SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải quyết bài tập trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 Tập 2 - Cùng Khám phá 1. Tổng quan về bài học

Bài học tập trung vào việc giải quyết các bài tập từ trang 15 đến 18 của sách giáo khoa Toán 12 Tập 2, chủ đề "Cùng Khám phá". Mục tiêu chính là giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học về đạo hàm, nguyên hàm, tích phân để giải quyết các bài toán thực tế, phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Bài học sẽ phân tích chi tiết các bước giải, giúp học sinh hiểu rõ cách tiếp cận và áp dụng các công thức toán học vào các tình huống cụ thể.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được củng cố và nâng cao các kỹ năng sau:

Vận dụng các công thức đạo hàm: Áp dụng các quy tắc và công thức đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp. Vận dụng các phương pháp tính nguyên hàm: Áp dụng các phương pháp tính nguyên hàm để tìm nguyên hàm của các hàm số. Vận dụng các công thức tích phân: Áp dụng các công thức tích phân để tính tích phân xác định và bất định. Giải quyết bài toán thực tế: Vận dụng kiến thức về đạo hàm, nguyên hàm, tích phân để giải quyết các bài toán liên quan đến vận tốc, gia tốc, diện tích, thể tích, ... trong các bài tập thực tế. Phân tích và lập luận: Phân tích đề bài, xác định yêu cầu, lựa chọn phương pháp giải phù hợp và trình bày lời giải một cách logic, chặt chẽ. 3. Phương pháp tiếp cận
Bài học được thiết kế theo phương pháp "từ cơ bản đến nâng cao". Giáo viên sẽ bắt đầu từ việc ôn tập lại các kiến thức cơ bản, sau đó hướng dẫn học sinh giải từng bài tập cụ thể. Mỗi bài tập sẽ được chia thành các bước nhỏ, giúp học sinh dễ dàng theo dõi và nắm bắt cách giải. Bài học sẽ sử dụng nhiều ví dụ minh họa, phân tích chi tiết từng bước giải, cùng các bài tập tương tự để học sinh tự luyện tập. Bài học sẽ khuyến khích học sinh thảo luận và trao đổi ý kiến với nhau để cùng tìm ra lời giải.
4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức về đạo hàm, nguyên hàm, tích phân có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Vật lý: Xác định vận tốc, gia tốc của chuyển động.
Kỹ thuật: Tính diện tích, thể tích của các hình học phức tạp.
Kinh tế: Phân tích chi phí, lợi nhuận, dự báo.
Khoa học: Mô hình hóa các quá trình tự nhiên.

5. Kết nối với chương trình học
Bài học này là một phần không thể thiếu trong chương trình Toán 12, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm, nguyên hàm, tích phân. Nó là nền tảng cho các bài học tiếp theo, đặc biệt là trong các môn học liên quan như Vật lý, Kỹ thuật, Kinh tế.
6. Hướng dẫn học tập
Để học tập hiệu quả, học sinh cần:

Làm bài tập thường xuyên: Làm lại các bài tập trong sách giáo khoa và các bài tập tương tự.
Tập trung vào hiểu bài: Hiểu rõ cách giải từng bài tập, chứ không chỉ là ghi nhớ công thức.
Thảo luận với bạn bè: Thảo luận với bạn bè về cách giải quyết các bài tập.
Tìm kiếm tài liệu tham khảo: Tìm hiểu thêm các ví dụ và bài tập từ các nguồn khác.
Luyện tập giải các bài toán phức tạp: Cố gắng giải quyết các bài tập khó hơn để nâng cao kỹ năng.
* Kiên trì và nhẫn nại: Học toán cần thời gian và sự kiên trì.

Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự):

Giải Toán 12 Tập 2 - Trang 15-18 (Cùng Khám phá)

Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự):

Hướng dẫn chi tiết giải bài tập trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 Tập 2 - Cùng Khám phá. Củng cố kiến thức đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, ứng dụng thực tế. Phương pháp giải chi tiết, ví dụ minh họa, bài tập tương tự. Học tốt Toán 12!

Keywords (40 từ khóa):

Toán 12, Giải bài tập, Trang 15-18, SGK Toán 12 Tập 2, Cùng Khám phá, Đạo hàm, Nguyên hàm, Tích phân, Vận dụng thực tế, Bài tập, Phương pháp giải, Ví dụ, Công thức, Kiến thức, Kỹ năng, Học tốt, Học tập, Giáo dục, Bài học, Toán học, Lớp 12, Ứng dụng, Vật lý, Kỹ thuật, Kinh tế, Khoa học, Mô hình, Bài tập tương tự, Thảo luận, Tham khảo, Kiên trì, Nhẫn nại, Học hiệu quả, Giải quyết vấn đề, Logic, Chặt chẽ, Củng cố.

hđ4

trả lời câu hỏi hoạt động 4 trang 15 sgk toán 12 cùng khám phá

cho $f(x) = 2x$. tính và so sánh $\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx$ và $2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx$.

phương pháp giải:

- tính từng tích phân riêng biệt: $\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx$ và $2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx$

- so sánh kết quả của hai tích phân.

lời giải chi tiết:

tính tích phân thứ nhất:

$\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 2 (2x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 4 x{\mkern 1mu} dx = \left[ {2{x^2}} \right]_1^2 = 2({2^2}) - 2({1^2}) = 8 - 2 = 6$

tính tích phân thứ hai:

$2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = 2\int\limits_1^2 2 x{\mkern 1mu} dx = 2 \times \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = 2 \times ({2^2} - {1^2}) = 2 \times (4 - 1) = 2 \times 3 = 6$

so sánh:

$\int\limits_1^2 2 f(x){\mkern 1mu} dx = 6$ và $2\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = 6$

vậy, hai tích phân này bằng nhau.

lt3

trả lời câu hỏi luyện tập 3 trang 15 sgk toán 12 cùng khám phá

cho $\int\limits_1^4 {3\sqrt x } dx = 14$. tính $\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx$.

phương pháp giải:

- sử dụng tính chất của tích phân xác định để đơn giản hóa biểu thức. chúng ta biết rằng:

$\int\limits_1^4 3 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = 3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx$

- sử dụng giá trị đã cho $\int\limits_1^4 {3\sqrt x } dx = 14$ để thiết lập phương trình và giải để tìm giá trị của $\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx$.

lời giải chi tiết:

từ tính chất của tích phân xác định, ta có:

$\int\limits_1^4 3 \sqrt x {\mkern 1mu} dx = 3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx$

theo đề bài, ta biết rằng:

$3\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = 14$

chia cả hai vế của phương trình cho 3:

$\int\limits_1^4 {\sqrt x } {\mkern 1mu} dx = \frac{{14}}{3}$

hđ5

trả lời câu hỏi hoạt động 5 trang 15 sgk toán 12 cùng khám phá

cho $f(x) = 2x$, $g(x) = 5$. tính và so sánh:

a) $\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx$ và $\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx$.

b) $\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx$ và

$\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx$.

phương pháp giải:

- tính từng tích phân riêng biệt bằng cách tìm nguyên hàm của $f(x)$ và $g(x)$ trên đoạn $[1;2]$.

- áp dụng tính chất của tích phân để so sánh kết quả của các biểu thức.

lời giải chi tiết:

a) tính tích phân:

$\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {\left[ {2x + 5} \right]} dx$

nguyên hàm của $2x + 5$ là ${x^2} + 5x + c$:

$\int\limits_1^2 {\left[ {2x + 5} \right]} dx = \left[ {{x^2} + 5x} \right]_1^2 = \left[ {4 + 10} \right] - \left[ {1 + 5} \right] = 14 - 6 = 8$

tính tích phân từng hàm riêng:

$\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 2 x{\mkern 1mu} dx = \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = 4 - 1 = 3$

$\int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = \int\limits_1^2 5 {\mkern 1mu} dx = \left[ {5x} \right]_1^2 = 10 - 5 = 5$

so sánh:

$\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = 8$

$\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = 3 + 5 = 8$

vậy $\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx + \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx$.

b) tương tự, tính tích phân trong phần b):

$\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 {\left[ {2x - 5} \right]} dx = \left[ {{x^2} - 5x} \right]_1^2 = \left[ {4 - 10} \right] - \left[ {1 - 5} \right] = - 6 + 4 = - 2$

so sánh:

$\int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx = 3 - 5 = - 2$

vậy $\int\limits_1^2 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int\limits_1^2 g (x){\mkern 1mu} dx$.

lt4

trả lời câu hỏi luyện tập 4 trang 15 sgk toán 12 cùng khám phá

tính

a) $\int\limits_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} $;

b) $\int\limits_0^1 {(5 - 2{e^x})dx} $.

phương pháp giải:

- sử dụng các công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản:

$\int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + c,{\rm{ }}n \ne - 1$

$\int {\frac{1}{{{x^n}}}} dx = \frac{{{x^{ - n + 1}}}}{{ - n + 1}} + c,n \ne 1$

$\int {{e^x}} dx = {e^x} + c$

$\int a dx = ax + c$

- áp dụng tính chất số 2 của tích phân để tính.

lời giải chi tiết:

tìm nguyên hàm của $4{x^3}$ và $ - \frac{1}{{{x^2}}}$:

$\int 4 {x^3}dx = 4 \cdot \frac{{{x^4}}}{4} = {x^4}$

$\int - \frac{1}{{{x^2}}}dx = - \int {{x^{ - 2}}} dx = - \frac{{{x^{ - 1}}}}{{ - 1}} = \frac{1}{x}$

vậy nguyên hàm của hàm số $4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}$ là:

$f(x) = {x^4} + \frac{1}{x}$

$\int_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left[ {{x^4} + \frac{1}{x}} \right]_1^2 = \left( {{2^4} + \frac{1}{2}} \right) - \left( {{1^4} + \frac{1}{1}} \right)$

${2^4} = 16,\quad \frac{1}{2} = 0.5,\quad {1^4} = 1,\quad \frac{1}{1} = 1$

$\int_1^2 {\left( {4{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = (16 + 0.5) - (1 + 1) = 16.5 - 2 = 14.5$

tính nguyên hàm của 5 và $ - 2{e^x}$:

$\int 5 dx = 5x$

$\int - 2{e^x}dx = - 2{e^x}$

vậy nguyên hàm của hàm số $5 - 2{e^x}$ là:

$f(x) = 5x - 2{e^x}$

tính giá trị của tích phân tại cận từ 0 đến 1:

$\int_0^1 {\left( {5 - 2{e^x}} \right)} dx = \left[ {5x - 2{e^x}} \right]_0^1 = \left( {5 \cdot 1 - 2{e^1}} \right) - \left( {5 \cdot 0 - 2{e^0}} \right)$

$5 \cdot 1 = 5,\quad {e^1} = e,\quad 5 \cdot 0 = 0,\quad {e^0} = 1$

$\int_0^1 {\left( {5 - 2{e^x}} \right)} dx = (5 - 2e) - (0 - 2) = 5 - 2e + 2 = 7 - 2e$.

hđ6

trả lời câu hỏi hoạt động 6 trang 16 sgk toán 12 cùng khám phá

cho $f(x) = 2x$. tính và so sánh $\int\limits_1^2 {f(x)dx} + \int\limits_2^3 {f(x)} dx$ và $\int\limits_1^3 {f(x)} dx$.

phương pháp giải:

sử dụng các công thức tính tích phân của hàm số cơ bản để tính các tích phân riêng lẻ, sau đó cộng lại và so sánh với tích phân từ cận nhỏ nhất đến cận lớn nhất.

lời giải chi tiết:

tính nguyên hàm của $f(x) = 2x$:

$f(x) = \int 2 xdx = {x^2}$

tính các tích phân:

$\int_1^2 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_1^2 = {2^2} - {1^2} = 4 - 1 = 3$

$\int_2^3 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_3^2 = {\left( 3 \right)^2} - {2^2} = 9 - 4 = 5$

$\int_1^3 2 xdx = \left[ {{x^2}} \right]_1^3 = {3^2} - {1^2} = 9 - 1 = 8$

so sánh:

$\int_1^2 2 xdx + \int_2^3 2 xdx = 3 + 5 = 8$

$\int_1^2 f (x)dx + \int_2^3 f (x)dx = 8$

$\int_1^3 f (x)dx = 8$

do đó, hai tích phân này bằng nhau.

lt5

trả lời câu hỏi luyện tập 5 trang 17 sgk toán 12 cùng khám phá

a) cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[ - 1;5]$ và \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12\]. tính $\int_{ - 1}^5 f (x)dx$.

b) cho $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 2}&{{\rm{khi }}x > - 1}\\{2x + 3}&{{\rm{khi }}x \le - 1}\end{array}} \right.$. tính $\int_{ - 2}^1 f (x)dx$.

phương pháp giải:

a) sử dụng tính chất của tích phân và giả thiết đã cho, ta tách tích phân \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx\] thành hai phần: $\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx$ và $ - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx$. sau đó, chúng ta tính từng tích phân riêng lẻ và giải phương trình để tìm $\int_{ - 1}^5 f (x)dx$.

b) đối với bài này, ta chia tích phân $\int_{ - 2}^1 f (x)dx$ thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm $f(x)$. tính tích phân riêng trên từng đoạn sau đó cộng kết quả lại.

lời giải chi tiết:

a) sử dụng giả thiết$\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12$:

$\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = \int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx + - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12$

tính $\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx$:

$\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx = \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^5 = {5^2} - {( - 1)^2} = 25 - 1 = 24$

thay vào phương trình:

$24 - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12$

$3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12$

$\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 4$

b) chia tích phân thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm $f(x)$:

$\int_{ - 2}^1 f (x)dx = \int_{ - 2}^{ - 1} f (x)dx + \int_{ - 1}^1 f (x)dx$

tính $\int_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 3)} dx$:

$\int_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 3)} dx = \left. {({x^2} + 3x)} \right|_{ - 2}^{ - 1} = [{( - 1)^2} + 3( - 1)] - [{( - 2)^2} + 3( - 2)] = - 2 + 2 = 0$

tính $\int_{ - 1}^1 {({x^3} + 2)} dx$:

$\int_{ - 1}^1 {({x^3} + 2)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \left[ {\frac{1}{4} + 2} \right] - \left[ {\frac{1}{4} - 2} \right] = 4$

vậy $\int_{ - 2}^1 f (x)dx = 0 + 4 = 4$.

vd2

trả lời câu hỏi vận dụng 2 trang 18 sgk toán 12 cùng khám phá

hình 4.7 là đồ thị vận tốc $v(t)$ của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động).

a) viết công thức của hàm số $v(t)$ với $t \in [0;6]$.

b) tính quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên.