SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Giải bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải bài tập 4.14 trang 20 trong sách giáo khoa Toán 12 tập 2, chủ đề "Cùng khám phá". Mục tiêu chính là giúp học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm, cực trị của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số trên một khoảng xác định. Bài học sẽ hướng dẫn chi tiết cách tiếp cận và giải quyết bài toán, giúp học sinh nắm vững phương pháp và kỹ thuật cần thiết.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được củng cố và nâng cao các kiến thức sau:

Đạo hàm của hàm số: Hiểu rõ khái niệm và tính đạo hàm của các hàm số cơ bản. Cực trị của hàm số: Nhận biết các điểm cực trị và cách xác định cực trị của hàm số. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Nắm vững các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng xác định. Ứng dụng đạo hàm vào giải quyết bài toán thực tế: Áp dụng kiến thức đạo hàm để giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các bài toán thực tế. Kỹ năng phân tích và giải quyết bài toán: Rèn luyện kỹ năng phân tích đề bài, lựa chọn phương pháp giải phù hợp. 3. Phương pháp tiếp cận
Bài học sẽ được tổ chức theo các bước sau:

1. Phân tích đề bài: Xác định rõ yêu cầu của bài tập, tìm hiểu hàm số và khoảng cần xét.
2. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm của hàm số đã cho.
3. Tìm các điểm tới hạn: Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
4. Xét dấu đạo hàm: Xét dấu đạo hàm để tìm các điểm cực đại, cực tiểu.
5. Tính giá trị tại các điểm tới hạn và điểm cuối khoảng: Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và điểm cuối của khoảng đã cho.
6. So sánh và kết luận: So sánh các giá trị tìm được để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số có nhiều ứng dụng trong đời sống và thực tiễn, ví dụ như:

Tối ưu hóa sản xuất: Tìm kích thước tối ưu của một vật thể để đạt hiệu suất cao nhất.
Kiểm soát chất lượng: Tìm giá trị tối ưu của một tham số để đạt chất lượng tốt nhất.
Kinh tế: Tìm điểm lợi nhuận tối đa, chi phí tối thiểu.

5. Kết nối với chương trình học

Bài học này là một phần quan trọng trong chương trình Toán 12, liên kết với các kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm vào việc khảo sát hàm số. Nó là nền tảng cho việc học các bài học tiếp theo về phương trình, bất phương trình, và các bài toán tối ưu hóa phức tạp hơn.

6. Hướng dẫn học tập

Để học tốt bài học này, học sinh nên:

Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Vẽ đồ thị: Vẽ đồ thị hàm số để hình dung quá trình giải bài toán. Luyện tập bài tập: Thực hành giải nhiều bài tập khác nhau để nắm vững phương pháp. Tra cứu tài liệu: Tra cứu các tài liệu tham khảo để hiểu rõ hơn về lý thuyết. Hỏi đáp với giáo viên: Hỏi giáo viên nếu gặp khó khăn trong quá trình học tập. Làm việc nhóm: Thảo luận với bạn bè để cùng nhau giải quyết bài toán. Tiêu đề Meta: Giải bài tập 4.14 Toán 12 Tập 2 Mô tả Meta: Hướng dẫn chi tiết giải bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2. Bài viết bao gồm phân tích đề bài, tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, xét dấu đạo hàm, và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Cung cấp phương pháp và kỹ thuật cần thiết để giải quyết các bài toán tương tự. Keywords (40 từ):

Giải bài tập, bài tập 4.14, toán 12, tập 2, đạo hàm, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, hàm số, phương pháp giải, phương trình, bất phương trình, tối ưu hóa, sách giáo khoa, SGK, Toán, Lớp 12, Cùng khám phá, ứng dụng đạo hàm, bài toán thực tế, điểm tới hạn, xét dấu đạo hàm, đồ thị hàm số, luyện tập, giải quyết bài toán, phân tích đề bài, kiến thức, kỹ năng, hướng dẫn, học tập, Phương pháp, cách giải, tối ưu hóa hàm số, cực đại, cực tiểu, khoảng xác định, bài toán tìm giá trị lớn nhất, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất.

Đề bài

Một quả bóng được ném lên từ độ cao \(1,5m\) với vận tốc ban đầu \(24m/s\). Biết gia tốc của quả bóng là \(a = - 9,8m/{s^2}\).

a) Tính vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi được ném lên.

b) Tính quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất lần đầu.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc:

\(a(t) = \frac{{dv(t)}}{{dt}}\)

Lấy tích phân của gia tốc để tìm vận tốc:

\(v(t) = \int a (t){\mkern 1mu} dt\)

2. Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian:

\(v(t) = \frac{{ds(t)}}{{dt}}\)

Lấy tích phân của vận tốc để tìm quãng đường:

\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt\)

Lời giải chi tiết

Gia tốc của quả bóng là hằng số:

\(a(t) = - 9,8{\mkern 1mu} {\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\)

Lấy tích phân gia tốc để tìm vận tốc:

\(v(t) = \int a (t){\mkern 1mu} dt = \int - 9,8{\mkern 1mu} dt\)

Tính tích phân gia tốc từ 0 đến 1:

\(\int_0^1 { - 9,8} dt = \left. { - 9,8t} \right|_0^1 = - 9,8.1 - 0 = - 9,8\)

Mà dựa trên định nghĩa tích phân, ta có:

\(\int_0^1 {a(t){\mkern 1mu} dt} = v(1) - v(0)\)

Suy ra, vận tốc tại thời điểm 1 giây là:

\(v(1) = \int_0^1 {a(t){\mkern 1mu} dt} + v(0) = - 9,8 + 24 = 14,2\)

Vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi ném là \(14.2{\mkern 1mu} {\rm{m/s}}\).

Vận tốc của quả bóng:

\(v(t) = - 9.8t + 24\)

Lấy tích phân của vận tốc để tìm quãng đường:

\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt = \int {( - 9.8t + 24)} {\mkern 1mu} dt = - 4,9{t^2} + 24t + C\)

Vì \(s(0) = 1,5\) nên \(C = 1,5\)

Biết rằng khi bóng chạm đất thì \(s = 0\), suy ra thời gian quả bóng chạm đất là:

\({t_{cd}} \approx 4,96\)

Từ đó ta suy ra được quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném bóng tới lúc chạm đất là:

\(s = \int_0^{4,96} {\left| {v(t)} \right|dt} \)

Thời điểm quả bóng đạt độ cao cực đại là khi vận tốc bằng 0:

\({t_{\max }} = \frac{{24}}{{9,8}} \approx 2,45\)

Suy ra:

\(s = \int_0^{4,96} {\left| { - 9,8t + 24} \right|dt} = \int_0^{2,45} {\left| { - 9,8t + 24} \right|dt} + \int_{2,45}^{4,96} {\left| { - 9,8t + 24} \right|dt} \)

\(s = \left. {\left( { - 4,9{t^2} + 24t} \right)} \right|_0^{2,45} + \left. {\left( {4,9{t^2} - 24t} \right)} \right|_{2,45}^{4,96}\)

\(s \approx 29,39 + 30,9 \approx 60,29\)

Tổng quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất là 60,29m.