SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức] Giải mục 2 trang 22,23,24 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 22, 23, 24 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững các bước giải bài toán, áp dụng linh hoạt các công thức và kỹ thuật, từ đó vận dụng giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Bài học sẽ hướng dẫn học sinh cách nhận biết các điểm cực trị, các điểm cực đại, cực tiểu, các khoảng đơn điệu của hàm số và cách vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin thu được từ đạo hàm.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được ôn tập và củng cố các kiến thức về:

Đạo hàm cấp một và cấp cao: Học sinh cần hiểu rõ ý nghĩa của đạo hàm, đạo hàm cấp cao, và cách tính đạo hàm của các hàm số cơ bản. Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị: Học sinh sẽ nắm vững các điều kiện cần và đủ để một điểm là điểm cực trị của hàm số, phân biệt điểm cực đại và cực tiểu. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: Bài học hướng dẫn cách xác định các khoảng đơn điệu, điểm cực trị, tiệm cận của hàm số để vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác và đầy đủ. Các phương pháp giải bài toán tìm cực trị: Học sinh sẽ làm quen với các phương pháp khác nhau để giải các bài toán tìm cực trị của hàm số, bao gồm sử dụng đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai. Ứng dụng trong thực tế: Bài học sẽ nêu bật ý nghĩa thực tiễn của việc tìm cực trị trong các bài toán tối ưu hóa, ứng dụng trong lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật. 3. Phương pháp tiếp cận
Bài học được thiết kế theo phương pháp hướng dẫn giải. Giáo viên sẽ:

Giải chi tiết từng bước của các bài toán mẫu: Các ví dụ được lựa chọn cụ thể, minh họa rõ ràng từng bước giải bài toán, từ việc xác định miền xác định, tính đạo hàm, tìm điểm cực trị đến vẽ đồ thị hàm số.
Phân tích kỹ các bài toán: Giáo viên sẽ hướng dẫn học sinh phân tích kỹ các bài toán, chỉ ra các bước cần thiết để giải quyết, giúp học sinh phát triển tư duy logic và sáng tạo.
Đưa ra các câu hỏi gợi mở: Học sinh được khuyến khích tham gia tích cực bằng việc đặt câu hỏi và thảo luận.
Tạo môi trường học tập tích cực: Tạo không gian để học sinh đặt câu hỏi, trao đổi ý kiến với giáo viên và bạn bè, từ đó giải quyết các khó khăn và thắc mắc một cách hiệu quả.
Tập trung vào việc áp dụng: Ngoài việc giải các ví dụ trong sách giáo khoa, bài học sẽ bao gồm nhiều bài tập thực hành giúp học sinh luyện tập và vận dụng kiến thức.

4. Ứng dụng thực tế

Kiến thức về tìm cực trị của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Kinh tế: Tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí sản xuất. Vật lý: Tìm điểm cực đại, cực tiểu của các đại lượng vật lý. Kỹ thuật: Thiết kế các cấu trúc có kích thước tối ưu. 5. Kết nối với chương trình học
Bài học này là phần tiếp nối của các bài học về đạo hàm và liên tục, cũng là nền tảng cho việc học các bài học về tích phân và các ứng dụng khác của toán học. Bài học này giúp học sinh củng cố và nâng cao kiến thức về đạo hàm để chuẩn bị cho các nội dung khó hơn trong chương trình toán lớp 12.
6. Hướng dẫn học tập

Làm bài tập thường xuyên: Thực hành giải nhiều bài tập khác nhau để nắm vững các kỹ thuật và phương pháp giải.
Đọc kỹ bài giảng: Hiểu rõ lý thuyết và các ví dụ được trình bày trong bài giảng.
Thảo luận với bạn bè: Trao đổi và giải đáp các thắc mắc với bạn bè và giáo viên.
Tìm kiếm các nguồn tài liệu khác: Tham khảo sách bài tập, tài liệu trực tuyến để mở rộng kiến thức.
Luyện tập giải các bài toán khó: Chọn lọc các bài toán nâng cao để phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề.

Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự):

Giải Toán 12 - Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị

Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự):

Hướng dẫn chi tiết giải mục 2 trang 22, 23, 24 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức. Bài học cung cấp kiến thức, kỹ năng tìm cực trị hàm số, khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số. Bao gồm các ví dụ, bài tập minh họa. Phù hợp cho học sinh lớp 12 ôn tập và nâng cao.

Keywords (40 keywords):

Giải Toán 12, Toán lớp 12, SGK Toán 12 tập 2, Kết nối tri thức, Ứng dụng đạo hàm, Tìm cực trị, Khảo sát hàm số, Vẽ đồ thị hàm số, Đạo hàm, Cực đại, Cực tiểu, Khoảng đơn điệu, Miền xác định, Tiệm cận, Phương pháp giải, Bài tập, Ví dụ, Toán học, Học Toán, Học trực tuyến, Giải bài tập, Kiến thức, Kỹ năng, Bài học, Ứng dụng, Thực tế, Kinh tế, Kỹ thuật, Vật lý, Toán học lớp 12, Đạo hàm cấp một, Đạo hàm cấp hai, Điều kiện cần, Điều kiện đủ, Phương pháp, Hướng dẫn giải, Bài tập Toán, Giải bài tập toán 12.

hđ3

trả lời câu hỏi hoạt động 3 trang 22 sgk toán 12 kết nối tri thức

xét hình trụ có bán kính đáy r, có trục là trục hoành ox, nằm giữa hai mặt phẳng \(x = a\) và \(x = b\left( {a < b} \right)\) (h.4.20).

a) tính thể tích v của hình trụ.

b) tính diện tích mặt cắt s(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục ox tại điểm có hoành độ là x \(\left( {a \le x \le b} \right)\). từ đó tính \(\int\limits_a^b {s\left( x \right)dx} \) và so sánh với v.

phương pháp giải:

sử dụng kiến thức về thể tích hình trụ để tính: hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h thì có thể tích là: \(v = \pi {r^2}h\)

lời giải chi tiết:

a) thể tích v của hình trụ là: \(v = \pi {r^2}h = \pi {r^2}\left( {b - a} \right)\) (h là chiều cao của hình trụ)

b) diện tích mặt cắt s(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục ox tại điểm có hoành độ là x là: \(s\left( x \right) = \pi {r^2}\).

ta có: \(\int\limits_a^b {s\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {\pi {r^2}dx} = \pi {r^2}x\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right. = \pi {r^2}\left( {b - a} \right)\). do đó, \(v = \int\limits_a^b {s\left( x \right)dx} \).

vd2

trả lời câu hỏi vận dụng 2 trang 23 sgk toán 12 kết nối tri thức

tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là \({s_o},{s_1}\) và chiều cao bằng h (h.4.24). từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng s và chiều cao bằng h.

phương pháp giải:

sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích vật để để tính: cho một vật thể trong không gian oxyz. gọi \(\beta \) là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ox tại các điểm có hoành độ \(x = a,x = b\). một mặt phẳng vuông góc với trục ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là s(x). giả sử s(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. khi đó thể tích v của phần vật thể \(\beta \) được tính bởi công thức \(v = \int\limits_a^b {s\left( x \right)dx} \).

lời giải chi tiết:

trong hệ trục tọa độ oxyz, ta đặt khối chóp (tạo ra khối chóp cụt) sao cho đường cao nằm trên trục ox và đỉnh trùng với gốc tọa độ.

gọi a và b lần lượt là khoảng cách từ o đến đáy nhỏ và đáy lớn. khi đó, chiều cao của khối chóp cụt là: \(h = b - a\).

thiết diện của khối chóp cụt đều cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục ox tại điểm có hoành độ x \(\left( {a \le x \le b} \right)\) là một đa giác đều đồng dạng với đáy lớn với tỉ số đồng dạng là \(\frac{x}{b}\).

ta có: \(\frac{{s\left( x \right)}}{{{s_1}}} = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}\) nên \(s\left( x \right) = {s_1}.\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}\).

thể tích của khối chóp cụt đều là:

\(v = \int\limits_a^b {{s_1}\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}dx} = \frac{{{s_1}\left( {{b^3} - {a^3}} \right)}}{{3{b^2}}} = \frac{{b - a}}{3}.\frac{{{s_1}{a^2} + {s_1}ab + {s_1}{b^2}}}{{{b^2}}} = \frac{h}{3}\left( {\frac{{{s_1}{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{s_1}a}}{b} + {s_1}} \right)\)

lại có: \({s_0} = s\left( a \right) = \frac{{{s_1}{a^2}}}{{{b^2}}},\frac{{{s_1}a}}{b} = \sqrt {{s_1}.\frac{{{s_1}{a^2}}}{{{b^2}}}} = \sqrt {{s_1}{s_0}} \). do đó, \(v = \frac{h}{3}\left( {{s_0} + \sqrt {{s_0}{s_1}} + {s_1}} \right)\)

khối chóp đều được coi là khối chóp cụt đều có \({s_0} = 0\). do đó, thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng s và chiều cao bằng h là: \(v = \frac{1}{3}s.h\).

hđ4

trả lời câu hỏi hoạt động 4 trang 24 sgk toán 12 kết nối tri thức

xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 4\). khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành ox ta được khối nón có đỉnh là gốc o, trục là ox và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (h.4.25).

a) tính thể tích v của khối nón.

b) chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là f(x), do đó diện tích mặt cắt là \(s\left( x \right) = \pi {f^2}\left( x \right)\). tính \(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)dx} \) và so sánh với v.

phương pháp giải:

sử dụng kiến thức về thể tích khối nón để tính: thể tích của khối nón có bán kính r, chiều cao h là: \(v = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).

lời giải chi tiết:

a) thể tích của khối nón là: \(v = \frac{1}{3}.\pi {.2^2}.4 = \frac{{16\pi }}{3}\)

khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x \(\left( {0 \le x \le 4} \right)\) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là \(f\left( x \right) = \frac{1}{2}x\).

diện tích mặt cắt là: \(s\left( x \right) = \pi {f^2}\left( x \right) = \frac{1}{4}\pi {x^2}\).

ta có: \(\pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)dx} = \pi \int\limits_0^4 {\frac{1}{4}{x^2}dx = \frac{{\pi {x^3}}}{{12}}\left| \begin{array}{l}4\\0\end{array} \right. = } \frac{{16\pi }}{3}\). do đó, \(v = \pi \int\limits_0^4 {{f^2}\left( x \right)dx} \).

vd3

trả lời câu hỏi vận dụng 3 trang 25 sgk toán 12 kết nối tri thức

a) tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông oabc trong mặt phẳng oxy với \(oa = h,ab = r\) và \(oc = r\), quanh trục ox (h.4.28).

b) từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng r và chiều cao h.

phương pháp giải:

sử dụng kiến thức về công thức tính thể tích của khối tròn xoay để tính: cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x). thể tích của khối tròn xoay này là: \(v = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \).

lời giải chi tiết:

ta có: \(c\left( {0;r} \right),b\left( {h,r} \right) \rightarrow \overrightarrow {bc} \left( { - h,r - r} \right) \rightarrow \overrightarrow n \left( {r - r,h} \right)\)

phương trình đường thẳng bc là: \(\left( {r - r} \right)x + h\left( {y - r} \right) = 0 \leftrightarrow y = \frac{{hr + \left( {r - r} \right)x}}{h}\)

thể tích hình cần tính là:

\(v = \pi \int\limits_0^h {{{\left[ {\frac{{hr + \left( {r - r} \right)x}}{h}} \right]}^2}dx} = \pi \int\limits_0^h {{{\left[ {r + \frac{{\left( {r - r} \right)x}}{h}} \right]}^2}dx} = \pi \int\limits_0^h {\left[ {{r^2} + \frac{{2r\left( {r - r} \right)x}}{h} + \frac{{{{\left( {r - r} \right)}^2}{x^2}}}{{{h^2}}}} \right]dx} \)

\( = \pi \left( {{r^2}x + \frac{{r\left( {r - r} \right){x^2}}}{h} + \frac{{{{\left( {r - r} \right)}^2}{x^3}}}{{3{h^2}}}} \right)\left| \begin{array}{l}h\\0\end{array} \right. = \pi \left( {{r^2}h + \frac{{r\left( {r - r} \right){h^2}}}{h} + \frac{{{{\left( {r - r} \right)}^2}{h^3}}}{{3{h^2}}}} \right)\)

\( = \pi \left( {{r^2}h + r\left( {r - r} \right)h + \frac{{{{\left( {r - r} \right)}^2}h}}{3}} \right) = \pi \left( {{r^2}h + rrh - {r^2}h + \frac{{{r^2}h}}{3} - \frac{{2rrh}}{3} + \frac{{{r^2}h}}{3}} \right)\)

\( = \pi \left( {\frac{{rrh}}{3} + \frac{{{r^2}h}}{3} + \frac{{{r^2}h}}{3}} \right) = \frac{1}{3}\pi h\left( {{r^2} + rr + {r^2}} \right)\)

b) khi \(r = 0\) thì khối nón cụt trở thành khối nón có chiều cao h và bán kính đáy r. do đó, thể tích khối nón là: \(v = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).