[SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức] Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức
Hướng dẫn học bài: Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Kết nối tri thức - Môn Toán học Lớp 12 Lớp 12. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức Lớp 12' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.
1. sơ đồ khảo sát hàm số
các bước khảo sát hàm số
|
1. tìm tập xác định của hàm số 2. khảo sát sự biến thiên của hàm số - tính đạo hàm y’. tìm các điểm tại đó y’ = 0 hoặc đạo hàm không tồn tại - xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số - tìm cực trị của hàm số - tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có) - lập bbt của hàm số 3. vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bbt |
2. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba
ví dụ: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\)
1. tập xác định của hàm số: r
2. sự biến thiên:
- ta có: \(y' = - 3{x^2} + 6x\). vậy y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2
- trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), y’ > 0 nên hàm số đồng biến. trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó
- hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu \({y_{ct}} = - 4\). hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại
- giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \)
- bbt:
3. đồ thị:
- giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0;4} \right)\)
- ta có: y = 0 \( \leftrightarrow \)x = -1 hoặc x = 2. do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {2;0} \right)\)
- đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {1; - 2} \right)\)
3. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ
a) hàm số phân thức \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}(c \ne 0,ad - bc \ne 0)\)
ví dụ: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)
1. tập xác định của hàm số: r\{2}
2. sự biến thiên:
- ta có: \(y' = - \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 2\)
- hàm số nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
- hàm số không có cực trị
- tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } - \infty = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \)
do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 1
- bbt:
3. đồ thị:
- giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)\)
- giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( { - 1;0} \right)\)
- đồ thị hàm số nhận giao điểm i \(\left( {2;1} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng
b) hàm số phân thức \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{px + q}}(a \ne 0,p \ne 0)\) (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)
ví dụ: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}\)
1. tập xác định của hàm số: r\{2}
2. sự biến thiên: viết \(y = x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\)
- ta có: \(y' = 1 - \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}}\) . vậy y’ = 0 \( \leftrightarrow \) x = 1 hoặc x = 3
- trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này
- trên các khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này
- hàm số đạt cực đại tại x = 1 với ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với \({y_{ct}} = 5\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\)
do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x+1
- bbt:
3. đồ thị:
- giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)
- ta có: \(y = 0 \leftrightarrow x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\). do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};0} \right);\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};0} \right)\)
- đồ thị hàm số nhận giao điểm i \(\left( {2;3} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
