SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Giải bài tập 1.39 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 1.39 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải quyết bài tập số 1.39 trên trang 47 của sách giáo khoa Toán 12 tập 1, chủ đề "Cùng khám phá". Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững phương pháp giải các bài toán liên quan đến hàm số lượng giác và các phương trình lượng giác, áp dụng các công thức lượng giác cơ bản để tìm nghiệm và giải thích kết quả.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được củng cố và vận dụng các kiến thức sau:

Công thức lượng giác cơ bản: Các công thức cộng, trừ, nhân đôi, gấp ba góc, công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích. Phương trình lượng giác cơ bản: Phương trình sin x = a, cos x = a, tan x = a, cot x = a. Phương pháp giải phương trình lượng giác phức tạp: Phân tích, biến đổi để đưa phương trình về dạng quen thuộc. Cách tìm nghiệm của phương trình lượng giác: Xác định tập nghiệm và giải thích rõ ràng. Kỹ năng phân tích và giải quyết bài toán: Phát triển khả năng tư duy logic và vận dụng kiến thức vào thực tế. 3. Phương pháp tiếp cận
Bài học sẽ được trình bày theo phương pháp phân tích chi tiết, từ việc phân tích đề bài đến việc tìm ra lời giải. Các bước giải sẽ được trình bày rõ ràng, kèm theo các ví dụ minh họa. Học sinh sẽ được hướng dẫn cách sử dụng các công thức lượng giác một cách linh hoạt. Bên cạnh đó, bài học sẽ khuyến khích học sinh tự giải các bài tập tương tự.
4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức về hàm số lượng giác và phương trình lượng giác có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Vật lý: Trong các bài toán về dao động điều hòa, sóng, ánh sáng.
Kỹ thuật: Trong thiết kế các hệ thống điện, cơ khí.
Toán học: Ứng dụng trong các bài toán hình học, giải tích.

5. Kết nối với chương trình học

Bài học này là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, liên kết với các bài học trước về hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, cũng như chuẩn bị cho các bài học sau về ứng dụng của hàm số lượng giác trong các lĩnh vực khác.

6. Hướng dẫn học tập

Để học tập hiệu quả, học sinh nên:

Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Phân tích đề bài: Xác định các thông tin quan trọng và mối liên hệ giữa các yếu tố. Áp dụng các công thức: Chọn công thức phù hợp để giải quyết bài toán. Kiểm tra kết quả: Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác. Làm thêm các bài tập tương tự: Củng cố kiến thức và kỹ năng. Hỏi đáp với giáo viên hoặc bạn bè: Nắm vững các điểm chưa hiểu. Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự):

Giải bài tập 1.39 Toán 12 - Cùng khám phá

Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự):

Hướng dẫn chi tiết giải bài tập 1.39 trang 47 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá. Bài viết bao gồm tổng quan, kiến thức cần nhớ, phương pháp giải, ứng dụng thực tế, kết nối chương trình, và hướng dẫn học tập. Tìm hiểu ngay để nắm vững phương pháp giải các bài toán lượng giác phức tạp.

40 Keywords:

Giải bài tập, bài tập 1.39, Toán 12, SGK Toán 12 tập 1, Cùng khám phá, phương trình lượng giác, hàm số lượng giác, công thức lượng giác, phương pháp giải, ứng dụng thực tế, công thức cộng, trừ, nhân đôi, gấp ba góc, biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích, nghiệm phương trình, tìm nghiệm, tập nghiệm, phân tích đề bài, lời giải, ví dụ minh họa, kỹ năng giải toán, bài tập tương tự, hướng dẫn học tập, hàm số lượng giác, phương trình lượng giác cơ bản, vật lý, kỹ thuật, toán học, hình học, giải tích, lớp 12, SGK, bài học, kiến thức, kỹ năng, phương pháp học tập, giải thích kết quả, công thức lượng giác cơ bản.

đề bài

một cổng vòm có dạng nửa hình tròn trên mặt đất với bán kính r=5 m. người ta muốn đặt một khung hình chữ nhật abcd để thiết kế trang trí, với hai điểm a,b đính trên vòm và cd đặt trên mặt đất (hình 1.68). tìm khoảng cách a,b so với mặt đất để diện tích hình chữ nhật abcd là lớn nhất.

phương pháp giải - xem chi tiết

- đặt y (m) là khoảng cách từ ab đến mặt đất. vì a và b nằm trên vòm nửa hình tròn có bán kính r=5 m, nên tọa độ của a và b có thể biểu diễn dưới dạng (x,y).

- tìm phương trình đường tròn và tính diện tích s của hình chữ nhật abcd.

- biểu diễn s dưới dạng một hàm của y và cực đại hóa s bằng cách tìm đạo hàm.

lời giải chi tiết

gọi y (m) là khoảng cách từ a và b đến mặt đất (y>0).

vì a và b nằm trên nửa hình tròn có tâm tại gốc tọa độ (0,0) và bán kính r=5 m, tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình đường tròn:

\({x^2} + {y^2} = 25\)

giả sử a có toạ độ \(( - x,y)\) và b có toạ độ \((x,y)\).

chiều dài ab là: \(\sqrt {{{( - x - x)}^2} + {{(y - y)}^2}} = 2x\)

diện tích hình chữ nhật abcd là: \(s = ab.ad = 2xy\)

thay \(x = \sqrt {25 - {y^2}} \) vào biểu thức diện tích ta được: \(s = 2\sqrt {25 - {y^2}} .y\)

đạo hàm của s theo y: \(\)\(s' = 2\left( {\sqrt {25 - {y^2}} + y.\frac{{ - y}}{{\sqrt {25 - {y^2}} }}} \right) = 2\left( {\frac{{25 - {y^2} - {y^2}}}{{\sqrt {25 - {y^2}} }}} \right) = 2\left( {\frac{{25 - 2{y^2}}}{{\sqrt {25 - {y^2}} }}} \right)\)

đặt đạo hàm bằng 0, ta có: \(s' = 0 \leftrightarrow 25 - 2{y^2} = 0 \leftrightarrow 2{y^2} = 25 \rightarrow y = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

đạo hàm cấp 2 của s:

\(\begin{array}{l}s'' = 2.\frac{{ - 4y.\sqrt {25 - {y^2}} + (25 - 2{y^2})\frac{y}{{\sqrt {25 - {y^2}} }}}}{{25 - {y^2}}}\\ = 2.\frac{{ - 4y\sqrt {25 - {y^2}} + \frac{{y\left( {25 - 2{y^2}} \right)}}{{\sqrt {25 - {y^2}} }}}}{{25 - {y^2}}}\\ = 2.\frac{{ - 4y\left( {25 - {y^2}} \right) + y\left( {25 - 2{y^2}} \right)}}{{\left( {25 - {y^2}} \right)\sqrt {25 - {y^2}} }}\\ = 2.\frac{{ - 4y\left( {25 - {y^2}} \right) + y\left( {25 - 2{y^2}} \right)}}{{\left( {25 - {y^2}} \right)\sqrt {25 - {y^2}} }}\\ = 2.\frac{{ - 100y + 4{y^3} + 25y - 2{y^3}}}{{\left( {25 - {y^2}} \right)\sqrt {25 - {y^2}} }}\\ = 2.\frac{{ - 75y + 2{y^3}}}{{\left( {25 - {y^2}} \right)\sqrt {25 - {y^2}} }}\end{array}\)

thay \(y = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\) vào đạo hàm cấp 2 ta được:

\(s''\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right) = 2.\frac{{ - 75.\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right) + 2{{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^3}}}{{\left( {25 - {{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} \right)\sqrt {25 - {{\left( {\frac{{5\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }} = - 8 < 0\)

vì giá trị âm nên \(y = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)là cực đại của hàm s.

vậy a, b cách mặt đất một khoảng \(y = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\) thì diện tích hình chữ nhật abcd là lớn nhất.