 19\)

b) vì \(p = \frac{{ - 1}}{{200}}x + 19 \rightarrow x = - 200p + 3\;800\)

hàm doanh thu từ tiền bán ti vi là: \(r\left( p \right) = px = p\left( { - 200p + 3\;800} \right) = - 200{p^2} + 3\;800p\)

để doanh thu là lớn nhất thì ta cần tìm p sao cho r đạt giá trị lớn nhất.

ta có: \(r'\left( p \right) = - 400p + 3\;800,r'\left( p \right) = 0 \leftrightarrow p = \frac{{19}}{2}\)

bảng biến thiên:

vậy công ty nên giảm giá số tiền một chiếc ti vi là: \(14 - \frac{{19}}{2} = 4,5\) (triệu đồng) thì doanh thu là lớn nhất.

c) doanh thu bán hàng của x sản phẩm là: \(r\left( x \right) = x.p\left( x \right) = x.\left( {\frac{{ - 1}}{{200}}x + 19} \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 19x\) (triệu đồng)

do đó, hàm số thể hiện lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm là:

\(p\left( x \right) = r\left( x \right) - c\left( x \right) = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 19x - 12\;000 + 3x = \frac{{ - {x^2}}}{{200}} + 22x - 12\;000\) (triệu đồng).

để lợi nhuận là lớn nhất thì p(x) là lớn nhất.

ta có: \(p'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{100}} + 22,p'\left( x \right) = 0 \leftrightarrow x = 2\;200\)

bảng biến thiên: