[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Giải bài tập 4.13 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Bài học này tập trung vào việc giải bài tập 4.13 trang 20 SGK Toán 12 tập 2. Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững phương pháp giải các bài toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số. Bài học sẽ phân tích chi tiết từng bước giải, giúp học sinh hiểu rõ cách vận dụng kiến thức đã học vào bài tập cụ thể.
2. Kiến thức và kỹ năng Hiểu rõ khái niệm cực trị của hàm số: Học sinh cần nắm vững định nghĩa, các điều kiện cần và đủ để một điểm là điểm cực trị. Áp dụng các quy tắc tìm cực trị: Học sinh cần vận dụng thành thạo các quy tắc tính đạo hàm, tìm điểm dừng, xét dấu đạo hàm để xác định cực trị. Phân tích bài toán và lập luận: Học sinh cần có khả năng phân tích bài toán, xác định các yếu tố cần thiết để giải quyết vấn đề, và trình bày luận điểm một cách logic. Vận dụng kiến thức vào giải quyết bài toán thực tế: Học sinh cần vận dụng kiến thức lý thuyết đã học để giải bài tập 4.13 một cách hiệu quả. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học sẽ được tổ chức theo phương pháp phân tích chi tiết từng bước giải bài tập.
Phân tích đề bài: Xác định yêu cầu của bài toán, các dữ kiện đã cho và cần tìm. Lập luận và giải quyết: Áp dụng các kiến thức về cực trị của hàm số để tìm ra phương pháp giải. Ứng dụng công thức: Sử dụng các công thức liên quan đến đạo hàm để tính toán. Kiểm tra kết quả: Kiểm tra lại kết quả tìm được để đảm bảo tính chính xác.Bài học sẽ được minh họa bằng các ví dụ cụ thể, giúp học sinh dễ dàng hình dung và áp dụng vào giải quyết bài toán.
4. Ứng dụng thực tếKiến thức về cực trị của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
Tối ưu hóa: Xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng trong một số điều kiện nhất định. Kỹ thuật: Thiết kế các hệ thống tối ưu về hiệu suất, chi phí. Kinh tế: Tối ưu hóa lợi nhuận, chi phí sản xuất. 5. Kết nối với chương trình họcBài học này là một phần quan trọng trong chương trình học về ứng dụng đạo hàm trong giải tích. Nó kết nối với các bài học trước về đạo hàm, và chuẩn bị cho các bài học tiếp theo về các ứng dụng khác của đạo hàm.
6. Hướng dẫn học tập Đọc kỹ đề bài:
Hiểu rõ yêu cầu của bài toán và các dữ kiện đã cho.
Vẽ sơ đồ tư duy:
Phân tích bài toán thành các bước nhỏ để dễ dàng giải quyết.
Thực hành giải bài tập:
Thử giải nhiều bài tập tương tự để nắm vững phương pháp.
Xem lại bài giảng:
Xem lại các ví dụ minh họa trong bài giảng để hiểu rõ hơn về cách tiếp cận.
Trao đổi với bạn bè:
Thảo luận với bạn bè để cùng nhau tìm hiểu và giải quyết vấn đề.
* Tìm kiếm tài liệu tham khảo:
Tìm kiếm các nguồn tài liệu khác để bổ sung kiến thức.
(Ở đây cần đưa ra ví dụ cụ thể về cách giải bài tập 4.13, phân tích từng bước, các công thức cần thiết, và kết quả cuối cùng.)
Keywords:1. Giải bài tập toán 12
2. Toán 12 tập 2
3. Cực trị hàm số
4. Đạo hàm
5. Phương trình
6. Bất phương trình
7. Hàm số
8. Điểm cực đại
9. Điểm cực tiểu
10. Giá trị cực đại
11. Giá trị cực tiểu
12. Điều kiện cần
13. Điều kiện đủ
14. Bài tập 4.13
15. SGK Toán 12
16. Giải tích
17. Tập 2
18. Ứng dụng đạo hàm
19. Toán học
20. Hướng dẫn giải
21. Bước giải
22. Phương pháp giải
23. Ví dụ
24. Công thức
25. Minh họa
26. Bài tập
27. Kiến thức
28. Kỹ năng
29. Học tập
30. Học sinh
31. Phương pháp
32. Bài giảng
33. Bài học
34. Bài tập thực hành
35. Kết quả
36. Liên hệ thực tế
37. Tài liệu
38. Tham khảo
39. Tối ưu hóa
40. Kinh tế học
(Lưu ý: Phần ví dụ minh họa giải bài tập 4.13 cần được bổ sung chi tiết để bài viết hoàn chỉnh hơn.)
Đề bài
Tính các tích phân sau:
a) \(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx\);
b) \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx\);
c) \(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx\);
d) \(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx\);
e) \(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx\);
g) \(\int_1^4 | 5 - 3x|dx\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tích phân đa thức: Sử dụng tính chất phân phối của tích phân và tính các tích phân bậc nhất hoặc bậc hai.
- Tích phân lượng giác: Sử dụng các công thức lượng giác, chẳng hạn như công thức hạ bậc hoặc các công thức đồng nhất.
- Tích phân hàm mũ: Dùng công thức tích phân cơ bản của hàm mũ.
- Tích phân có giá trị tuyệt đối: Chia miền tích phân thành các đoạn nhỏ hơn sao cho hàm bên trong giá trị tuyệt đối có thể bỏ dấu trị tuyệt đối.
Lời giải chi tiết
a)
\(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx = \int_{ - 1}^2 {({x^2} + x)} dx = \int_{ - 1}^2 {{x^2}} dx + \int_{ - 1}^2 x dx\)
Tính từng phần:
\(\int_{ - 1}^2 {{x^2}} dx = \frac{{{x^3}}}{3}|_{ - 1}^2 = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{{{{( - 1)}^3}}}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3,\)
\(\int_{ - 1}^2 x dx = \frac{{{x^2}}}{2}|_{ - 1}^2 = \frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.\)
Kết quả:
\(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}.\)
b)
Sử dụng công thức hạ bậc:
\({\cos ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 + \cos x}}{2}.\)
Tính tích phân:
\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 + \cos x)} dx = \frac{1}{2}\left( {\int_0^{\frac{\pi }{2}} 1 dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx} \right).\)
Tính từng phần:
\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} 1 dx = \frac{\pi }{2},\quad \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx = \sin x|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 - 0 = 1.\)
Kết quả:
\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right) = \frac{{\pi + 2}}{4}.\)
c)
Sử dụng công thức tích phân của hàm mũ:
\(\int {{a^{bx}}} dx = \frac{{{a^{bx}}}}{{b\ln a}}.\)
Tính tích phân:
\(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx = \int_1^2 2 \cdot {2^{ - 3x}}dx = 2\int_1^2 {{2^{ - 3x}}} dx.\)
Áp dụng công thức:
\(2\int {{2^{ - 3x}}} dx = 2 \cdot \frac{{{2^{ - 3x}}}}{{ - 3\ln 2}} = - \frac{{{2^{ - 3x + 1}}}}{{3\ln 2}}.\)
Thay cận:
\( - \frac{{{2^{ - 3x + 1}}}}{{3\ln 2}}|_1^2 = - \frac{{{2^{ - 5}}}}{{3\ln 2}} + \frac{{{2^{ - 2}}}}{{3\ln 2}} = \frac{1}{{3\ln 2}}\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{32}}} \right) = \frac{1}{{3\ln 2}} \cdot \frac{7}{{32}}.\)
Kết quả:
\(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx = \frac{7}{{96\ln 2}}.\)
d)
Sử dụng công thức:
\({\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1.\)
Tính tích phân:
\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1)} dx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx - \int_0^{\frac{\pi }{4}} 1 dx.\)
Tính từng phần:
\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 - 0 = 1,\)
\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} 1 dx = \frac{\pi }{4}.\)
Kết quả:
\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx = 1 - \frac{\pi }{4}.\)
e)
Chia thành hai tích phân:
\(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx = \int_1^4 {{e^{2x + 1}}} dx - 3\int_1^4 x \sqrt x dx.\)
Tính từng phần:
- Với \({e^{2x + 1}}\), đặt \(u = 2x + 1\), \(du = 2dx\), ta có:
\(\int {{e^{2x + 1}}} dx = \frac{1}{2}\int {{e^u}du = \frac{{{e^u}}}{2}} = \frac{{{e^{2x + 1}}}}{2}.\)
Thay cận:
\(\frac{{{e^{2x + 1}}}}{2}|_1^4 = \frac{{{e^9}}}{2} - \frac{{{e^3}}}{2}.\)
- Với \(x\sqrt x = {x^{3/2}}\), ta có:
\(\int {{x^{3/2}}} dx = \frac{2}{5}{x^{5/2}}.\)
Thay cận:
\(\frac{2}{5}{x^{5/2}}|_1^4 = \frac{2}{5}(32 - 1) = \frac{{62}}{5}.\)
Kết quả:
\(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx = \frac{{{e^9} - {e^3}}}{2} - \frac{{186}}{5}.\)
g)
Tìm điểm đổi dấu:
\(5 - 3x = 0\quad {\rm{khi}}\quad x = \frac{5}{3}.\)
Chia khoảng tích phân:
\(\int_1^4 | 5 - 3x|dx = \int_1^{\frac{5}{3}} {(5 - 3x)} dx + \int_{\frac{5}{3}}^4 {(3x - 5)} dx.\)
Tính tích phân trên đoạn \([1,\frac{5}{3}]\):
\(\int_1^{\frac{5}{3}} {(5 - 3x)} dx = 5x - \frac{{3{x^2}}}{2}|_1^{\frac{5}{3}} = \frac{{25}}{3} - \frac{{25}}{6} - \left( {5 - \frac{3}{2}} \right) = \frac{2}{3}.\)
Tính tích phân trên đoạn \([\frac{5}{3},4]\):
\(\int_{\frac{5}{3}}^4 {(3x - 5)} dx = \frac{{3{x^2}}}{2} - 5x|_{\frac{5}{3}}^4 = 4 - \left( { - \frac{{25}}{6}} \right) = \frac{{49}}{6}.\)
Kết quả cuối cùng:
\(\int_1^4 | 5 - 3x|dx = \frac{2}{3} + \frac{{49}}{6} = \frac{{53}}{6}.\)
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
