[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Lý thuyết Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Cùng khám phá
Lý thuyết Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Cùng khám phá
1. Tổng quan về bài họcBài học này tập trung vào việc cung cấp kiến thức và kỹ năng cần thiết để khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba, bậc bốn, hàm phân thức, hàm chứa căn và các hàm số đặc biệt khác. Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững các bước khảo sát, từ việc tìm tập xác định, các giới hạn, đạo hàm, cực trị, các điểm uốn, đến việc vẽ đồ thị một cách chính xác và hiệu quả. Bài học sẽ cung cấp cho học sinh các công cụ toán học để phân tích và hiểu sâu sắc hình dạng của đồ thị hàm số.
2. Kiến thức và kỹ năngSau khi hoàn thành bài học, học sinh sẽ có khả năng:
Hiểu rõ các bước khảo sát hàm số: Xác định tập xác định, tìm các giới hạn tại vô cực và các điểm đặc biệt, tính đạo hàm, tìm cực trị, điểm uốn. Phân tích các đặc điểm của hàm số: Xác định tính chẵn, lẻ, tính tuần hoàn (nếu có). Vẽ đồ thị hàm số chính xác: Sử dụng các thông tin thu thập được từ quá trình khảo sát để vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác và đầy đủ. Ứng dụng các phương pháp khảo sát vào giải quyết các bài toán thực tế: Áp dụng kiến thức vào các bài toán liên quan đến hình học, vật lý... Phân biệt các dạng đồ thị và các đặc điểm của từng dạng: Nhận biết đồ thị của các loại hàm số khác nhau và các đặc điểm riêng biệt. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học được thiết kế theo phương pháp kết hợp lý thuyết với bài tập thực hành. Các bước khảo sát hàm số sẽ được trình bày rõ ràng và minh họa bằng nhiều ví dụ cụ thể. Học sinh sẽ được hướng dẫn từng bước, từ việc tìm tập xác định đến việc vẽ đồ thị. Bài học sẽ sử dụng nhiều hình ảnh minh họa để giúp học sinh hình dung rõ hơn về đồ thị hàm số. Bên cạnh đó, sẽ có các bài tập áp dụng để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng.
4. Ứng dụng thực tếKhảo sát và vẽ đồ thị hàm số có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế, bao gồm:
Vật lý:
Mô hình hóa chuyển động, sự thay đổi của các đại lượng vật lý.
Hóa học:
Mô hình hóa các phản ứng hóa học, sự thay đổi nồng độ.
Kỹ thuật:
Thiết kế các hệ thống, dự đoán hiệu suất.
Kinh tế:
Phân tích xu hướng thị trường, dự báo giá cả.
Bài học này là một phần quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Kiến thức về khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là nền tảng để học sinh tiếp cận với các chuyên đề nâng cao như:
Hàm số logarit, hàm số mũ
Các bài toán cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Ứng dụng của đạo hàm trong hình học, giải tích
Để học tốt bài học này, học sinh cần:
Đọc kỹ lý thuyết: Hiểu rõ các khái niệm và các bước khảo sát hàm số. Làm nhiều bài tập: Thực hành giải các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Sử dụng công cụ hỗ trợ: Sử dụng các phần mềm đồ họa để vẽ đồ thị và kiểm tra kết quả. Hỏi đáp với giáo viên và bạn bè: Khi gặp khó khăn, cần chủ động hỏi giáo viên hoặc bạn bè để được hỗ trợ. Tập trung vào việc hiểu bài: Không chỉ tập trung vào việc giải bài tập mà còn cần hiểu rõ bản chất của vấn đề. Phân loại các dạng bài tập: Hiểu rõ các dạng bài tập khác nhau và áp dụng các phương pháp giải phù hợp. Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự): Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Toán 12 Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự): Học cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba, bậc bốn, phân thức, chứa căn... Bài học cung cấp các bước chi tiết, ví dụ minh họa và bài tập thực hành. Nắm vững kiến thức này để giải quyết các bài toán thực tế và chuẩn bị cho các bài học nâng cao. Keywords (40 từ):Khảo sát hàm số, vẽ đồ thị, hàm số bậc ba, hàm số bậc bốn, hàm phân thức, hàm chứa căn, giới hạn, đạo hàm, cực trị, điểm uốn, tập xác định, đồ thị hàm số, toán 12, giải tích, phương pháp khảo sát, bài tập, ứng dụng, vẽ đồ thị hàm số, cực trị hàm số, điểm uốn hàm số, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, hàm số tuần hoàn, đồ thị hàm số bậc 3, đồ thị hàm số bậc 4, đồ thị hàm số phân thức, đồ thị hàm số chứa căn, giải bài tập, lý thuyết, hướng dẫn, bài giảng, sách giáo khoa, tài liệu, tài liệu học tập, sách bài tập, đáp án, phương pháp giải, kỹ năng làm bài.
1. sơ đồ khảo sát hàm số
|
1. tìm tập xác định của hàm số. 2. khảo sát sự biến thiên của hàm số. - tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). - lập bbt của hàm số bao gồm: tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, mô tả chiều biến thiên và cực trị của hàm số (nếu có), điền đầy đủ các kết quả vào bảng. - dựa vào bảng, ta có kết luận về chiều biến thiên và cực trị. 3. vẽ đồ thị hàm số. - vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có). - xác định thêm một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu đồ thị không cắt các trục tọa độ hoặc việc tìm các tọa độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần này). - dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. |
2. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d (a \ne 0)\)
ví dụ: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\).
tập xác định của hàm số: r.
sự biến thiên:
ta có: \(y' = - 3{x^2} + 6x\). vậy y’ = 0 khi x = 0 hoặc x = 2
trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), y’ > 0 nên hàm số đồng biến. trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu \({y_{ct}} = - 4\). hàm số đạt cực đại tại x = 2, giá trị cực đại.
giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \).
bbt:
đồ thị:
giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0;4} \right)\).
ta có: y = 0 \( \leftrightarrow \)x = -1 hoặc x = 2. do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {2;0} \right)\).
đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {1; - 2} \right)\).
3. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}(c \ne 0,ad - bc \ne 0)\)
ví dụ: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\).
tập xác định của hàm số: r\{2}.
sự biến thiên:
ta có: \(y' = - \frac{3}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 2\).
hàm số nghịch biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
hàm số không có cực trị.
tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } - \infty = 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \).
do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = 1.
bbt:
đồ thị:
giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)\).
giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).
đồ thị hàm số nhận giao điểm i \(\left( {2;1} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.
4. khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{px + q}}(a \ne 0,p \ne 0)\) (đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)
ví dụ: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}\).
tập xác định của hàm số: r\{2}.
sự biến thiên: viết \(y = x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\).
ta có: \(y' = 1 - \frac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}}\) . vậy y’ = 0 \( \leftrightarrow \) x = 1 hoặc x = 3.
trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), y’ > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.
trên các khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.
hàm số đạt cực đại tại x = 1 với ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với \({y_{ct}} = 5\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {y - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\).
do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x + 1.
bbt:
đồ thị:
giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\).
ta có: \(y = 0 \leftrightarrow x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\). do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm \(\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};0} \right);\left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2};0} \right)\).
đồ thị hàm số nhận giao điểm i \(\left( {2;3} \right)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.
5. vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan thực tiễn
ví dụ: khi một vật lạ mắc kẹt trong khí quản khiến ta phải ho, cơ hoành đẩy lên trên gây ra tăng áp lực trong phổi, theo đó cuống họng co thắt làm hẹp khí quản khiến không khí đi qua mạnh hơn. đối với một lượng không khí bị đẩy ra trong một khoảng thời gian cố định, khí quản càng nhỏ thì luồng không khí càng đẩy ra nhanh hơn. vận tốc luồng khí thoát ra càng cao, lực tác động lên vật càng lớn. qua nghiên cứu một số trường hợp, người ta nhận thấy vận tốc v của luồng khí liên hệ với bán kính x của khí quản theo công thức:
\(v(x) = k({x_0} - x){x^2}\) với \(\frac{1}{2}{x_0} \le x \le {x_0}\)
trong đó k là hằng số (k > 0) và \({x_0}\) là bán kính khí quản ở trạng thái bình thường. tìm x theo \({x_0}\) để vận tốc của luồng khí một cơn ho trong trường hợp này là lớn nhất.
giải:
xét hàm số \(f(x) = ({x_0} - x){x^2}\) với \({x_0}\) cố định và \(\frac{1}{2}{x_0} \le x \le {x_0}\).
do k là hằng số nên vận tốc của luồng khí một cơn ho lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất.
ta có:
\(\begin{array}{l}f(x) = - {x^3} + {x_0}{x^2};\\f'(x) = - 3{x^2} + 2{x_0}x;\\f'(x) = 0 \leftrightarrow x = 0,x = \frac{2}{3}{x_0}\end{array}\)
bbt:
dựa vào bbt, ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{1}{2}{x_0};{x_0}} \right]} f(x) = f\left( {\frac{2}{3}{x_0}} \right)\).
vậy vận tốc của luồng khí một cơn ho lớn nhất khi \(x = \frac{2}{3}{x_0}\).
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
