Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm mệnh đề phủ định của một mệnh đề trong chương trình Đại số 10.
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Phủ định của mệnh đề $P$ là mệnh đề “không phải $P$”.
+ Tính chất $X$ thành tính chất không $X$ và ngược lại.
+ Quan hệ $=$ thành quan hệ $ \ne $ và ngược lại.
+ Quan hệ $>$ thành quan hệ $ \le $ và ngược lại.
+ Quan hệ $ \ge $ thành quan hệ $<$ và ngược lại.
+ Liên kết “và” thành liên kết “hoặc” và ngược lại.
Phủ định của mệnh đề có dấu $\forall $, $\exists $: đối nhau hai loại dấu $\forall $, $\exists $ và phủ định thêm tính chất $P(x).$
+ $\forall x \in X$, $P(x)$ thành $\exists x \in X$, $\overline {P(x)} .$
+ $\exists x \in X$, $P(x)$ thành $\forall x \in X$, $\overline {P(x)} .$
Mở rộng:
+ $\forall x \in X$, $\forall y \in Y$, $P(x;y)$ thành $\exists x \in X$, $\exists y \in Y$, $\overline {P(x;y)} .$
+ $\forall x \in X$, $\exists y \in Y$, $P(x;y)$ thành $\exists x \in X$, $\forall y \in Y$, $\overline {P(x;y)} .$
Chú ý: Đôi khi việc xét tính đúng – sai của mệnh đề $P$ phức tạp thì ta chuyển qua xét tính đúng – sai của mệnh đề phủ định.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Nếu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a) Tất cả các chất khí đều không dẫn điện.
b) Nhà toán học Cô-si (Cauchy) là người Ý.
c) $9801$ là số chính phương.
d) Giải thưởng cao nhất về toán học trên thế giới là giải Nobel.
e) Có vô số số nguyên tố.
f) Một năm có tối đa $52$ ngày chủ nhật.
a) Tồn tại một số chất khí có dẫn điện.
b) Nhà toán học Cauchy không phải là người Ý.
c) $9801$ không phải là số chính phương.
d) Giải thưởng cao nhất về toán học trên thế giới không phải là giải Nobel.
e) Không phải có vô số số nguyên tố.
f) Nói một năm có tối đa $52$ ngày chủ nhật là sai.
Bài tập 2: Hãy phủ định các mệnh đề sau:
$A:$ “$\exists a,b \in R$, ${(a + b)^2} > 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$”.
$B:$ “$\forall n \in Z$, ${n^8} – n$ chia hết cho $2$ và chia hết cho $3$”.
$\bar A:$ “$\forall a,b \in R$, ${(a + b)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$”.
$\bar B:$ “$\exists n \in Z$, ${n^8} – n$ không chia hết cho $2$ hoặc không chia hết cho $3$”.
Bài tập 3: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết mệnh đề phủ định đúng hay sai?
$A:$ “Mọi số thực đều là số nguyên”.
$B:$ “Tồn tại một số góc $\alpha $ sao cho $\sin \alpha > 1$”.
$C:$ “Mọi tam giác đều luôn là tam giác cân”.
$\bar A:$ “Tồn tại ít nhất một số thực không phải là số nguyên”.
Ta có $\bar A$ là mệnh đề đúng.
$\bar B:$ “Mọi góc $\alpha $ ta luôn có $\sin \alpha \le 1$”.
Ta có $\bar B$ là mệnh đề đúng.
$\bar C:$ “Tồn tại một tam giác đều không phải là tam giác cân”.
Ta có $\bar C$ là mệnh đề sai.
Bài tập 4: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:
$A:$ “Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
$B:$ “Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn cạnh còn lại”.
$C:$ “Trong tam giác tổng ba góc không bằng ${180^0}$”.
$D:$ “Tồn tại hình thang là hình vuông”.
$\bar A:$ “Hai đường chéo của hình thoi không vuông góc với nhau”. Mệnh đề này sai.
$\bar B:$ “Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn hoặc bằng cạnh còn lại”. Mệnh đề này đúng.
$\bar C:$ “Trong tam giác tổng ba góc bằng ${180^0}$”. Mệnh đề này đúng.
$\bar D:$ “Với mọi hình thang đều không là hình vuông”. Mệnh đề này sai.
Bài tập 5: Hãy phủ định các mệnh đề sau và giải thích tính đúng, sai của các mệnh đề phủ định đó:
$A:$ “$\exists x \ge 0$, $x + 1 < 2\sqrt x $”.
$B:$ “$\forall x \in Z$, ${x^2} + 3x + 2$ là số chẵn”.
$\bar A:$ “$\forall x \ge 0$, $x + 1 \ge 2\sqrt x $”.
Ta có $\bar A$ đúng vì: $x + 1 \ge 2\sqrt x $ $ \Leftrightarrow {(\sqrt x – 1)^2} \ge 0$ đúng $\forall x \ge 0.$
$\bar B:$ “$\exists x \in Z$, ${x^2} + 3x + 2$ là số lẻ”.
Ta có $B$ đúng, vì: ${x^2} + 3x + 2$ $ = (x + 1)(x + 2)$ là tích hai số nguyên liên tiếp nên là số chẵn, do đó $\bar B$ sai.
Bài tập 6: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:
$A:$ “$6$ là số nguyên tố”.
$B:$ “${(\sqrt 3 – \sqrt {27} )^2}$ là số nguyên”.
$C:$ “$\exists n \in N$, $n(n + 1)$ là một số chính phương”.
$D:$ “$\forall n \in N$, ${n^4} – {n^2} + 1$ là hợp số”.
$\bar A:$ “$6$ không phải là số nguyên tố”. Mệnh đề này đúng.
$\bar B:$ “${(\sqrt 3 – \sqrt {27} )^2}$ không phải là số nguyên”. Mệnh đề này sai.
$\bar C:$ “$\forall n \in N$, $n(n + 1)$ không phải là một số chính phương”. Mệnh đề này sai.
$\bar D:$ “$\exists n \in N$, ${n^4} – {n^2} + 1$ là số nguyên tố”. Mệnh đề này đúng.
Bài tập 7: Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết mệnh đề phủ định đó đúng hay sai?
a) $P = $ “$\forall x \ne 0$, ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} \ge 2$”.
b) $Q = $ “Có một hình thoi không phải là hình vuông”.
a) $\bar P = $ “$\exists x \ne 0$, ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} < 2$”.
b) $\bar Q = $ “Mọi hình thoi đều là hình vuông”. Ta có $\bar Q$ là mệnh đề sai.
Bài tập 8: Cho mệnh đề chứa biến $P(x):$ “$x = {x^4}$”. Xác định tính đúng – sai của các mệnh đề sau:
a) $P(0).$
b) $P(1).$
c) $P(2).$
d) $P(-1).$
e) $\exists x \in Z$, $P(x).$
f) $\forall x \in Z$, $P(x).$
a) $P(0) = $ “$0 = {0^4}$” là mệnh đề đúng.
b) $P(1) = $ “$1 = {1^4}$” là mệnh đề đúng.
c) $P(2) = $ “$2 = {2^4}$” là mệnh đề sai.
d) $P( – 1) = $ “$ – 1 = {( – 1)^4}$” là mệnh đề sai.
e) $\left( {\exists x \in Z,P(x)} \right) = $ “$\exists x \in Z$, $x = {x^4}$” là mệnh đề đúng (chẳng hạn với $x = 1$).
f) $\left( {\forall x \in Z,P(x)} \right) = $ “$\forall x \in Z$, $x = {x^4}$” là mệnh đề sai (chẳng hạn với $x = 2$).
Bài tập 9: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
a) $A = $ “$\forall x \in R$, $x – 2 > {x^2}$”.
b) $B = $ “$\forall n \in N$, ${n^2} + 1$ không chia hết cho $3$”.
c) $C = $ “$\exists r \in Q$: $4{r^2} – 1 = 0$”.
d) $D = $ “Có những tứ giác không có đường tròn ngoại tiếp”.
a) $\bar A = $ “$\exists x \in R$, $x – 2 \le {x^2}$”.
b) $\bar B = $ “$\exists n \in N$, ${n^2} + 1$ chia hết cho $3$”.
c) $\bar C = $ “$\forall r \in Q$, $4{r^2} + 1 \ne 0$”.
d) $\bar D = $ “Mọi tứ giác đều có đường tròn ngoại tiếp”.
Bài tập 10: Gọi $X$ là tập “tất cả các học sinh lớp 10A”. Xét mệnh đề chứa biến $P(x):$ “$x$ tự học ở nhà ít nhất $4$ giờ trong một ngày”. Hãy phát biểu các mệnh đề sau bằng các câu thông thường:
a) $\exists x \in X$, $P(x).$
b) $\forall x \in X$, $P(x).$
c) $\exists x \in X$, $\overline {P(x)} .$
d) $\forall x \in X$, $\overline {P(x)} .$
a) Có một số học sinh của lớp 10A tự học ở nhà ít nhất $4$ giờ trong ngày.
b) Mọi học sinh của lớp 10A đều tự học ở nhà ít nhất $4$ giờ trong ngày.
c) Có một số học sinh của lớp 10A không tự học ở nhà ít nhất $4$ giờ trong ngày.
d) Mọi học sinh của lớp 10A đều không tự học ở nhà ít nhất $4$ giờ trong ngày.
Bài tập 11: Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề đó:
a) $\exists r \in Q$, $3 < r < \pi .$
b) $\forall x \in R$, ${x^2} – x + 3 > 0.$
c) $\forall n \in N$, ${2^n} \ge n + 2.$
d) $\exists n \in N$, ${n^2} + 1$ chia hết cho $8.$
a) $A = $ “$\exists r \in Q$, $3 < r < \pi $” là mệnh đề đúng.
$\bar A = $ “$\forall r \in Q$, $r \le 3$ hay $r \ge \pi $”.
b) $B = $ “$\forall x \in R$, ${x^2} – x + 3 > 0$” là mệnh đề đúng.
$\bar B = $ “$\exists x \in R$, ${x^2} – x + 3 \le 0$”.
c) $C = $ “$\forall n \in N$, ${2^n} \ge n + 2$” là mệnh đề sai.
$\bar C = $ “$\exists n \in N$, ${2^n} < n + 2$”.
d) $D = $ “$\exists n \in N$, ${n^2} + 1$ chia hết cho $8$” là mệnh đề sai.
$\bar D = $ “$\forall n \in N$, ${n^2} + 1$ không chia hết cho $8$”.
Bài tập 12: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.
$A:$ “$\exists x \in N$, ${n^2} + 3$ chia hết cho $4$”.
$B:$ “$\exists x \in N$, $x$ chia hết cho $x + 1$”.
$\bar A:$ “$\forall x \in N$, ${n^2} + 3$ không chia hết cho $4$”. Mệnh đề này sai.
$\bar B:$ “$\forall x \in N$, $x$ không chia hết cho $x + 1$”. Mệnh đề này sai.
Bài tập 13: Hãy phủ định các mệnh đề sau:
$P:$ “$\forall x,y \in R$, ${x^2} + {y^2} > 2xy$”.
$Q:$ “Tồn tại số tự nhiên $n$, để với mọi số thực $x$, ta có: $f(x) = {x^2} – 2x + n$ nhận giá trị không âm”.
$\bar P:$ “$\exists x,y \in R$, ${x^2} + {y^2} \le 2xy$”.
$\bar Q:$ “Với mọi số tự nhiên $n$, tồn tại số thực $x$ sao cho $f(x) = {x^2} – 2x + n$ nhận giá trị âm”.
Bài tập 14: Hãy phủ định các mệnh đề sau và xét tính đúng, sai của mệnh đề phủ định đó:
$A:$ “$\forall x,y \in R$, $2{x^2} + 2{y^2} – 2xy – 2x – 4y + 5 > 0$”.
$B:$ “$\exists n \in N$, ${n^5} – n$ không chia hết cho $15$”.
$\bar A:$ “$\exists x,y \in R$, $2{x^2} + 2{y^2} – 2xy – 2x – 4y + 5 \le 0$”.
Do $2{x^2} + 2{y^2} – 2xy – 2x – 4y + 5$ $ = {(x – y)^2} + {(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} \ge 0.$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow x = y$ và $x = 1$ và $y = 2$ (vô lý).
$ \Rightarrow 2{x^2} + 2{y^2} – 2xy – 2x – 4y + 5 > 0$ suy ra $A$ đúng, $\bar A$ sai.
$\bar B:$ “$\forall n \in N$, ${n^5} – n$ chia hết cho $15$”.
Ta có: ${n^5} – n$ $ = n\left( {{n^4} – 1} \right)$ $ = n\left( {{n^2} – 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)$ $ = n(n – 1)(n + 1)\left( {{n^2} + 1} \right).$
$n(n – 1)(n + 1) \vdots 3$ (vì là tích ba số nguyên liên tiếp) $ \Rightarrow \left( {{n^5} – n} \right) \vdots 3.$
Nếu $n = 5k$ $ \Rightarrow n \vdots 5.$
Nếu $n = 5k + 1$ $ \Rightarrow n – 1 = 5k \vdots 5.$
Nếu $n = 5k + 2$ $ \Rightarrow {n^2} + 1$ $ = \left( {25{k^2} + 20k + 5} \right) \vdots 5.$
Nếu $n = 5k + 3$ $ \Rightarrow {n^2} + 1$ $ = \left( {25{k^2} + 30k + 10} \right) \vdots 5.$
Nếu $n = 5k + 4$ $ \Rightarrow n + 1 = (5k + 5) \vdots 5$ $ \Rightarrow \left( {{n^5} – n} \right) \vdots 5.$
Vậy $\forall n \in N$, ${n^5} – n$ chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau là $5$ và $3$ nên chia hết cho $15.$
Do đó $\bar B$ đúng.
Bài tập 15: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó:
$A:$ “Phương trình ${x^4} – 2{x^2} + 2 = 0$ có nghiệm”.
$B:$ “Bất phương trình ${x^{2018}} > 2030$ vô nghiệm”.
$C:$ “$\forall x \in R$, ${x^4} – {x^2} + 1$ $ = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 3 x + 1} \right)$”.
$D:$ “$\exists q \in Q$, $2{q^2} – 1 = 0$”.
$\bar A:$ “Phương trình ${x^4} – 2{x^2} + 2 = 0$ vô nghiệm”.
Mệnh đề này đúng vì ${x^4} – 2{x^2} + 2$ $ = {\left( {{x^2} – 1} \right)^2} + 1 > 0.$
$\bar B:$ “Bất phương trình ${x^{2018}} > 2030$ có nghiệm”.
Mệnh đề này đúng.
$\bar C:$ “$\exists x \in R$, ${x^4} – {x^2} + 1$ $ \ne \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 3 x + 1} \right)$”.
Mệnh đề sai vì ${x^4} – {x^2} + 1$ $ = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} – 3{x^2}$ $ = \left( {{x^2} + \sqrt 3 x + 1} \right)\left( {{x^2} – \sqrt 3 x + 1} \right)$.
$\bar D:$ “$\forall q \in Q$, $2{q^2} – 1 = 0$”. Mệnh đề này đúng.
Bài tập 16: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.
$A:$ “$\forall x \in R$, ${x^8} – {x^2} + 1 > 0$”.
$B:$ “Tồn tại số thực $a$ sao cho $a + 1 + \frac{1}{{a + 1}} \le 2$”.
$\bar A:$ “$\exists x \in R$, ${x^8} – {x^2} + 1 \le 0$”.
Mệnh đề này đúng vì chẳng hạn $x = – 1$, ta có ${( – 1)^8} – {( – 1)^2} + 1 = – 1 < 0.$
$\bar B:$ “Với mọi số thực $a$ thì $a + 1 + \frac{1}{{a + 1}} > 2$”.
Mệnh đề này sai chẳng hạn khi $a = -2.$
Bài tập 17: Xét tính đúng sai của mệnh đề sau và nêu mệnh đề phủ định của nó:
a) $P(x):$ “$\exists x \in Z$, ${x^2} = 3$”.
b) $P(n):$ “$\forall n \in N$, ${2^n} + 3$ là số nguyên tố”.
c) $P(x):$ “$\forall x \in R$, ${x^2} + 4x + 5 > 0$”.
d) $P(x):$ “$\forall x \in R$, ${x^4} – {x^2} + 2x + 2 \ge 0$”.
a) Ta có: ${x^2} = 3$ $ \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 .$ Vì $ \pm \sqrt 3 \notin Z$ nên mệnh đề đã cho sai.
Mệnh đề phủ định là $\overline {P(x)} :$ “$\forall x \in Z$, ${x^2} \ne 3$”.
b) Với $n = 5$ thì ${2^n} + 3 = {2^5} + 3 = 35$, số này chia hết cho $5$ (không nguyên tố). Do đó mệnh đề đã cho sai.
Mệnh đề phủ định là $\overline {P(n)} :$ “$\exists n \in N$, ${2^n} + 3$ không là một số nguyên tố”.
c) Mệnh đề đúng vì ${x^2} + 4x + 5$ $ = {(x + 2)^2} + 1 > 0$, $\forall x \in R.$
Mệnh đề phủ định là $\overline {P(x)} :$ “$\exists x \in R$, ${x^2} + 4x + 5 \le 0$”.
d) Do ${x^4} – {x^2} + 2x + 2$ $ = {\left( {{x^2} – 1} \right)^2} + {(x + 1)^2} \ge 0$, $\forall x \in R$ nên mệnh đề đã cho đúng.
Mệnh đề phủ định là $\overline {P(x)} :$ “$\exists x \in R$, ${x^4} – {x^2} + 2x + 2 < 0$”.
Bài tập 18: Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$, $\bar Q \Rightarrow P$ và xét tính đúng sai của mệnh đề này:
a) Cho tứ giác $ABCD$ và hai mệnh đề:
$P:$ “Tổng hai góc đối của tứ giác lồi bằng $180°$”.
$Q:$ “Tứ giác nội tiếp được đường tròn”.
b) $P:$ “$\sqrt 2 – \sqrt 3 > – 1$” và $Q:$ “${(\sqrt 2 – \sqrt 3 )^2} > {( – 1)^2}$”.
a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là: “Nếu tổng hai góc đối của tứ giác lồi bằng $180°$ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn”. Đây là mệnh đề đúng.
Mệnh đề $\bar Q \Rightarrow P$ là: “Nếu tứ giác không nội tiếp đường tròn thì tổng hai góc đối của tứ giác lồi đó bằng $180°$”. Đây là mệnh đề sai.
b) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là “Nếu $\sqrt 2 – \sqrt 3 > – 1$ thì ${(\sqrt 2 – \sqrt 3 )^2} > {( – 1)^2}$”. Đây là mệnh đề sai.
Mệnh đề $\bar Q \Rightarrow P$ là “Nếu ${(\sqrt 2 – \sqrt 3 )^2} \le {( – 1)^2}$ thì $\sqrt 2 – \sqrt 3 > – 1$”. Đây là mệnh đề đúng.
