SGK Toán Lớp 12 Cánh diều

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 12 Cánh diều] Lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số Toán 12 Cánh Diều

Lý thuyết Tính đơn điệu của hàm số - Toán 12 Cánh Diều

1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số, một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp xác định tính đồng biến và nghịch biến của một hàm số, bao gồm cả các trường hợp hàm số liên tục và không liên tục trên một khoảng xác định. Mục tiêu chính của bài học là giúp học sinh nắm vững các định nghĩa, các phương pháp, và các ví dụ minh họa để áp dụng vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số.

2. Kiến thức và kỹ năng

Sau khi hoàn thành bài học, học sinh sẽ:

Hiểu rõ: Định nghĩa về hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng và trên một đoạn. Nắm vững: Các phương pháp xác định tính đơn điệu của hàm số, bao gồm sử dụng đạo hàm. Áp dụng: Quy tắc tìm cực trị của hàm số dựa trên tính đơn điệu. Phân tích: Các ví dụ minh họa về hàm số đồng biến, nghịch biến. Vận dụng: Giải quyết các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số. 3. Phương pháp tiếp cận
Bài học sẽ được tổ chức theo phương pháp kết hợp lý thuyết với thực hành.

Giới thiệu lý thuyết: Bắt đầu bằng việc trình bày các định nghĩa và khái niệm cơ bản về tính đơn điệu của hàm số.
Phân tích ví dụ: Các ví dụ minh họa sẽ được phân tích chi tiết, từ việc xác định miền xác định, tính đạo hàm đến việc khảo sát dấu của đạo hàm để kết luận tính đơn điệu của hàm số.
Thảo luận nhóm: Học sinh sẽ được khuyến khích thảo luận và giải quyết các bài tập nhóm, giúp củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng.
Bài tập thực hành: Học sinh sẽ được làm các bài tập về nhà để tự vận dụng kiến thức đã học.

4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức về tính đơn điệu của hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn:

Trong kinh tế: Phân tích doanh thu, chi phí, lợi nhuận dựa trên sự thay đổi của hàm số.
Trong kỹ thuật: Thiết kế các cấu trúc, mạch điện dựa trên tính đơn điệu của hàm số để tối ưu hóa hiệu suất.
Trong khoa học tự nhiên: Mô hình hóa các quá trình vật lý, hóa học sử dụng các hàm số có tính đơn điệu để dự đoán sự thay đổi.

5. Kết nối với chương trình học

Bài học này là một phần quan trọng của chương trình Toán lớp 12, kết nối với các bài học trước như:

Giải tích: Liên quan đến việc tìm cực trị, khảo sát sự biến thiên của hàm số. Đạo hàm: Áp dụng kiến thức về đạo hàm để xác định tính đơn điệu của hàm số. 6. Hướng dẫn học tập Đọc kỹ lý thuyết: Hiểu rõ các định nghĩa và khái niệm về tính đơn điệu. Làm các ví dụ: Phân tích kỹ các ví dụ minh họa để nắm vững phương pháp. Giải bài tập: Thực hành giải các bài tập để củng cố kiến thức và kỹ năng. Hỏi đáp: Hỏi giáo viên hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn. * Làm bài tập về nhà: Luyện tập thường xuyên để nhớ lâu hơn. Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự):

Tính đơn điệu hàm số Toán 12 Cánh Diều

Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự):

Học lý thuyết tính đơn điệu của hàm số Toán 12 Cánh Diều. Bài học bao gồm định nghĩa, phương pháp xác định tính đồng biến/nghịch biến, ví dụ minh họa và ứng dụng thực tế. Tìm hiểu cách vận dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số.

Từ khóa (40 từ khóa):

Tính đơn điệu, hàm số, đồng biến, nghịch biến, đạo hàm, cực trị, khảo sát sự biến thiên, hàm số liên tục, hàm số không liên tục, miền xác định, phương trình, bất phương trình, Toán 12, Cánh Diều, giải tích, cực đại, cực tiểu, điểm cực trị, khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến, đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2, hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, hàm số mũ, hàm số logarit, ứng dụng, kinh tế, kỹ thuật, khoa học, bài tập, ví dụ, giải thích chi tiết, phương pháp, quy tắc, định lý, công thức, bài tập thực hành.

1.nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng dấu của đạo hàm

định lý 1

cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên tập \(k \subset r\), trong đó k là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

- nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc k thì hàm số f(x) đồng biến trên k

- nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc k thì hàm số f(x) nghịch biến trên k

ví dụ: hàm số y = |x| đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\)

định lý 2

cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên tập \(k \subset r\), trong đó k là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. nếu f’(x) \( \ge \) 0 (hoặc f’(x) \( \le \) 0) với mọi x thuộc k và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm của k thì hàm số f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên k

ví dụ: hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên hs đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\)

y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên hs đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\)

2. điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số

khái niệm cực trị của hàm số

cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập \(k \subset r\), trong đó k là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và \({x_0} \in k,{x_1} \in k\)

- \({x_0}\) được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) sao cho (a;b) \( \subset \) k và \(f(x) < f({x_0})\) với mọi \(x \in (a;b)\) và \(x \ne {x_0}\). khi đó, \(f({x_0})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là

- \({x_1}\) được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) sao cho (c;d) \( \subset \) k và \(f(x) > f({x_1})\) với mọi \(x \in (c;d)\) và \(x \ne {x_1}\). khi đó, \(f({x_1})\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu là \({f_{ct}}\)

điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị)

ví dụ: cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau

hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{ct}}\)= y(-1) = 2

hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{ct}}\)= y(1) = 2

định lý

giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). khi đó:

a) nếu f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\)

b) nếu f’(x) > 0 với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm \({x_0}\)

ví dụ: tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).

tập xác định của hàm số là r.

ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

bbt: