SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Giải mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Bài học: Giải quyết các bài tập mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải quyết các bài tập mục 2 thuộc các trang 4, 5, 6, 7 của sách giáo khoa Toán 12 tập 2, chủ đề "Cùng khám phá". Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững các phương pháp giải toán, rèn kỹ năng phân tích và vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các tình huống toán học cụ thể. Bài học sẽ nhấn mạnh cách thức tư duy logic, phân tích dữ liệu và đưa ra lời giải chính xác.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được:

Nắm vững: Các khái niệm, định lý, công thức liên quan đến chủ đề của các bài tập. Rèn luyện: Kỹ năng phân tích bài toán, xác định các yếu tố cần thiết, lập luận logic. Áp dụng: Các kiến thức đã học vào việc giải quyết các bài tập cụ thể. Hiểu rõ: Cách thức tư duy và trình bày lời giải một cách khoa học, rõ ràng. Phát triển: Khả năng tự học, tìm tòi và giải quyết vấn đề. 3. Phương pháp tiếp cận
Bài học sẽ được triển khai theo phương pháp "từ cơ bản đến nâng cao". Đầu tiên, sẽ ôn tập lại các kiến thức nền tảng liên quan. Tiếp theo, các ví dụ mẫu sẽ được giải chi tiết, phân tích từng bước, giúp học sinh hiểu rõ cách thức tư duy và trình bày lời giải. Sau đó, học sinh sẽ được hướng dẫn giải các bài tập trong mục 2. Một số bài tập khó sẽ được giải quyết theo nhóm hoặc thảo luận trên lớp. Bài học sẽ kết hợp giữa phương pháp giảng dạy truyền thống và các hoạt động tương tác, kích thích sự tham gia của học sinh.
4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức và kỹ năng được học trong bài học có thể được áp dụng vào nhiều lĩnh vực trong cuộc sống, ví dụ như:

Phân tích dữ liệu: Trong kinh doanh, quản lý, nghiên cứu khoa học.
Giải quyết vấn đề: Trong các tình huống hàng ngày, công việc, học tập.
Tư duy logic: Trong việc đưa ra quyết định, lập kế hoạch.

5. Kết nối với chương trình học

Bài học này là một phần quan trọng của chương trình Toán 12 tập 2, nó giúp học sinh củng cố và nâng cao kiến thức về [chỉ rõ nội dung chương]. Bài học sẽ làm nền tảng cho các bài học tiếp theo, giúp học sinh có sự chuẩn bị tốt cho việc học các kiến thức phức tạp hơn.

6. Hướng dẫn học tập Chuẩn bị: Học sinh cần ôn lại các kiến thức liên quan đến các bài tập mục 2 trang 4, 5, 6, 7. Tham gia: Chủ động tham gia vào các hoạt động thảo luận, giải quyết bài tập trên lớp. Luyện tập: Thực hành giải nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức. Ghi chú: Ghi lại các điểm khó hiểu, các phương pháp giải bài tập quan trọng. Tự học: Tìm hiểu thêm các nguồn tài liệu khác để mở rộng kiến thức. Trao đổi: Thảo luận với bạn bè, giáo viên để cùng nhau giải quyết các bài tập khó. Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự):

Giải Toán 12 Tập 2 - Mục 2 Trang 4-7

Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự):

Hướng dẫn chi tiết giải các bài tập mục 2 trang 4, 5, 6, 7 SGK Toán 12 tập 2. Bài học tập trung vào rèn kỹ năng phân tích, giải quyết bài toán, áp dụng kiến thức vào thực tế. Tìm hiểu cách thức tư duy logic và trình bày lời giải bài toán.

Keywords (40 keywords):

Toán 12, Toán lớp 12, Giải toán, Bài tập, SGK Toán, SGK Toán 12 tập 2, Mục 2, Trang 4, Trang 5, Trang 6, Trang 7, Phương pháp giải toán, Phân tích bài toán, Kỹ năng giải toán, Tư duy logic, Kiến thức toán học, Giải bài tập, Bài tập khó, Bài tập dễ, Cùng khám phá, Ôn tập, Nâng cao, Ứng dụng thực tế, Lập luận, Trình bày lời giải, Định lý, Công thức, Khái niệm, Kỹ năng tự học, Làm bài tập, Thảo luận nhóm, Học tập hiệu quả, Học sinh lớp 12, Giải bài tập SGK, Giải bài tập trắc nghiệm, Giải phương trình, Giải bất phương trình, Hàm số, Phương trình bậc 2, Phương pháp đạo hàm, Đạo hàm, Nguyên hàm, Tích phân, Hàm số mũ, Hàm số logarit.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3}\).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:

\(\frac{d}{{dx}}(a{x^n}) = a \cdot n \cdot {x^{n - 1}}\)

b) Chia bài toán thành các khoảng, áp dụng công thức sau để tính đạo hàm của hàm logarit cho từng khoảng.

\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(a{x^n}\), với \(a = \frac{1}{3}\) và \(n = 3\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{3}{x^3}} \right) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot {x^{3 - 1}} = {x^2}\)

Trên khoảng \((0, + \infty )\):, \(|x| = x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln x\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)

Trên khoảng \(( - \infty ,0)\), \(|x| = - x\). Do đó, hàm số trở thành \(y = \ln ( - x)\). Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\ln ( - x)\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}(\ln ( - x)) = \frac{1}{{ - x}} \cdot ( - 1) = \frac{1}{x}\)

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm

a) \(\int {{x^{\frac{2}{3}}}dx;} \)

b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} dx\).

Phương pháp giải:

a) Để tính tích phân của hàm số dạng \({x^n}\), với \(n \ne - 1\), ta sử dụng quy tắc tích phân cơ bản: \(\int {{x^n}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

b) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{x^n}}}\), ta chuyển hàm số này thành dạng \({x^{ - n}}\) và sử dụng quy tắc tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết:

a) Tính tích phân

\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx\)

Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số dạng \({x^n}\), với \(n = \frac{2}{3}\):

\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}} + C\)

Tính \(\frac{2}{3} + 1\):

\(\frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{5}{3}\)

Do đó:

\(\int {{x^{\frac{2}{3}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + C = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + C\)

b) Tính tích phân

\(\int {\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} {\mkern 1mu} dx\)

Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}\) thành dạng \({x^n}\):

\(\frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }} = {x^{ - \frac{3}{2}}}\)

Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({x^n}\), với \(n = - \frac{3}{2}\):

\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}} + C\)

Tính \( - \frac{3}{2} + 1\):

\( - \frac{3}{2} + 1 = - \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}\)

Do đó:

\(\int {{x^{ - \frac{3}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^{ - \frac{1}{2}}}}}{{ - \frac{1}{2}}} + C = - 2{x^{ - \frac{1}{2}}} + C\)

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).

b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).

Phương pháp giải:

Để chứng minh rằng một hàm số F(x) là một nguyên hàm của một hàm số f(x), ta cần chỉ ra rằng đạo hàm của F(x) bằng f(x).

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).

Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):

\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = \frac{d}{{dx}}({e^x}) + \frac{d}{{dx}}(3)\)

\(\frac{d}{{dx}}({e^x}) = {e^x}{\rm{ và }}\frac{d}{{dx}}(3) = 0\)

\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} + 0 = {e^x}\)

Vậy:

\(\frac{d}{{dx}}({e^x} + 3) = {e^x} = f(x)\)

Do đó, \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {e^x}\).

b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).

Để chứng minh rằng hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\), ta cần kiểm tra đạo hàm của \(F(x)\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot \frac{d}{{dx}}({2^x})\)

\(\frac{d}{{dx}}({2^x}) = {2^x} \cdot \ln 2\)

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = \frac{1}{{\ln 2}} \cdot ({2^x} \cdot \ln 2) = {2^x}\)

Vậy:

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right) = {2^x} = f(x)\)

Do đó, \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của \(f(x) = {2^x}\).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm

a) \(\int {\frac{1}{{{3^x}}}dx;} \)

b) \(\int {{e^{ - x}}} dx;\)

c) \(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}dx} \).

Phương pháp giải:

a) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{1}{{{a^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({a^{ - x}}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:

\(\int {{a^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^{ - x}}}}{{ - \ln a}} + C\)

trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

b) Để tính tích phân của hàm số \({e^{ - x}}\), ta sử dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({e^x}\). Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), vì vậy ta cần điều chỉnh dấu trong tích phân.

c) Để tính tích phân của hàm số dạng \(\frac{{{a^x}}}{{{b^x}}}\), ta có thể viết nó dưới dạng \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^x}\). Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số \({a^x}\), ta có:

\(\int {{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{a}{b}} \right)}} + C\)

Lời giải chi tiết:

Chuyển biểu thức \(\frac{1}{{{3^x}}}\) thành dạng \({3^{ - x}}\):

\(\frac{1}{{{3^x}}} = {3^{ - x}}\)

Áp dụng quy tắc tích phân:

\(\int {{3^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{ - x}}}}{{ - \ln 3}} + C\)

Kết quả:

\(\int {\frac{1}{{{3^x}}}} {\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^{ - x}}}}{{\ln 3}} + C\)

Áp dụng quy tắc tích phân vào:

\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx\)

Đạo hàm của \({e^{ - x}}\) là \( - {e^{ - x}}\), do đó:

\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)

Kết quả:

\(\int {{e^{ - x}}} {\mkern 1mu} dx = - {e^{ - x}} + C\)

Ta có:

\(\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\)

Áp dụng quy tắc tích phân vào:

\(\int {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)

Kết quả:

\(\int {\frac{{{2^x}}}{{{5^x}}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {\frac{2}{5}} \right)}} + C\)

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f(x) = {3^x}\) biết \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\).

Phương pháp giải:

- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ với cơ số a, tức là \(\int {{a^x}dx} \) với a>0 và a≠1.

- Sau khi tìm được nguyên hàm tổng quát, sử dụng điều kiện F(0) để xác định hằng số tích phân C.

Lời giải chi tiết:

Tính nguyên hàm của hàm số \({3^x}\):

\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx\)

- Áp dụng quy tắc tích phân cho hàm số mũ \({a^x}\):

\(\int {{a^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)

- Với \(a = 3\), ta có:

\(\int {{3^x}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)

Sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân:

- Điều kiện ban đầu là \(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\). Thay \(x = 0\) vào nguyên hàm tổng quát:

\(F(0) = \frac{{{3^0}}}{{\ln 3}} + C\)

- Vì \({3^0} = 1\), ta có:

\(F(0) = \frac{1}{{\ln 3}} + C\)

- Theo điều kiện ban đầu:

\(\frac{1}{{\ln 3}} + C = \frac{1}{{\ln 3}} + 2\)

Kết quả:

\(F(x) = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + 2\)

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \sin x;\)

b) \(y = - \cos x;\)

c) \(y = \tan x;\)

d) \(y = - \cot x\).

Phương pháp giải:

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\):

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \(\sin x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}(\sin x) = \cos x\)

b) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cos x\):

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số \( - \cos x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}( - \cos x) = - \frac{d}{{dx}}(\cos x) = - ( - \sin x) = \sin x\)

c) Đạo hàm của hàm số \(y = \tan x\):

Hàm số \(\tan x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \sin x\) và \(v = \cos x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) = \frac{{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot ( - \sin x)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

d) Đạo hàm của hàm số \(y = - \cot x\):

Hàm số \(\cot x\) có thể viết lại dưới dạng \(\frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).

Áp dụng quy tắc đạo hàm cho hàm số dạng \(\frac{u}{v}\) với \(u = \cos x\) và \(v = \sin x\), ta có:

\(\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right) = \frac{{\sin x \cdot ( - \sin x) - \cos x \cdot \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\)

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho \(G(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\). Tính \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp tích phân để tìm nguyên hàm của hàm số.

- Áp dụng điều kiện ban đầu \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số tích phân.

- Tính giá trị của \(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) là \(G(x) = - \cot x + C\), trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

Ta có điều kiện \(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\), do đó:

\(G\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\)

Vậy nguyên hàm cần tìm là:

\(G(x) = - \cot x\)

\(G\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1\)

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 7 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1°C. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm 𝑡 phút (0≤ 𝑡 ≤5) được cho bởi hàm số \[f(t) = 3{t^2}\] (°C/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm 𝑡 là một nguyên hàm của hàm số \[f(t)\], tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.

Phương pháp giải:

- Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) để xác định nhiệt độ \(T(t)\) tại thời điểm \(t\).

- Sử dụng điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu là \({1^\circ }C\) để tìm hằng số tích phân.

- Tính nhiệt độ tại thời điểm \(t = 3\) phút.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số \(f(t) = 3{t^2}\) là:

\(T(t) = \int 3 {t^2}{\mkern 1mu} dt = {t^3} + C\)

trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

Ta có điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm t = 0 là \({1^\circ }C\), do đó:

\(T(0) = {0^3} + C = 1 \Rightarrow C = 1\)

Vậy nhiệt độ tại thời điểm \(t\) phút là:

\(T(t) = {t^3} + 1\)