SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức] Giải mục 1 trang 5,6,7 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Giải mục 1 trang 5,6,7 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit ở mục 1 trang 5, 6, 7 sách giáo khoa Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức. Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững các phương pháp giải các dạng bài tập cơ bản, từ đó phát triển kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào việc giải quyết các tình huống phức tạp hơn. Bài học sẽ tập trung vào việc phân tích các dạng bài tập khác nhau, đưa ra các ví dụ cụ thể và hướng dẫn cách giải chi tiết.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được củng cố và nâng cao kiến thức về:

Hàm số lũy thừa: Định nghĩa, tính chất, đồ thị, và phương pháp giải các bài toán liên quan. Hàm số mũ: Định nghĩa, tính chất, đồ thị, các quy tắc tính toán với hàm số mũ. Hàm số logarit: Định nghĩa, tính chất, đồ thị, các quy tắc tính toán với hàm số logarit. Phương pháp giải phương trình, bất phương trình chứa hàm số lũy thừa, mũ và logarit: Học sinh sẽ làm quen với các phương pháp giải, từ phương pháp đặt ẩn phụ đến sử dụng tính chất của các hàm số. Các kỹ thuật biến đổi: Học sinh sẽ được hướng dẫn về các kỹ thuật biến đổi các biểu thức chứa hàm số để đưa về dạng giải được. Sử dụng máy tính cầm tay: Học sinh sẽ được hướng dẫn sử dụng các tính năng của máy tính cầm tay để tính toán các giá trị cụ thể, giải các bài tập phức tạp. 3. Phương pháp tiếp cận

Bài học được thiết kế theo phương pháp phân tích và giải quyết vấn đề. Học sinh sẽ được hướng dẫn từng bước, từ việc phân tích đề bài, xác định dạng toán, đến lựa chọn phương pháp giải và trình bày lời giải. Bài học sẽ bao gồm:

Giới thiệu lý thuyết: Giới thiệu khái niệm và tính chất quan trọng của các hàm số. Phân tích các ví dụ: Phân tích chi tiết các dạng bài tập, đưa ra lời giải chi tiết và chú thích các bước giải. Luyện tập thực hành: Bài học sẽ cung cấp các bài tập vận dụng để học sinh thực hành và củng cố kiến thức. Thảo luận nhóm: Khuyến khích học sinh thảo luận và trao đổi các vấn đề trong quá trình học. Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay: Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính để giải quyết các bài toán cụ thể. 4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Mô hình hóa tăng trưởng: Ứng dụng trong việc mô hình hóa sự tăng trưởng của dân số, sự phát triển của kinh tế.
Tính toán lãi suất: Ứng dụng trong lĩnh vực tài chính để tính toán lãi suất, các khoản đầu tư.
Ứng dụng trong khoa học tự nhiên: Ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học như vật lý, hóa học, sinh học.

5. Kết nối với chương trình học

Bài học này là nền tảng cho các bài học tiếp theo trong chương trình toán lớp 12. Kiến thức về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit sẽ được vận dụng trong việc học về nguyên hàm, tích phân và các ứng dụng của chúng.

6. Hướng dẫn học tập Đọc kỹ lý thuyết: Học sinh cần đọc kỹ lý thuyết, nắm vững các khái niệm và tính chất của các hàm số. Phân tích kỹ các ví dụ: Cần phân tích kỹ các ví dụ, hiểu rõ cách giải từng bước. Làm bài tập thường xuyên: Thực hành làm bài tập là cách tốt nhất để củng cố kiến thức. Tìm hiểu thêm các tài liệu: Học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu khác để mở rộng hiểu biết. * Hỏi giáo viên khi gặp khó khăn: Học sinh không nên ngần ngại đặt câu hỏi cho giáo viên khi gặp khó khăn. Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự): Giải Toán 12 - Hàm số lũy thừa, mũ, logarit Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự): Hướng dẫn chi tiết giải mục 1 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức về hàm số lũy thừa, mũ, logarit. Bài học bao gồm lý thuyết, ví dụ phân tích, bài tập thực hành, và phương pháp giải. Củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập. Từ khóa:

1. Hàm số lũy thừa
2. Hàm số mũ
3. Hàm số logarit
4. Phương trình mũ
5. Bất phương trình mũ
6. Phương trình logarit
7. Bất phương trình logarit
8. Giải phương trình
9. Giải bất phương trình
10. Toán 12
11. SGK Toán 12
12. Kết nối tri thức
13. Bài tập
14. Ví dụ
15. Lý thuyết
16. Phương pháp giải
17. Máy tính cầm tay
18. Tăng trưởng
19. Lãi suất
20. Mô hình hóa
21. Ứng dụng thực tế
22. Nguyên hàm
23. Tích phân
24. Bài tập mục 1
25. Trang 5,6,7 SGK
26. Phương pháp đặt ẩn phụ
27. Biến đổi biểu thức
28. Tính chất hàm số
29. Đồ thị hàm số
30. Định nghĩa hàm số
31. Hệ phương trình
32. Hệ bất phương trình
33. Luỹ thừa
34. Mũ
35. Logarit
36. Phương trình
37. Bất phương trình
38. Giải bài tập
39. Học tốt toán
40. Giải SGK.

hđ1

trả lời câu hỏi hoạt động 1 trang 6 sgk toán 12 kết nối tri thức

quan sát đồ thị của hàm số \(y = {x^2}\) (h.1.2)

a) hàm số đồng biến trên khoảng nào?

b) hàm số nghịch biến trên khoảng nào?

phương pháp giải:

sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: giả sử k là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(y = f\left( x \right)\) là hàm số xác định trên k.

+ hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là đồng biến trên k nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in k,{x_1} < {x_2} \rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

+ hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là nghịch biến trên k nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in k,{x_1} < {x_2} \rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

lời giải chi tiết:

từ đồ thị ta thấy:

+ xét khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\): \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right),{x_1} < {x_2}\) thì \(x_1^2 < x_2^2\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

suy ra, hàm số \(y = {x^2}\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

+ xét khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\): \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right),{x_1} < {x_2}\) thì \(x_1^2 > x_2^2\)hay \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

suy ra, hàm số \(y = {x^2}\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

lt1

trả lời câu hỏi luyện tập 1 trang 6 sgk toán 12 kết nối tri thức

hình 1.5 là đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\). hãy tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

phương pháp giải:

sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến:

+ nếu hàm số đồng biến trên k thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

+ nếu hàm số nghịch biến trên k thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

lời giải chi tiết:

tập xác định của hàm số là \(\mathbb{r}\).

trong khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đi lên từ trái sang phải nên hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

trong khoảng \(\left( {0;2} \right)\) thì đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) đi xuống từ trái sang phải nên hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

hđ2

trả lời câu hỏi hoạt động 2 trang 6 sgk toán 12 kết nối tri thức

a) xét dấu đạo hàm của hàm số trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), \(\left( {1; + \infty } \right)\). nêu nhận xét về mối quan hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng này.

b) có nhận xét gì về đạo hàm y’ của hàm số y trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\)?

phương pháp giải:

sử dụng kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm nhận xét:

+ nếu hàm số đồng biến trên k thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

+ nếu hàm số nghịch biến trên k thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.

lời giải chi tiết:

a) + xét khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) ta có: \(y' = \left( { - x} \right)' = - 1 < 0\)

trong khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) ta thấy hàm số y nghịch biến và đạo hàm \(y' < 0\).

+ xét khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta có: \(y' = x' = 1 > 0\)

trong khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta thấy hàm số y đồng biến và đạo hàm \(y' > 0\).

b) trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) ta có: \(y' = \left( 1 \right)' = 0\)

trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) ta thấy hàm số y không đổi và đạo hàm \(y' = 0\).

lt2

trả lời câu hỏi luyện tập 2 trang 7 sgk toán 12 kết nối tri thức

tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số \(y = - {x^2} + 2x + 3\).

phương pháp giải:

sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên khoảng k.

+ nếu \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in k\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng k.

+ nếu \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in k\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng k.

lời giải chi tiết:

tập xác định của hàm số là \(\mathbb{r}\).

ta có: \(y' = - 2x + 2,y' > 0\) với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\); \(y < 0\) với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

hđ3

trả lời câu hỏi hoạt động 3 trang 7 sgk toán 12 kết nối tri thức

cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\).

a) tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm x mà \(f'\left( x \right) = 0\).

b) lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.

c) nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

phương pháp giải:

cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\).

a) tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và tìm các điểm x mà \(f'\left( x \right) = 0\).

b) lập bảng biến thiên của hàm số, tức là lập bảng thể hiện dấu của đạo hàm và sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng.

c) nếu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

lời giải chi tiết:

a) \(f'\left( x \right) = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2x + 1} \right)' = 3{x^2} - 6x + 2\)

\(f'\left( x \right) = 0 \leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 2 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}\\x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)

vậy \(x = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{3},x = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}\) thì \(f'\left( x \right) = 0\)

b) bảng biến thiên:

c) hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\).

hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3 - \sqrt 3 }}{3};\frac{{3 + \sqrt 3 }}{3}} \right)\).

lt3

trả lời câu hỏi luyện tập 3 trang 9 sgk toán 12 kết nối tri thức

tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\);

b) \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\).

phương pháp giải:

- sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu của hàm số để tìm khoảng đơn điệu của hàm số: các bước để xét tính đơn điệu của hàm số \(y = f\left( x \right)\):

1. tìm tập xác định của hàm số.

2. tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...} \right)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

lời giải chi tiết:

a) tập xác định: \(d = \mathbb{r}\).

ta có: \(y' = {x^2} + 6x + 5,y' = 0 \leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 5\end{array} \right.\)

lập bảng biến thiên của hàm số:

hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} + 5x + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 5; - 1} \right)\).

b) tập xác định: \(d = \mathbb{r}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

ta có: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( { - {x^2} + 5x - 7} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

\(y' = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

lập bảng biến thiên của hàm số:

hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\).

hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 5x - 7}}{{x - 2}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

vd1

trả lời câu hỏi vận dụng 1 trang 9 sgk toán 12 kết nối tri thức

giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc v(t) là đạo hàm của s(t). hãy tìm vận tốc v(t).

b) xét dấu của hàm v(t), từ đó suy ra câu trả lời.

bài toán mở đầu:

xét một chất điểm chuyển động trên một trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải (h.1.1). giả sử vị trí s(t) (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = {t^3} - 9{t^2} + 15t,t \ge 0\). hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang phải, trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động sang trái?

phương pháp giải:

a) sử dụng kiến thức về ý nghĩa cơ học của đạo hàm để tìm hàm vận tốc: theo ý nghĩa cơ học, vận tốc v(t) là đạo hàm của hàm số s(t).

b) chất điểm chuyển động theo chiều dương khi \(v\left( t \right) > 0\).

chất điểm chuyển động theo chiều âm khi \(v\left( t \right) < 0\)

lời giải chi tiết:

a) ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \left( {{t^3} - 9{t^2} + 15t} \right)' = 3{t^2} - 18t + 15\)

b) tập xác định: \(d = \mathbb{r}\).

ta có: \(v\left( t \right) > 0 \leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 > 0 \leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) > 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t < 1\\t > 5\end{array} \right.\)

\(v\left( t \right) < 0 \leftrightarrow 3{t^2} - 18t + 15 < 0 \leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 5} \right) < 0 \leftrightarrow 1 < t < 5\)

chất điểm chuyển động theo chiều dương (sang bên phải) khi \(v\left( t \right) > 0\), tức là \(t \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).

chất điểm chuyển động theo chiều âm (sang bên trái) khi \(v\left( t \right) < 0\), tức là \(1 < t < 5\).