SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Giải bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Hướng dẫn học bài: Giải bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá - Môn Toán học Lớp 12 Lớp 12. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá Lớp 12' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

đề bài

đường gấp khúc abd trong hình 4.8 là đồ thị vận tốc \(v(t)\) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động). trong khoảng thời gian mà \(v < 0\)thì vật chuyển động ngược chiều với khoảng thời gian mà \(v > 0\).

a) viết công thức của hàm số \(v(t)\) với \(t \in [0;9]\).

b) biết rằng quãng đường vật đi chuyển với vận tốc \(v = v(t)\) từ thời điểm \(t = a\) đến thời điểm \(t = b\) là \(s = \int_a^b | v(t)|{\mkern 1mu} dt\), tính quãng đường vật di chuyển được trong 9 giây kể từ khi vật bắt đầu chuyển động.

c) tính tổng diện tích của hình thang \(oabc\) và tam giác \(cde\) rồi so sánh với kết quả ở câu b.

phương pháp giải - xem chi tiết

- xác định các đoạn của đồ thị: đồ thị gồm các đoạn ab, bc, và cd.

- sử dụng công thức tính quãng đường từ \(t = 0\) đến \(t = 9\) bằng tích phân của \(|v(t)|\).

- tính từng phần diện tích tương ứng với các đoạn ab, bc, cd trên đồ thị.

- diện tích hình thang \(oabc\) được tính theo công thức diện tích hình thang.

- diện tích tam giác \(cde\) được tính theo công thức diện tích tam giác.

lời giải chi tiết

- đoạn \(ab\): ở đây, đồ thị có giá trị vận tốc không đổi là 4 m/s từ \(t = 0\) đến \(t = 6\), tức là:

\(v(t) = 4\quad {\rm{,}}\quad t \in [0;6].\)

- đoạn \(bc\) và \(cd\): đoạn này là một đường thẳng dốc xuống từ \(t = 6\) đến \(t = 8\), vận tốc giảm từ 4 m/s xuống -2 m/s. phương trình đường thẳng có dạng:

\(v(t) = - 2t + 16\,\,\,\,\,\,{\rm{,}}\quad t \in [6;9].\)

vậy, công thức của hàm vận tốc \(v(t)\) theo từng khoảng là:

\(v(t) = \mathop \{ \nolimits_{ - 2t + 16\,\,\,\,\,\,khi\,\,6 < t \le 9}^{4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le t \le 6} \)

- quãng đường được tính là tích phân của \(|v(t)|\). cần tính tích phân của các đoạn như sau:

đoạn ab:

\(\int_0^6 | v(t)|dt = \int_0^6 4 {\mkern 1mu} dt = 4 \times 6 = 24{\mkern 1mu} {\rm{m}}.\)

đoạn bc và cd:

\(\int_6^9 | v(t)|dt = \int_6^9 {\left| { - 2t + 16} \right|} dt = \int_6^8 {\left( { - 2t + 16} \right)dt + } \int_8^9 {\left( {2t - 16} \right)dt} \)

\(\int_6^9 | v(t)|dt = \left. {( - {t^2} + 16t)} \right|_6^8 + \left. {({t^2} - 16t)} \right|_8^9 = 4 + 1 = 5m\)

tổng quãng đường vật di chuyển là:

\(24 + 5 = 29{\mkern 1mu} {\rm{m}}.\)

diện tích hình thang \(oabc\):

công thức diện tích hình thang:

\({s_{{\rm{ht}}}} = \frac{1}{2} \times (ab + oc) \times oa = \frac{1}{2} \times (6 + 8) \times 4 = 28{\mkern 1mu} .\)

diện tích tam giác \(cde\):

công thức diện tích tam giác:

\({s_{{\rm{tg}}}} = \frac{1}{2} \times ce \times ed = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1{\mkern 1mu} \)

tổng diện tích là:

\({s_{{\rm{tong}}}} = 28 + 1 = 29\)

vậy kết quả ở câu c và câu b là giống nhau.