SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Cùng khám phá] Lý thuyết Tích phân Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Tích phân Toán 12 Cùng Khám phá Tiêu đề Meta: Tích phân Toán 12 - Cùng Khám phá Mô tả Meta: Khám phá thế giới tích phân Toán 12 một cách dễ hiểu và đầy đủ. Bài học cung cấp lý thuyết chi tiết, phương pháp giải bài tập và ứng dụng thực tế. Tìm hiểu ngay! 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giới thiệu và giải thích chi tiết về lý thuyết tích phân trong chương trình Toán lớp 12. Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững các khái niệm cơ bản, các phương pháp tính tích phân và vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế. Bài học sẽ bao quát từ khái niệm tích phân xác định, các phương pháp tính tích phân như phương pháp đổi biến số, tích phân từng phần, đến việc áp dụng vào tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay.

2. Kiến thức và kỹ năng

Sau khi hoàn thành bài học, học sinh sẽ:

Hiểu rõ: Khái niệm tích phân xác định, nguyên hàm, các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân. Vận dụng được: Phương pháp tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số, tích phân từng phần, tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay. Giải quyết được: Các bài toán liên quan đến tính tích phân xác định, tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay. Nắm vững: Các công thức quan trọng và kỹ thuật giải bài tập. 3. Phương pháp tiếp cận

Bài học được thiết kế theo phương pháp hướng dẫn u2013 thực hành, kết hợp lý thuyết với bài tập. Đầu tiên, bài học sẽ trình bày lý thuyết một cách hệ thống và dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa. Sau đó, học sinh sẽ được thực hành giải các bài tập từ dễ đến khó, để củng cố kiến thức và rèn kỹ năng. Sử dụng các hình vẽ minh họa để giúp học sinh hình dung được các khái niệm trừu tượng.

4. Ứng dụng thực tế

Kiến thức về tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế, bao gồm:

Tính diện tích hình phẳng: Tính diện tích các hình phức tạp trong hình học. Tính thể tích vật thể tròn xoay: Tính thể tích các vật thể có hình dạng phức tạp. Mô hình hóa các quá trình vật lý: Ứng dụng trong các bài toán liên quan đến vận tốc, gia tốc, diện tích, thể tích. Kinh tế học: Mô hình hóa các quá trình tăng trưởng, giảm sút, thu nhập. 5. Kết nối với chương trình học

Bài học này là một phần quan trọng của chương trình Toán lớp 12, liên kết chặt chẽ với các bài học trước về đạo hàm, nguyên hàm. Nắm vững kiến thức về tích phân sẽ giúp học sinh chuẩn bị tốt cho các bài học nâng cao và các kỳ thi quan trọng.

6. Hướng dẫn học tập

Để học tập hiệu quả, học sinh nên:

Đọc kỹ lý thuyết: Hiểu rõ các khái niệm và công thức. Làm nhiều bài tập: Thực hành giải các bài tập từ dễ đến khó để củng cố kiến thức. Xem lại các ví dụ minh họa: Hiểu rõ cách áp dụng lý thuyết vào giải bài tập. Tìm hiểu thêm: Tham khảo các tài liệu khác để mở rộng kiến thức. Hỏi đáp: Nếu gặp khó khăn, hãy hỏi giáo viên hoặc bạn bè để được hỗ trợ. Tập làm bài kiểm tra: Luyện tập giải bài tập theo các dạng bài khác nhau để củng cố kiến thức và kỹ năng. * Sử dụng phần mềm hỗ trợ: Nếu có, các phần mềm hỗ trợ tính toán tích phân có thể giúp học sinh kiểm tra lại kết quả và tìm hiểu sâu hơn về khái niệm. 40 Keywords về Lý thuyết Tích phân Toán 12 Cùng Khám phá:

1. Tích phân
2. Nguyên hàm
3. Phương pháp tính tích phân
4. Đổi biến số
5. Tích phân từng phần
6. Tích phân xác định
7. Diện tích hình phẳng
8. Thể tích vật thể tròn xoay
9. Toán lớp 12
10. Lý thuyết Toán
11. Bài tập Toán
12. Nguyên hàm cơ bản
13. Phương pháp giải tích phân
14. Ứng dụng tích phân
15. Công thức tích phân
16. Bài tập tích phân
17. Bài giảng tích phân
18. Phương pháp đổi biến
19. Phương pháp tích phân từng phần
20. Tích phân bất định
21. Khái niệm tích phân
22. Định lý cơ bản của tích phân
23. Các dạng tích phân thường gặp
24. Tính chất tích phân
25. Tính diện tích
26. Tính thể tích
27. Hình phẳng
28. Vật thể tròn xoay
29. Toán giải tích
30. Bài tập vận dụng
31. Bài tập nâng cao
32. Kiến thức cần nhớ
33. Phương pháp học tập
34. Giải bài tập
35. Bài tập mẫu
36. Củng cố kiến thức
37. Kiểm tra kiến thức
38. Ứng dụng thực tế
39. Chương trình Toán 12
40. Tài liệu học tập

1. khái niệm tích phân

một số bài toán dẫn đến khái niệm tích phân

a) quãng đường đi được của một vật

xét một vật chuyển động thẳng với vận tốc v = v(t) (0 < t < t) và không đổi chiều chuyển động. gọi f(t) là một nguyên hàm bất kỳ của v(t) trên khoảng (0;t) thì quãng đường vật đi được từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là l = f(b) − f(a) với 0 < a < b < t.

b) diện tích hình thang cong

cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.

trong trường hợp tổng quát, cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b], người ta chứng minh được rằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b bằng f(b) − f(a), với f(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b].

ví dụ: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f(x) = {x^2} + 1\) và các đường thẳng x = -1, x = 2.

định nghĩa tích phân

cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). nếu f(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì hiệu số f(b) – f(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \).

ta còn dùng ký hiệu f(x) để chỉ hiệu số f(b) − f(a).

vậy \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = f(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}b\\a\end{array}} \right. = f(b) - f(a)\).

ta gọi \(\int\limits_a^b {} \) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f\left( x \right)dx\) là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

ghi chú:

- quy ước: \(\int\limits_a^0 {f(x)dx} = 0\), nếu b > a thì \(\int\limits_b^a {f(x)dx} = - \int\limits_a^b {f(x)dx} \).

- tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t, nghĩa là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = \int\limits_a^b {f(t)dt} \).

- ý nghĩa hình học của tích phân: nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì diện tích s của hình thang cong (h) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b là \(s = \int\limits_a^b {f(x)dx} \).

ví dụ:

a) \(\int\limits_2^3 {3{x^2}dx} = {x^3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right. = {3^3} - {2^3} = 27 - 8 = 19\).

b) \(\int\limits_2^3 {{e^t}dt} = {e^t}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. = {e^1} - {e^0} = e - 1\).

2. tính chất của tích phân

+ \(\int\limits_a^b {kf(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} } \) (k là hằng số)

+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx + \int\limits_a^b {g(x)dx} } \)

+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int\limits_a^b {f(x)dx - \int\limits_a^b {g(x)dx} } \)

+ \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx + \int\limits_c^b {f(x)dx} } } \) (a < c < b)

ví dụ:

a) cho \(\int\limits_0^2 {\sqrt {{e^x}} dx} = 2(e - 1)\). tính \(\int\limits_0^2 {\frac{{\sqrt {{e^x}} }}{2}dx} \).

ta có \(\int\limits_0^2 {\frac{{\sqrt {{e^x}} }}{2}dx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^2 {\sqrt {{e^x}} dx} = \frac{1}{2}.2(e - 1) = e - 1\).

b) tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(3\sin x - \cos x)dx} \).

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(3\sin x - \cos x)dx} = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \)

\( = ( - 3\cos x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{2}}\\0\end{array}} \right. - \sin \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{\pi }{2}}\\0\end{array}} \right. = - 3(0 - 1) - (1 - 0) = 2\).

c) cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [1;3] và \(\int\limits_1^2 {f(x)dx} = \frac{1}{2}\), \(\int\limits_2^3 {f(x)dx} = \frac{3}{2}\), \(\int\limits_1^3 {g(x)dx} = - 1\).

ta có:

\(\int\limits_1^3 {f(x)dx} = \int\limits_1^2 {f(x)dx} + \int\limits_2^3 {f(x)dx} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2\).

\(\int\limits_1^3 {[2f(x) + g(x)]dx} = 2\int\limits_1^3 {f(x)dx} + \int\limits_1^3 {f(x)dx} = 2.2 - 1 = 3\).

3. tính tích phân trong một số trường hợp đơn giản

a) \(\int\limits_1^2 {{{(2x - 3)}^2}dx} = \int\limits_1^2 {(4{x^2} - 12x + 9)dx} = 4\int\limits_1^2 {{x^2}dx} - 12\int\limits_1^2 {xdx} + \int\limits_1^2 {9dx} \)

\( = \left( {\frac{4}{3}{x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. - \left( {6{x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. + (9x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right. = \frac{1}{3}\).

b) \(\int\limits_{ - 1}^0 {{5^{2x - 1}}dx} = \frac{1}{5}\int\limits_{ - 1}^0 {{5^{2x}}dx} = \frac{1}{5}\int\limits_{ - 1}^0 {{{25}^x}dx} = \frac{{{{25}^x}}}{{5\ln 25}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - 1}\end{array}} \right. = \frac{{24}}{{125\ln 25}}\).

c) \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {(2{{\tan }^2}x + 5)dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\left[ {2(1 + {{\tan }^2}x) + 3} \right]dx} = 2\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^0 {3dx} \)

\( = 2(\tan x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - \frac{\pi }{4}}\end{array} + (3x)} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0\\{ - \frac{\pi }{4}}\end{array}} \right. = \frac{{3\pi + 8}}{4}\).