[SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức] Giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Hướng dẫn học bài: Giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức - Môn Toán học Lớp 12 Lớp 12. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức Lớp 12' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.
đề bài
cho tam giác vuông oab có cạnh \(oa = a\) nằm trên trục ox và \(\widehat {aob} = \alpha \left( {0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}} \right)\). gọi \(\beta \) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác oab xung quanh trục ox (h.4.31).
a) tính thể tích v của \(\beta \) theo a và \(\alpha \).
b) tìm \(\alpha \) sao cho thể tích v lớn nhất.
phương pháp giải - xem chi tiết
sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). thể tích của khối tròn xoay này là: \(v = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).
lời giải chi tiết
a) ta có: \(ab = a\tan \alpha \). khi quay tam giác aob quanh trục ox ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy \(r = ab = a\tan \alpha \) và chiều cao \(h = oa = a\).
thể tích khối nón là: \(v = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .a.{a^2}{\tan ^2}\alpha = \frac{1}{3}\pi .{a^3}{\tan ^2}\alpha \) .
b) theo a ta có: \(v = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\alpha \).
ta có: \(v' = \frac{2}{3}\pi {a^3}\tan \alpha .\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\). với \(0 < \alpha \le \frac{\pi }{4} \rightarrow 0 < \tan \alpha < 1\). do đó, \(v' > 0\) nên hàm số v đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]} v = v\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3}\pi {a^3}{\tan ^2}\frac{\pi }{4} = \frac{1}{3}\pi {a^3}\).
vậy giá trị lớn nhất của v là \(\frac{1}{3}\pi {a^3}\) khi \(\alpha = \frac{\pi }{4}\).
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
