SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Thư viện lời giải
Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá
Chương 4. Nguyên hàm. Tích phân
Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số (Toán 12 Cánh Diều) 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc nghiên cứu tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Đây là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán lớp 12, giúp học sinh hiểu sâu hơn về đồ thị hàm số và ứng dụng của nó trong giải quyết các bài toán thực tế. Mục tiêu chính của bài học là trang bị cho học sinh kiến thức và kỹ năng cần thiết để:

Xác định tính đơn điệu của hàm số. Tìm cực trị của hàm số. Vẽ đồ thị hàm số dựa trên thông tin về tính đơn điệu và cực trị. 2. Kiến thức và kỹ năng
Học sinh sẽ được học và thực hành các nội dung sau:

Khái niệm tính đơn điệu của hàm số: Đồng biến, nghịch biến trên một khoảng.
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số: Sử dụng đạo hàm để xác định tính đơn điệu.
Khái niệm cực trị của hàm số: Cực đại, cực tiểu.
Quy tắc tìm cực trị của hàm số: Sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực trị và xét dấu đạo hàm để xác định cực đại, cực tiểu.
Ứng dụng của cực trị trong thực tế: Ví dụ về việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong các bài toán thực tế.

3. Phương pháp tiếp cận

Bài học sẽ được tổ chức theo phương pháp kết hợp giữa lý thuyết và thực hành.

Giảng bài: Giáo viên sẽ trình bày các khái niệm và quy tắc một cách rõ ràng, minh bạch. Ví dụ minh họa: Các ví dụ cụ thể sẽ được giải chi tiết để học sinh dễ dàng nắm bắt. Bài tập thực hành: Học sinh sẽ được làm các bài tập khác nhau để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng. Thảo luận nhóm: Học sinh sẽ được làm việc nhóm để trao đổi, giải quyết các vấn đề khó khăn. Đánh giá: Giáo viên sẽ đánh giá thường xuyên quá trình học tập của học sinh để kịp thời hướng dẫn và hỗ trợ. 4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức về tính đơn điệu và cực trị của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: Ứng dụng trong kinh tế, kỹ thuật, vật lýu2026
Xác định điểm tối ưu: Trong kinh doanh, tối ưu hóa chi phí, lợi nhuận.
Mô hình hóa các quá trình thay đổi: Trong nghiên cứu khoa học, mô hình hóa các quá trình thay đổi theo thời gian.

5. Kết nối với chương trình học

Bài học này là một phần quan trọng trong chương trình toán lớp 12, kết nối với các bài học trước về đạo hàm và các bài học sau về đồ thị hàm số. Nắm vững bài học này sẽ giúp học sinh:

Hiểu sâu hơn về các khái niệm đạo hàm. Áp dụng đạo hàm vào việc giải các bài toán về hàm số. Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác và hiệu quả. 6. Hướng dẫn học tập
Để học tốt bài học này, học sinh nên:

Đọc kĩ lý thuyết: Hiểu rõ các khái niệm và quy tắc.
Làm các ví dụ minh họa: Cố gắng tự giải các ví dụ để nắm chắc kiến thức.
Làm bài tập thường xuyên: Thực hành giải các bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng.
Hỏi đáp với giáo viên: Nếu có khó khăn, hãy hỏi giáo viên để được hướng dẫn.
Làm việc nhóm: Trao đổi với bạn bè để cùng nhau tìm hiểu và giải quyết các vấn đề.

Tiêu đề Meta: Tính đơn điệu và cực trị hàm số - Toán 12 Mô tả Meta: Bài học này cung cấp lý thuyết chi tiết về tính đơn điệu và cực trị của hàm số, bao gồm khái niệm, quy tắc, ví dụ minh họa và ứng dụng thực tế. Học sinh sẽ được hướng dẫn cách xác định tính đơn điệu, tìm cực trị và vẽ đồ thị hàm số dựa trên thông tin này. Keywords: 1. Tính đơn điệu 2. Cực trị 3. Hàm số 4. Đạo hàm 5. Đồng biến 6. Nghịch biến 7. Cực đại 8. Cực tiểu 9. Điểm cực trị 10. Giá trị lớn nhất 11. Giá trị nhỏ nhất 12. Đồ thị hàm số 13. Toán lớp 12 14. Cánh Diều 15. Phương pháp giải 16. Bài tập 17. Ứng dụng thực tế 18. Quy tắc xét tính đơn điệu 19. Quy tắc tìm cực trị 20. Xét dấu đạo hàm 21. Hàm số bậc ba 22. Hàm số bậc bốn 23. Hàm số phân thức 24. Hàm số lượng giác 25. Hàm số mũ 26. Hàm số logarit 27. Phương trình 28. Bất phương trình 29. Giá trị cực đại 30. Giá trị cực tiểu 31. Điều kiện cần 32. Điều kiện đủ 33. Điểm dừng 34. Điểm tới hạn 35. Hàm số liên tục 36. Hàm số có đạo hàm 37. Hàm số xác định 38. Hàm số xác định trên khoảng 39. Hàm số xác định trên đoạn 40. Toán học

1. tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

định lý

cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \))

hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng k nếu f’(x) > 0
hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng k nếu f’(x) < 0

ví dụ: hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên hs đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)
y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên hs đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

định lý mở rộng

cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).

nếu f’(x) \( \ge \) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)
nếu f’(x) \( \le \) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)

2. cực trị của hàm số

khái niệm cực trị của hàm số

cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \) ) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\)
nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\)

ví dụ: cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{ct}}\)= y(-1) = 2

hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{ct}}\)= y(1) = 2

định lí (điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). khi đó:

nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x)

ví dụ: tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30.\)

tập xác định của hàm số là r.

ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

bbt:

hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34.

hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{ct}}\)= y(3) = 30.

tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)

tìm tập xác định của hàm số.
tính đạo hàm f’(x). tìm các điểm \({x_i}\)(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
lập bbt của hàm số.
nêu kết luận về các điểm trực trị và giá trị cực trị