[Tài liệu môn toán 10] Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng (Oxy)

Hướng dẫn học bài: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng (Oxy) - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'Tài liệu môn toán 10 Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Bài viết hướng dẫn cách viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng trong chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (Hình học 10 chương 3) thông qua các kiến thức trọng tâm và ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.


Phương trình tham số của đường thẳng
Để viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ ta cần xác định:
+ Điểm $A({x_0};{y_0}) \in \Delta.$
+ Một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {a;b} \right)$ của $Δ.$
Khi đó phương trình tham số của $Δ$ là $\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + at\\
y = {y_0} + bt
\end{array} \right.$ với $t ∈ R.$


Phương trình chính tắc của đường thẳng
Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ ta cần xác định:
+ Điểm $A({x_0};{y_0}) \in \Delta. $
+ Một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {a;b} \right), ab \ne 0$ của $Δ.$
Phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ là $\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b}.$ (trường hợp $ab = 0$ thì đường thẳng không có phương trình chính tắc).


Chú ý:
+ Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.
+ Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại.
+ Nếu $Δ$ có VTCP $\overrightarrow u = \left( {a;b} \right)$ thì $\overrightarrow n = \left( { – b;a} \right)$ là một VTPT của $Δ.$


Ví dụ 1: Cho điểm $A\left( {1; – 3} \right)$ và $B( – 2;3).$ Viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:
a. $Δ$ đi qua $A$ và nhận vectơ $\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
b. $Δ$ đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng $AB.$
c. $Δ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB.$


a. Vì $Δ$ nhận vectơ $\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của $Δ$ là $\overrightarrow u \left( { – 2;1} \right).$
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 2t\\
y = – 3 + t
\end{array} \right.$
b. Ta có $\overrightarrow {AB} \left( { – 3;6} \right)$ mà $Δ$ song song với đường thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow u \left( { – 1;2} \right)$ làm VTCP.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = – t\\
y = 2t
\end{array} \right.$
c. Vì $Δ$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow {AB} \left( { – 3;6} \right)$ làm VTPT và đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB.$
Ta có $I\left( { – \frac{1}{2};0} \right)$ và $Δ$ nhận $\overrightarrow u \left( { – 1;2} \right)$ làm VTCP nên phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ là $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = – \frac{1}{2} – t\\
y = 2t
\end{array} \right.$


Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng $Δ$ trong mỗi trường hợp sau:
a. $Δ$ đi qua điểm $A\left( {3;0} \right)$ và $B\left( {1;3} \right).$
b. $Δ$ đi qua $N\left( {3;4} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d’:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 3t\\
y = 4 + 5t
\end{array} \right.$


a. Đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm $A$ và $B$ nên nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { – 2;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương do đó phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 – 2t}\\
{y = 3t}
\end{array}} \right.;$ phương trình chính tắc là $\frac{{x – 3}}{{ – 2}} = \frac{y}{3};$ phương trình tổng quát là $3\left( {x – 3} \right) = – 2y$ hay $3x + 2y – 9 = 0.$
b. $\Delta \bot d’$ nên VTCP của $d’$ cũng là VTPT của $Δ$ nên đường thẳng $Δ$ nhận $\overrightarrow u \left( { – 3;5} \right)$ làm VTPT và $\overrightarrow v \left( { – 5; – 3} \right)$ làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là $ – 3\left( {x – 3} \right) + 5\left( {y – 4} \right) = 0$ hay $3x – 5y + 11 = 0;$ phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 – 5t}\\
{y = 4 – 3t}
\end{array}} \right.;$ phương trình chính tắc là $\frac{{x – 3}}{{ – 5}} = \frac{{y – 4}}{{ – 3}}.$


Ví dụ 3: Cho tam giác $ABC$ có $A\left( { – 2;1} \right), B\left( {2;3} \right)$ và $C\left( {1; – 5} \right).$
a. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác.
b. Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến $AM.$
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $D$, $G$ với $D$ là chân đường phân giác trong góc $A$ và $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC.$


a. Ta có $\overrightarrow {BC} \left( { – 1; – 8} \right)$ suy ra đường thẳng chứa cạnh $BC$ có phương trình là:
$\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 – t\\
y = 3 – 8t
\end{array} \right.$
b. $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M\left( {\frac{3}{2}; – 1} \right)$ do đó đường thẳng chứa đường trung tuyến $AM$ nhận $\overrightarrow {AM} \left( {\frac{7}{2}; – 2} \right)$ làm VTCP nên có phương trình là:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 2 + \frac{7}{2}t}\\
{y = 1 – 2t}
\end{array}} \right.$
c. Gọi $D({x_D};{y_D})$ là chân đường phân giác hạ từ $A$ của tam giác $ABC.$
Ta có $\overrightarrow {BD} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {DC}.$
Mà $AB = \sqrt {{{( – 2 – 2)}^2} + {{(3 – 1)}^2}} $ $ = 2\sqrt 5 $ và $AC = \sqrt {{{(1 + 2)}^2} + {{( – 5 – 1)}^2}} $ $ = 3\sqrt 5 $ suy ra:
$\overrightarrow {BD} = \frac{{AB}}{{AC}}\overrightarrow {DC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {DC} $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} – 2 = \frac{2}{3}(1 – {x_D})\\
{y_D} – 3 = \frac{2}{3}( – 5 – {y_D})
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} = \frac{8}{5}\\
{y_D} = \frac{{ – 1}}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow D(\frac{8}{5}; – \frac{1}{5}).$
$G\left( {\frac{1}{3}; – \frac{1}{3}} \right)$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$
Ta có $\overrightarrow {DG} \left( { – \frac{{19}}{{15}}; – \frac{2}{{15}}} \right)$ suy ra đường thẳng $DG$ nhận $\overrightarrow u (19;2)$ làm VTCP nên có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{3} + 19t\\
y = \frac{{ – 1}}{3} + 2t
\end{array} \right.$


Ví dụ 4:  Cho tam giác $ABC$ biết $AB:x + y – 1 = 0,$ $AC:x – y + 3 = 0$ và trọng tâm $G\left( {1;2} \right).$ Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC.$


Ta có tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
x + y – 1 = 0\\
x – y + 3 = 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = 2
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow A( – 1;2).$
Gọi $M(x;y)$ là trung điểm của $BC.$
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} $, $\overrightarrow {AG} \left( {2;0} \right)$, $\overrightarrow {GM} \left( {x – 1;y – 2} \right)$ suy ra:
$\left\{ \begin{array}{l}
2 = 2.(x – 1)\\
0 = 2.(y – 2)
\end{array} \right. \Rightarrow M(2;2).$
$B\left( {{x_B};{y_B}} \right) \in AB$ $ \Rightarrow {x_B} + {y_B} – 1 = 0$ $ \Rightarrow {y_B} = 1 – {x_B}$ do đó $B\left( {{x_B};1 – {x_B}} \right).$
$C\left( {{x_C};{y_C}} \right) \in AC$ $ \Rightarrow {x_C} – {y_C} + 3 = 0$ $ \Rightarrow {y_C} = {x_C} + 3$ do đó $C\left( {{x_C};{x_C} + 3} \right).$
Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\
{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} + {x_C} = 4\\
{x_C} – {x_B} = 0
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_B} = 2\\
{x_C} = 2
\end{array} \right.$
Vậy $B\left( {2; – 1} \right), C(2;5) \Rightarrow \overrightarrow {BC} \left( {0;6} \right)$ suy ra phương trình đường thẳng $BC$ là $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = – 1 + 6t
\end{array} \right.$

Giải bài tập những môn khác

Môn Ngữ văn Lớp 10

  • Bài tập trắc nghiệm Lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • Bài tập trắc nghiệm Lớp 10 Kết nối tri thức
  • Bài tập trắc nghiệm Lớp 10 Cánh diều
  • Bài tập trắc nghiệm Văn Lớp 10 Kết nối tri thức
  • Bài tập trắc nghiệm Văn Lớp 10 cánh diều
  • Bài tập trắc nghiệm Văn Lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • Chuyên đề học tập Văn Lớp 10 Cánh diều
  • Chuyên đề học tập Văn Lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • Chuyên đề học tập Văn Lớp 10 Kết nối tri thức
  • Đề thi, đề kiểm tra Văn lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • Đề thi, đề kiểm tra Văn lớp 10 cánh diều
  • Đề thi, đề kiểm tra Văn Lớp 10 Kết nối tri thức
  • Lý thuyết Ngữ Văn Lớp 10
  • SBT Văn Lớp 10 Cánh diều
  • SBT Văn Lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • SBT Văn Lớp 10 Kết nối tri thức
  • Soạn văn Lớp 10 Cánh diều - chi tiết
  • Soạn văn Lớp 10 Cánh diều - siêu ngắn
  • Soạn văn Lớp 10 Chân trời sáng tạo - chi tiết
  • Soạn văn Lớp 10 chân trời sáng tạo - siêu ngắn
  • Soạn văn Lớp 10 Kết nối tri thức - chi tiết
  • Soạn văn Lớp 10 Kết nối tri thức - siêu ngắn
  • Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 10
  • Tóm tắt, bố cục Văn lớp 10 Cánh diều
  • Tóm tắt, bố cục Văn lớp 10 Kết nối tri thức
  • Tóm tắt, bố cục Văn lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • Văn mẫu Lớp 10 Cánh diều
  • Văn mẫu Lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • Văn mẫu lớp 10 Kết nối tri thức
  • Môn Vật lí Lớp 10

    Môn Tiếng Anh Lớp 10

  • Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh Lớp 10 Friends Global
  • Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh Lớp 10 Global Success
  • Đề thi đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 Friends Global
  • Đề thi đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 Global Success
  • Đề thi đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • Đề thi đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 English Discovery
  • Đề thi đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 Bright
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 Friends Global
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 Bright
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 English Discovery
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 Global Success
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • Lý thuyết Tiếng Anh Lớp 10
  • SBT Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • SBT Tiếng Anh Lớp 10 Bright
  • SBT Tiếng anh Lớp 10 Bright
  • SBT Tiếng anh Lớp 10 Friends Global
  • SBT Tiếng anh Lớp 10 Global Success
  • SBT Tiếng Anh Lớp 10 English Discovery
  • SBT Tiếng anh Lớp 10 English Discovery
  • SBT Tiếng anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • SBT Tiếng Anh 10 Lớp 10 Friends Global - Chân trời sáng tạo
  • SBT Tiếng Anh 10 Lớp 10 Global Success - Kết nối tri thức
  • SGK Tiếng Anh Lớp 10 Explore New Worlds
  • SGK Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • SGK Tiếng Anh Lớp 10 Friends Global
  • SGK Tiếng Anh Lớp 10 English Discovery
  • SGK Tiếng Anh Lớp 10 Bright
  • SGK Tiếng Anh Lớp 10 Global Success
  • Tiếng Anh Lớp 10 Bright
  • Tiếng Anh Lớp 10 Global Success
  • Tiếng Anh Lớp 10 English Discovery
  • Tiếng Anh Lớp 10 Explore New Worlds
  • Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • Tiếng Anh Lớp 10 Friends Global
  • Môn Hóa học Lớp 10

    Môn Sinh học Lớp 10