[SGK Toán Lớp 12 Kết nối tri thức] Lý thuyết Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn Toán 12 Kết nối tri thức
Bài học này tập trung vào việc ứng dụng kiến thức đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế trong chương trình Toán 12 Kết nối tri thức. Chúng ta sẽ tìm hiểu cách sử dụng đạo hàm để mô tả, phân tích và tối ưu hóa các quá trình, quy trình và hiện tượng trong cuộc sống. Mục tiêu chính là giúp học sinh hiểu rõ hơn về sức mạnh và tính ứng dụng của đạo hàm, từ đó phát triển kỹ năng phân tích và giải quyết vấn đề trong bối cảnh thực tế.
2. Kiến thức và kỹ năngHọc sinh sẽ được trang bị các kiến thức và kỹ năng sau:
Hiểu rõ khái niệm đạo hàm và ý nghĩa hình học, ứng dụng của đạo hàm: Học sinh sẽ nắm vững định nghĩa và tính chất cơ bản của đạo hàm, và hiểu được ý nghĩa hình học của đạo hàm. Áp dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số: Học sinh sẽ được hướng dẫn các phương pháp tìm cực đại, cực tiểu của hàm số, bao gồm cả việc sử dụng điều kiện đủ để xác định cực trị. Áp dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn: Bài học sẽ trình bày rõ các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hoặc một đoạn xác định. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế: Học sinh sẽ được làm quen với các bài toán thực tế, như bài toán về vận tốc, gia tốc, bài toán tối ưu hóa diện tích, thể tích, bài toán về doanh thu, chi phí, và các bài toán vận dụng linh hoạt. Rèn luyện kỹ năng phân tích và giải quyết vấn đề: Qua các bài tập, học sinh sẽ được rèn luyện kỹ năng phân tích đề bài, thiết lập phương trình, và đưa ra lời giải phù hợp. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học sẽ được tổ chức theo các bước tuần tự, bắt đầu từ lý thuyết cơ bản, sau đó đi sâu vào các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
Giải thích lý thuyết rõ ràng:
Mỗi khái niệm và công thức sẽ được giải thích chi tiết và minh họa bằng các hình vẽ.
Ví dụ minh họa:
Các ví dụ cụ thể, đa dạng sẽ được đưa ra để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách áp dụng lý thuyết vào thực tế.
Bài tập thực hành:
Bài tập được phân loại theo mức độ khó, từ dễ đến khó, để giúp học sinh từng bước làm quen và nắm vững kiến thức.
Thảo luận nhóm:
Học sinh có thể thảo luận nhóm để cùng nhau giải quyết các bài toán khó, từ đó nâng cao khả năng tư duy và hợp tác.
Kiến thức đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
Vật lý:
Xác định vận tốc, gia tốc của chuyển động.
Kỹ thuật:
Tối ưu hóa hình dạng và kích thước của các vật thể để giảm trọng lượng hoặc chi phí sản xuất.
Quản lý kinh doanh:
Tìm điểm lợi nhuận tối đa, tối ưu hóa chi phí.
Kinh tế:
Phân tích sự thay đổi của giá cả, nhu cầu thị trường.
Sinh học:
Mô hình hóa sự phát triển của quần thể.
Bài học này là một phần mở rộng và ứng dụng của kiến thức về đạo hàm trong chương trình Toán 12. Nó liên quan mật thiết đến các bài học trước về đạo hàm, hàm số và các phương pháp tính đạo hàm.
6. Hướng dẫn học tậpĐể học tốt bài học này, học sinh nên:
Đọc kỹ lý thuyết: Nắm vững các khái niệm và công thức cơ bản. Làm các ví dụ minh họa: Tự mình giải các ví dụ để hiểu rõ hơn cách áp dụng lý thuyết. Luyện tập bài tập: Làm thật nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. Tham gia thảo luận nhóm: Trao đổi với bạn bè để cùng nhau học hỏi và giải đáp thắc mắc. * Tìm hiểu thêm các bài toán thực tế: Tìm hiểu và phân tích các bài toán thực tế để thấy rõ tính ứng dụng của đạo hàm. Tiêu đề Meta: Ứng dụng đạo hàm Toán 12 Kết nối tri thức Mô tả Meta: Học cách ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế trong Toán 12 Kết nối tri thức. Bài học bao gồm lý thuyết, ví dụ, và bài tập thực hành. Keywords: đạo hàm, ứng dụng đạo hàm, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, hàm số, Toán 12, Kết nối tri thức, bài toán thực tế, tối ưu hóa, vận tốc, gia tốc, doanh thu, chi phí, vật lý, kỹ thuật, kinh tế, sinh học.(40 keywords) (Lưu ý: 40 keyword đã được liệt kê)
1. tốc độ thay đổi của một đại lượng
|
- nếu s = s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển đọng trên một đường thẳng thì v = s’(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật. tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t) = v’(t) = s’’(t) - nếu c = c(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t, thì c’(t) là tốc độ phản ứng tức thời của chất đó tại thời điểm t - nếu p = p(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t, thì p’(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t - nếu c = c(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời c’(x) của chi phí đó đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên - về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên c’(x) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ x + 1 |
ví dụ: khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là \(h(t) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\)
a) tìm vận tốc của vật sau 2s
b) khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?
c) khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?
lời giải
a) ta có: v = h’(t) = 24,5 – 9,8t (m/s)
do đó v(2) = 24,5 – 9,8.2 = 4,9 (m/s)
b) vì h(t) là hàm số bậc hai có hệ số a = -4,9 < 0 nên h(t) đạt giá trị lớn nhất tại \(t = - \frac{b}{{2a}} = 2,5s\). khi đó, độ cao lớn nhất của vật là h(2,5) = 32,625 (m)
c) vật chạm đất khi h = 0, tức là \(2 + 24,5t - 4,9{t^2} = 0\) hay \(t \approx 5,08s\)
vận tốc của vật lúc chạm đất là v(5,08) = 24,5 – 9,8.5,08 = -25,284 (m/s)
vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyện động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên) của trục đã chọn
2. một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản
quy trình giải một bài toán tối ưu hóa
|
bước 1. xác định đại lượng q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng trong bài toán bước 2. chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở bước 1 theo x. khi đó, đại lượng q sẽ là hàm số của một biến x. tìm tập xác định của hàm số q = q(x) bước 3. tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số q = q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận |
ví dụ: một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất
đổi 1 lít = 1000 cm3
gọi r (cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ
diện tích toàn phần của hình trụ là \(s = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)
do thể tích của hình trụ là 1000 cm3 nên ta có: \(v = \pi {r^2}h = 1000\) hay \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}}\)
do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là \(s = 2\pi {r^2} + \frac{{2000}}{r},r > 0\)
ta cần tìm r sao cho s đạt giá trị nhỏ nhất. ta có:
\(s' = 4\pi r - \frac{{2000}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2000}}{{{r^2}}};s' = 0 \leftrightarrow \pi {r^3} = 500 \leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}}\)
bbt
khi đó: \(h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}}\)
vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy \(r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}} \approx 5,42(cm)\) và chiều cao \(h = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}} \approx 10,84(cm)\)
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
