[Tài liệu môn toán 10] Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn

Giải Phương Trình Vô Tỉ Bằng Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ Tiêu đề Meta: Giải Phương Trình Vô Tỉ - Đặt Ẩn Phụ - Toán 10 Mô tả Meta: Học cách giải phương trình vô tỉ hiệu quả bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Bài học chi tiết, hướng dẫn cụ thể, giúp bạn nắm vững kiến thức và áp dụng vào các bài tập. Tải tài liệu ngay! 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp này được xem là một kỹ thuật quan trọng và hiệu quả trong việc giải các phương trình vô tỉ phức tạp. Mục tiêu chính của bài học là giúp học sinh hiểu rõ cách nhận diện và áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ vào các bài toán giải phương trình vô tỉ, từ đó nâng cao kỹ năng giải toán và khả năng tư duy logic.

2. Kiến thức và kỹ năng

Sau khi hoàn thành bài học, học sinh sẽ:

Hiểu rõ khái niệm phương trình vô tỉ. Nhận diện được các dạng phương trình vô tỉ phù hợp với phương pháp đặt ẩn phụ. Vận dụng thành thạo kỹ thuật đặt ẩn phụ để đưa phương trình vô tỉ về dạng phương trình đại số đơn giản hơn. Giải quyết các phương trình vô tỉ phức tạp bằng cách phân tích và đặt ẩn phụ hợp lý. Thực hành giải các bài tập về giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Hiểu rõ quy tắc thay thế và điều kiện xác định khi áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ. 3. Phương pháp tiếp cận

Bài học được tổ chức theo trình tự logic, gồm các phần:

Giới thiệu khái niệm phương trình vô tỉ và các dạng phương trình thường gặp. Phân tích các ví dụ minh họa, cụ thể hóa cách đặt ẩn phụ để giải phương trình. Tìm hiểu các trường hợp đặc biệt và các lưu ý quan trọng trong quá trình áp dụng. Hướng dẫn học sinh thực hành giải một số bài tập có lời giải chi tiết. Thảo luận và giải đáp thắc mắc của học sinh. 4. Ứng dụng thực tế

Phương pháp giải phương trình vô tỉ bằng đặt ẩn phụ có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

Vật lý: Giải các bài toán liên quan đến vận tốc, quãng đường, thời gian.
Kỹ thuật: Xác định các thông số trong các hệ thống kỹ thuật phức tạp.
Toán học: Giải các bài toán về hình học, đại số, lượng giác.

5. Kết nối với chương trình học

Bài học này là một phần quan trọng trong chương trình giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Nó kết nối và mở rộng kiến thức đã học về giải phương trình đại số và các phương pháp giải toán. Bài học này cũng sẽ chuẩn bị cho học sinh tiếp cận các bài toán phức tạp hơn trong các chương trình sau.

6. Hướng dẫn học tập

Để học tập hiệu quả, học sinh nên:

Đọc kỹ lý thuyết và làm quen với các ví dụ minh họa. Thực hành giải các bài tập từ dễ đến khó. Phân tích kỹ từng bước giải của các bài toán. Ghi chú lại các lưu ý và trường hợp đặc biệt. Tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo. Làm việc nhóm để thảo luận và cùng nhau giải quyết các vấn đề. * Hỏi giáo viên hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Danh sách 40 từ khóa:

Giải phương trình, phương trình vô tỉ, phương pháp đặt ẩn phụ, phương trình đại số, điều kiện xác định, biến đổi tương đương, giải phương trình bậc hai, giải phương trình bậc ba, giải phương trình bậc bốn, phương trình chứa căn, phương trình chứa căn bậc hai, phương trình chứa căn bậc ba, phương trình chứa căn bậc n, phương trình chứa căn thức, phương pháp phân tích, phương pháp nhân liên hợp, phương pháp đặt ẩn phụ, phương trình lượng giác, phương trình mũ, phương trình logarit, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình trùng phương, bất phương trình, bất phương trình vô tỉ, bài tập giải phương trình vô tỉ, bài tập đặt ẩn phụ, toán học lớp 10, toán đại số, toán giải tích, kỹ năng giải toán, tư duy logic, phương pháp học tập hiệu quả, tài liệu học tập, tài liệu tham khảo, ứng dụng thực tế, ví dụ minh họa, bài tập thực hành, phương pháp phân tích, phương pháp đặt ẩn phụ, hướng dẫn giải toán.

Bài viết hướng dẫn giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số 10: phương trình và hệ phương trình.


A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Đặt $t = u(x)$, đưa về phương trình theo $t.$
Tuy nhiên trong một số bài toán, ta phải thêm bớt, nhóm, hoặc chia hai vế của phương trình cho một biểu thức nào đó, khi đó mới xuất hiện ẩn phụ $t = u(x).$


B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải phương trình ${x^2} + 4x – 7 + \sqrt {{x^2} + 4x – 1} = 0.$


Điều kiện: ${x^2} + 4x – 1 \ge 0.$
Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 4x – 1} $, điều kiện: $t \ge 0.$
Suy ra ${t^2} = {x^2} + 4x – 1.$
Phương trình đã cho trở thành: ${t^2} + t – 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2}\\
{t = – 3}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow t = 2.$
Với $t = 2$ $ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 4x – 1} = 2$ $ \Leftrightarrow {x^2} + 4x – 1 = 4$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = – 5}
\end{array}} \right..$
Thử vào điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là: $x=1$, $x=-5.$


Ví dụ 2. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – 4x + 5} + 3 = 4x – {x^2}.$


Đặt $t = \sqrt {{x^2} – 4x + 5} .$ Do ${x^2} – 4x + 5$ $ = {(x – 2)^2} + 1 \ge 1$, $\forall x \in R$ nên điều kiện là: $t \ge 1.$
Suy ra ${t^2} = {x^2} – 4x + 5.$
Phương trình đã cho trở thành: $t – 2 = – {t^2}.$
$ \Leftrightarrow {t^2} + t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow t = 1.$
Với $t = 1$ $ \Rightarrow \sqrt {{x^2} – 4x + 5} = 1$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 5 = 1$ $ \Leftrightarrow x = 2.$
Kết luận: phương trình có một nghiệm là $x = 2.$


Ví dụ 3. Giải phương trình ${x^2} + 2x – 2 + 3\sqrt { – {x^2} – 2x} = 0.$


Điều kiện: $ – {x^2} – 2x \ge 0.$
Đặt $t = \sqrt { – {x^2} – 2x} .$ Do $ – {x^2} – 2x = – {(x + 1)^2} + 1 \le 1$ nên điều kiện là: $0 \le t \le 1.$
Suy ra ${t^2} = – {x^2} – 2x.$
Phương trình đã cho trở thành: $ – {t^2} – 2 + 3t = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2}\\
{t = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow t = 1.$
Với $t = 1$ $ \Rightarrow \sqrt { – {x^2} – 2x} = 1$ $ \Leftrightarrow x = – 1.$
Thử vào điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x = -1.$


Ví dụ 4. Giải phương trình $4\sqrt {{x^2} – 6x + 6} = {x^2} – 6x + 9.$


Điều kiện: ${x^2} – 6x + 6 \ge 0.$
Đặt $t = \sqrt {{x^2} – 6x + 6} .$ Điều kiện: $t \ge 0.$ Suy ra ${t^2} = {x^2} – 6x + 6.$
Phương trình đã cho trở thành: $4t = {t^2} + 3$ $ \Leftrightarrow {t^2} – 4t + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 3}\\
{t = 1}
\end{array}} \right..$
Từ đó ta được: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sqrt {{x^2} – 6x + 6} = 3}\\
{\sqrt {{x^2} – 6x + 6} = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 6x + 6 = 9}\\
{{x^2} – 6x + 6 = 1}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 \pm 2\sqrt 3 }\\
{x = 5}\\
{x = 1}
\end{array}} \right..$
Thử vào điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là:
$x = 3 \pm 2\sqrt 3 $, $x = 5$, $x = 1.$


Ví dụ 5. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – 3x + 3} + \sqrt {{x^2} – 3x + 6} = 3.$


Đặt $t = {x^2} – 3x + 3$ $ = {\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$ $ \Rightarrow t \ge \frac{3}{4}.$
Phương trình đã cho trở thành: $\sqrt t + \sqrt {t + 3} = 3$ $ \Leftrightarrow 2t + 3 + 2\sqrt {t(t + 3)} = 9.$
$ \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 3t} = 3 – t$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3 – t \ge 0}\\
{{t^2} + 3t = {{(3 – t)}^2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t \le 3}\\
{9t – 9 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow t = 1.$
Với $t = 1$ $ \Rightarrow {x^2} – 3x + 3 = 1$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = 2}
\end{array}} \right..$
Kết luận: phương trình có nghiệm là $x = 1$, $x = 2.$


Ví dụ 6. Giải phương trình $\sqrt[3]{{2 – x}} = 1 – \sqrt {x – 1} .$


Điều kiện: $x \ge 1.$
Đặt $t = \sqrt[3]{{2 – x}}$ $ \Rightarrow x = 2 – {t^3}.$
Phương trình đã cho trở thành:
$t = 1 – \sqrt {1 – {t^3}} $ $ \Leftrightarrow \sqrt {1 – {t^3}} = 1 – t$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t \le 1}\\
{1 – {t^3} = {{(1 – t)}^2}}
\end{array}} \right..$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t \le 1}\\
{t\left( {{t^2} + t – 2} \right) = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t \le 1\\
\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{t = 1}\\
{t = – 2}
\end{array}} \right.
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{t = 1}\\
{t = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{x = 1}\\
{x = 10}
\end{array}} \right..$
So sánh với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là: $x = 1$, $x = 2$, $x = 10.$


Ví dụ 7. Giải phương trình $\sqrt {3x – 2} + \sqrt {x – 1} $ $ = 4x – 9$ $ + 2\sqrt {3{x^2} – 5x + 2} .$


Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x – 2 \ge 0}\\
{x – 1 \ge 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ge 1.$
Đặt $t = \sqrt {3x – 2} + \sqrt {x – 1} $, điều kiện: $t \ge 1.$
Suy ra ${t^2} = 3x – 2 + x – 1$ $ + 2\sqrt {(3x – 2)(x – 1)} .$
$ \Rightarrow 4x + 2\sqrt {3{x^2} – 5x + 2} = {t^2} + 3.$
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
$t = {t^2} – 6$ $ \Leftrightarrow {t^2} – t – 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 3}\\
{t = – 2}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow t = 3.$
Với $t = 3$ $ \Rightarrow \sqrt {3x – 2} + \sqrt {x – 1} = 3$ $ \Leftrightarrow \sqrt {3{x^2} – 5x + 2} = 6 – 2x.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{6 – 2x \ge 0}\\
{3{x^2} – 5x + 2 = {{(6 – 2x)}^2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 3}\\
{{x^2} – 19x + 34 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 3}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 17}\\
{x = 2}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 2.$
So sánh với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x = 2.$


Ví dụ 8. Giải phương trình $3\sqrt {2 + x} $ $ – 6\sqrt {2 – x} $ $ + 4\sqrt {4 – {x^2}} $ $ = 10 – 3x.$


Điều kiện: $ – 2 \le x \le 2.$
Đặt: $t = \sqrt {2 + x} – 2\sqrt {2 – x} .$ Điều kiện: $ – 4 \le t \le 2.$
Suy ra ${t^2} = 2 + x$ $ + 4(2 – x)$ $ – 4\sqrt {4 – {x^2}} $ $ = 10 – 3x$ $ – 4\sqrt {4 – {x^2}} .$
Phương trình đã cho trở thành:
$3t = {t^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{t = 3\:\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow t = 0$ $ \Rightarrow \sqrt {2 + x} – 2\sqrt {2 – x} = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}.$
So sánh với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là $x = \frac{6}{5}.$
Tổng quát: Khi gặp phương trình dạng: $\alpha \left[ {P(x) + Q(x)} \right]$ $ + \beta \left[ {\sqrt {P(x)} \pm \sqrt {Q(x)} } \right]$ $ \pm 2\alpha \sqrt {P(x)Q(x)} $ $ + \delta = 0$ với điều kiện ${\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0.$ Ta giải như sau:
Đặt $t = \sqrt {P(x)} \pm \sqrt {Q(x)} $ $ \Rightarrow {t^2} = P(x) + Q(x) \pm 2\sqrt {P(x)Q(x)} .$
Khi đó phương trình đã cho trở thành: $\alpha {t^2} + \beta t + \delta = 0.$


Ví dụ 9. Giải phương trình ${x^2} + 2x$ $ + \sqrt {x + 3} $ $ + 2x\sqrt {x + 3} $ $ = 9.$


Điều kiện: $x + 3 \ge 0.$
Đặt $t = x + \sqrt {x + 3} $ $ \Rightarrow {t^2} = {x^2} + x + 3$ $ + 2x\sqrt {x + 3} .$
Khi đó phương trình đã cho trở thành: ${t^2} + t – 12 = 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 3}\\
{t = – 4}
\end{array}} \right..$
+ Với $t = 3$ $ \Rightarrow x + \sqrt {x + 3} = 3$ $ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} = 3 – x.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3 – x \ge 0}\\
{x + 3 = {x^2} – 6x + 9}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 3}\\
{{x^2} – 7x + 6 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
+ Với $t = – 4$ $ \Rightarrow x + \sqrt {x + 3} = – 4$ $ \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} = – (x + 4)$ (vô nghiệm do điều kiện).
Kết luận: phương trình có nghiệm duy nhất $x =1.$


Ví dụ 10. Giải phương trình ${x^2} + 2x\sqrt {x – \frac{1}{x}} = 3x + 1.$


Điều kiện $x – \frac{1}{x} \ge 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ge 1}\\
{ – 1 \le x < 0}
\end{array}} \right..$
Chia cả hai vế cho $x$ ta được phương trình: $x + 2\sqrt {x – \frac{1}{x}} = 3 + \frac{1}{x}.$
Đặt $t = \sqrt {x – \frac{1}{x}} $ $(t \ge 0).$
Phương trình trên trở thành: ${t^2} + 2t – 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 1}\\
{t = – 3\:\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}.} \right.$
Với $t = 1$ $ \Rightarrow \sqrt {x – \frac{1}{x}} = 1$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$ hoặc $x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}.$
So sánh với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là: $x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$
Nhận xét:
+ Trong các bài toán đặt ẩn phụ, ta có thể đặt điều kiện hoặc không cần đặt điều kiện cho ẩn phụ. Nếu ta đặt $t = f(x)$, mà việc tìm điều kiện cho $t$ là đơn giản thì chúng ta nên đặt điều kiện cho ẩn phụ $t$, khi đó ta sẽ tiết kiệm được thời gian giải phương trình: $t = f(x)$ nếu phương trình này vô nghiệm. Còn nếu việc tìm điều kiện cho ẩn phụ $t$ là khá phức tạp thì ta có thể bỏ qua việc đặt điều kiện cho ẩn phụ $t$, bởi nếu ta không đặt điều kiện cho ẩn phụ $t$, mà trong trường hợp ẩn phụ $t$ không thoả mãn điều kiện thì phương trình: $t = f(x)$ giải ra sẽ vô nghiệm.
+ Tuy nhiên trong các bài toán chứa tham số, việc đặt điều kiện cho ẩn phụ là bắt buộc. Nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ sai thì bài toán chứa tham số sẽ chấm hết tại đó.


Ví dụ 11. Giải phương trình ${x^2} + \sqrt[3]{{{x^4} – {x^2}}} = 2x + 1.$


Ta có $x = 0$ không là nghiệm của phương trình.
Chia cả hai vế cho $x \ne 0$, ta được phương trình: $\left( {x – \frac{1}{x}} \right) + \sqrt[3]{{x – \frac{1}{x}}} = 2.$
Đặt $t = \sqrt[3]{{x – \frac{1}{x}}}.$ Phương trình trên trở thành:
${t^3} + t – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow (t – 1)\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow t = 1.$
Với $t = 1$ $ \Rightarrow \sqrt[3]{{x – \frac{1}{x}}} = 1$ $ \Leftrightarrow x – \frac{1}{x} = 1$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$
So sánh với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là: $x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$


Ví dụ 12. Giải phương trình $\sqrt {{x^3} – 1} = {x^2} + 3x – 1.$


Điều kiện: $x \ge 1.$
Phương trình đã cho tương đương:
$\sqrt {(x – 1)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $ $ = 2(x – 1) + {x^2} + x + 1.$
$ \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{x – 1}}{{{x^2} + x + 1}}} $ $ = 2\frac{{x – 1}}{{{x^2} + x + 1}} + 1$ (với ${x^2} + x + 1 > 0$).
Đặt: $u = \sqrt {\frac{{x – 1}}{{{x^2} + x + 1}}} $, $u \ge 0.$
Phương trình trên trở thành: $2{u^2} – u + 1 = 0$ (vô nghiệm).
Kết luận: phương trình vô nghiệm.


Ví dụ 13. Giải phương trình $\sqrt {4{x^2} + x + 6} $ $ = 4x – 2 + 7\sqrt {x + 1} .$


Điều kiện: $x \ge – 1.$
Phương trình tương đương:
$\sqrt {{{(2x – 1)}^2} + 5(x + 1)} $ $ = 2(2x – 1) + 7\sqrt {x + 1} .$
+ Với $x = -1$: không thỏa mãn phương trình.
Với $x > -1$: phương trình tương đương $\sqrt {{{\left( {\frac{{2x – 1}}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)}^2} + 5} $ $ = 2\frac{{2x – 1}}{{\sqrt {x + 1} }} + 7.$
Đặt $t = \frac{{2x – 1}}{{\sqrt {x + 1} }}$, phương trình trên trở thành:
$\sqrt {{t^2} + 5} = 2t + 7$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t \ge – \frac{7}{2}}\\
{3{t^2} + 28t + 44 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow t = – 2.$
Với $t = – 2$ $ \Rightarrow \frac{{2x – 1}}{{\sqrt {x + 1} }} = – 2$ $ \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 1} = 1 – 2x$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \le \frac{1}{2}}\\
{x = \frac{{2 \pm \sqrt 7 }}{2}}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{2 – \sqrt 7 }}{2}.$
Kết luận: phương trình đã cho có một nghiệm là $x = \frac{{2 – \sqrt 7 }}{2}.$


Ví dụ 14. Giải phương trình $10\sqrt {{x^3} + 8} = 3\left( {{x^2} – x + 6} \right).$


Điều kiện: $x \ge – 2.$
+ Với $x = – 2:$ không thỏa mãn phương trình.
+ Với $x > – 2:$ phương trình tương đương:
$10\sqrt {(x + 2)\left( {{x^2} – 2x + 4} \right)} $ $ = 3(x + 2) + 3\left( {{x^2} – 2x + 4} \right).$
$ \Leftrightarrow 10\sqrt {\frac{{{x^2} – 2x + 4}}{{x + 2}}} $ $ = 3 + 3\frac{{{x^2} – 2x + 4}}{{x + 2}}.$
Đặt $u = \sqrt {\frac{{{x^2} – 2x + 4}}{{x + 2}}} $, $u \ge 0.$
Phương trình trên trở thành: $3{u^2} – 10u + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 3}\\
{u = \frac{1}{3}}
\end{array}} \right..$
+ Với $u = 3$ ta được: $\sqrt {\frac{{{x^2} – 2x + 4}}{{x + 2}}} = 3$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 11x – 14 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{11 \pm \sqrt {177} }}{2}.$
+ Với $u = \frac{1}{3}$ ta được: $\sqrt {\frac{{{x^2} – 2x + 4}}{{x + 2}}} = \frac{1}{3}$ $ \Leftrightarrow 9{x^2} – 19x + 34 = 0$ (vô nghiệm).
So sánh với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình là: $x = \frac{{11 \pm \sqrt {177} }}{2}.$


Ví dụ 15. Giải phương trình ${x^2} – 3x + 1$ $ = – \frac{{\sqrt 3 }}{3}\sqrt {{x^4} + {x^2} + 1} .$


Phương trình đã cho tương đương:
$2\left( {{x^2} – x + 1} \right)$ $ – \left( {{x^2} + x + 1} \right)$ $ + \frac{{\sqrt 3 }}{3}\sqrt {\left( {{x^2} – x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)} $ $ = 0.$
$ \Leftrightarrow 2\frac{{{x^2} – x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} – 1$ $ + \frac{{\sqrt 3 }}{3}\sqrt {\frac{{{x^2} – x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} = 0.$
Đặt $t = \sqrt {\frac{{{x^2} – x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} $, $t \ge 0.$ Phương trình trên trở thành:
$2{t^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}t – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – \frac{3}{{2\sqrt 3 }}\:\:{\rm{(loại)}}}\\
{t = \frac{1}{{\sqrt 3 }}}
\end{array}} \right..$
Với $t = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $ \Rightarrow \sqrt {\frac{{{x^2} – x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Kết luận: phương trình có một nghiệm $x = 1.$


Ví dụ 16. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} + x – 6} $ $ + 3\sqrt {x – 1} $ $ – \sqrt {3{x^2} – 6x + 19} $ $ = 0.$


Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + x – 6 \ge 0}\\
{x – 1 \ge 0}\\
{3{x^2} – 6x + 19 \ge 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x \ge 2.$
Phương trình tương đương:
$\sqrt {{x^2} + x – 6} + 3\sqrt {x – 1} $ $ = \sqrt {3{x^2} – 6x + 19} .$
$ \Leftrightarrow {x^2} + x – 6$ $ + 6\sqrt {\left( {{x^2} + x – 6} \right)(x – 1)} $ $ + 9x – 9$ $ = 3{x^2} – 6x + 19.$
$ \Leftrightarrow 3\sqrt {(x – 2)(x + 3)(x – 1)} $ $ = {x^2} – 8x + 17.$
$ \Leftrightarrow 3\sqrt {\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)(x – 2)} $ $ = \left( {{x^2} + 2x – 3} \right)$ $ – 10(x – 2)$ $(1).$
$ \Leftrightarrow 3\sqrt {\frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x – 2}}} $ $ = \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x – 2}} – 10$ $(2)$ (do $x = 2$ không là nghiệm của phương trình $(1)$).
Đặt $t = \sqrt {\frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x – 2}}} \ge 0.$ Phương trình $(2)$ trở thành:
$3t = {t^2} – 10$ $ \Leftrightarrow {t^2} – 3t – 10 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 2\:\:{\rm{(loại)}}}\\
{t = 5}
\end{array}} \right..$
Với $t = 5$ $ \Rightarrow \sqrt {\frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{x – 2}}} = 5$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 23x + 47 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{23 \pm \sqrt {341} }}{2}.$
Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = \frac{{23 \pm \sqrt {341} }}{2}.$


Ví dụ 17. Giải phương trình $\sqrt {5{x^2} + 14x + 9} $ $ – \sqrt {{x^2} – x – 20} $ $ = 5\sqrt {x + 1} .$


Điều kiện: $x \ge 5.$
Phương trình tương đương:
$\sqrt {5{x^2} + 14x + 9} $ $ = \sqrt {{x^2} – x – 20} $ $ + 5\sqrt {x + 1} .$
$ \Leftrightarrow 5{x^2} + 14x + 9$ $ = {x^2} – x – 20$ $ + 10\sqrt {{x^2} – x – 20} \sqrt {x + 1} $ $ + 25x + 25.$
$ \Leftrightarrow 2{x^2} – 5x + 2$ $ = 5\sqrt {(x + 4)(x – 5)(x + 1)} .$
$ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} – 4x – 5} \right)$ $ + 3(x + 4)$ $ = 5\sqrt {{x^2} – 4x – 5} \sqrt {x + 4} .$
$ \Leftrightarrow 2\left( {\frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{x + 4}}} \right) + 3$ $ = 5\sqrt {\frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{x + 4}}} .$
Đặt: $u = \sqrt {\frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{x + 4}}} $ $(u \ge 0).$
Khi đó phương trình trên trở thành: $2{u^2} – 5u + 3 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 1}\\
{u = \frac{3}{2}}
\end{array}} \right..$
+ Với $u = 1$ ta được: $\sqrt {\frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{x + 4}}} = 1.$
$ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 = x + 4$ $ \Leftrightarrow {x^2} – 5x – 9 = 0$ $ \Leftrightarrow x = \frac{{5 \pm \sqrt {61} }}{2}.$
+ Với $u = \frac{3}{2}$ ta được: $\sqrt {\frac{{{x^2} – 4x – 5}}{{x + 4}}} = \frac{3}{2}.$
$ \Leftrightarrow 4{x^2} – 16x – 20 = 9x + 36$ $ \Leftrightarrow 4{x^2} – 25x – 56 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 8}\\
{x = – \frac{7}{4}}
\end{array}} \right..$
Do điều kiện $x \ge 5$ nên phương trình chỉ có hai nghiệm: $x = 8$, $x = \frac{{5 + \sqrt {61} }}{2}.$
Tổng quát: Khi gặp phương trình dạng: $\alpha P(x) + \beta Q(x)$ $ + \delta \sqrt {P(x)Q(x)} = 0$ $(1).$
Ta giải như sau:
+ Nếu $Q(x) = 0$ $ \Rightarrow P(x) = 0.$
+ Nếu $Q(x) \ne 0.$ Phương trình trên tương đương: $\alpha \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} + \beta + \delta \sqrt {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} = 0.$
+ Đặt $t = \sqrt {\frac{{P(x)}}{{Q(x)}}} $, $t \ge 0$. Ta được phương trình $\alpha {t^2} + \delta t + \beta = 0.$
Tuy nhiên, hầu hết các phương trình đều không cho tường minh như phương trình (1), mà yêu cầu người giải phải biến đổi khéo léo phương trình đã cho để đưa được về phương trình (1).


Ví dụ 18. Giải phương trình $\sqrt {2 – {x^2}} + \sqrt {2 – \frac{1}{{{x^2}}}} $ $ = 4 – x – \frac{1}{x}.$


Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
$4 – \left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)$ $ + 2\sqrt {5 – 2\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} $ $ = 16 – 8\left( {x + \frac{1}{x}} \right)$ $ + {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2}.$
Đặt $t = x + \frac{1}{x}$, $|t| \ge 2$ $ \Rightarrow {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} – 2.$
Phương trình trên trở thành:
$4 – \left( {{t^2} – 2} \right)$ $ + 2\sqrt {5 – 2\left( {{t^2} – 2} \right)} $ $ = 16 – 8t + {t^2}.$
$ \Leftrightarrow 2\sqrt {9 – 2{t^2}} = 2{t^2} – 8t + 10$ $ \Leftrightarrow \sqrt {9 – 2{t^2}} = {t^2} – 4t + 5.$
$ \Leftrightarrow {\left( {9 – 2{t^2}} \right)^2} = {\left( {{t^2} – 4t + 5} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow {t^4} – 8{t^3} + 28{t^2} – 40t + 16 = 0.$
$ \Leftrightarrow {(t – 2)^4} = 0$ $ \Leftrightarrow t = 2.$
Khi đó $x + \frac{1}{x} = 2$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Thử lại ta được nghiệm của phương trình là $x = 1.$


Ví dụ 19. Giải phương trình $\sqrt[4]{{x – \sqrt {{x^2} – 1} }}$ $ + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} – 1} } = 2.$


Điều kiện: $x \ge 1.$
Phương trình đã cho tương đương:
$\frac{{\sqrt[4]{{(x + \sqrt {{x^2} – 1} )(x – \sqrt {{x^2} – 1} )}}}}{{\sqrt[4]{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}}}$ $ + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} – 1} } = 2.$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt[4]{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}}}$ $ + \sqrt {x + \sqrt {{x^2} – 1} } = 2.$
Đặt $u = \sqrt[4]{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }}$, do $x \ge 1$ nên $u \ge 1.$
Phương trình trên trở thành: ${u^2} + \frac{1}{u} = 2.$
$ \Leftrightarrow {u^3} – 2u + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow (u – 1)\left( {{u^2} + u – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 1}\\
{u = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow u = 1.$
Với $u = 1$ $ \Rightarrow \sqrt[4]{{x + \sqrt {{x^2} – 1} }} = 1$ $ \Leftrightarrow x + \sqrt {{x^2} – 1} = 1.$
$ \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} (\sqrt {x – 1} + \sqrt {x + 1} ) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 1.$
Kết luận: nghiệm của phương trình là $x = 1.$


Ví dụ 20. Giải phương trình $729{x^4} + 8\sqrt {1 – {x^2}} = 36.$


Điều kiện: $ – 1 \le x \le 1.$
Đặt $t = \sqrt {1 – {x^2}} $, $0 \le t \le 1.$
Phương trình đã cho trở thành:
$729{\left( {1 – {t^2}} \right)^2} + 8t = 36.$
$ \Leftrightarrow \left[ {{{27}^2}{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2} – 36\left( {1 – {t^2}} \right) + \frac{4}{9}} \right]$ $ – \left( {36{t^2} – 8t + \frac{4}{9}} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow {\left[ {27\left( {1 – {t^2}} \right) – \frac{2}{3}} \right]^2}$ $ – {\left( {6t – \frac{2}{3}} \right)^2} = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {27\left( {1 – {t^2}} \right) – 6t} \right]\left[ {27\left( {1 – {t^2}} \right) + 6t – \frac{4}{3}} \right] = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{27\left( {1 – {t^2}} \right) – 6t = 0}\\
{27\left( {1 – {t^2}} \right) + 6t – \frac{4}{3} = 0}
\end{array}} \right..$
Ta có: $27\left( {1 – {t^2}} \right) – 6t = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \frac{{ – 1 – \sqrt {82} }}{9}\:\:{\rm{(loại)}}}\\
{t = \frac{{ – 1 + \sqrt {82} }}{9}}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow t = \frac{{ – 1 + \sqrt {82} }}{9}.$
Với $t = \frac{{ – 1 + \sqrt {82} }}{9}$ $ \Rightarrow \sqrt {1 – {x^2}} = \frac{{ – 1 + \sqrt {82} }}{9}$ $ \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{9}\sqrt { – 2 + 2\sqrt {82} } .$
Ta có: $27\left( {1 – {t^2}} \right) + 6t – \frac{4}{3} = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \frac{{1 – \sqrt {78} }}{9}\:\:{\rm{(loại)}}}\\
{t = \frac{{1 + \sqrt {78} }}{9}\:\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..$
Kết luận: nghiệm của phương trình là $x = \pm \frac{1}{9}\sqrt { – 2 + 2\sqrt {82} } .$


C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
I. BÀI TẬP
1. Giải phương trình $1 + \frac{2}{3}\sqrt {x – {x^2}} = \sqrt x + \sqrt {1 – x} .$


2. Giải phương trình $\sqrt {1 – x} + \sqrt {1 + x} + 2\sqrt {1 – {x^2}} = 4.$


3. Giải phương trình $2x + \sqrt {x + 1} + \sqrt x + 2\sqrt {{x^2} + x} = 1.$


4. Giải phương trình $2x + 1 + \sqrt {x + 3} – \sqrt x $ $ = 2\sqrt {{x^2} + 3x} .$


5. Giải phương trình $2\sqrt {2x – {x^2}} + 4$ $ = 3(\sqrt x + \sqrt {2 – x} ).$


6. Giải phương trình $2x + 6 + 2\sqrt {{x^2} + 3x} $ $ = 4(\sqrt x + \sqrt {x + 3} ).$


7. Giải phương trình $\sqrt {1 + \sqrt {1 – {x^2}} } $ $ = x(1 + 2\sqrt {1 – {x^2}} ).$


8. Giải phương trình $\frac{2}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {3 – x} }}$ $ = 1 + \sqrt {3 + 2x – {x^2}} .$


9. Giải phương trình ${x^2} + 4x + 1$ $ – 2x\sqrt {3x + 1} $ $ = \sqrt {3x + 1} .$


10. Giải phương trình $2{x^2} + x$ $ – \sqrt {{x^2} + 5} $ $ – 2x\sqrt {{x^2} + 5} $ $ = 7.$


11. Giải phương trình $1 + 4{x^2} + (4x – 3)\sqrt {x – 1} = 5x.$


12. Giải phương trình $10{x^2} + 3x + 1$ $ = (1 + 6x)\sqrt {{x^2} + 3} .$


13. Giải phương trình $4{x^2} – x + 4$ $ = 3x\sqrt {x + \frac{1}{x}} .$


14. Giải phương trình $\frac{{2x}}{{2{x^2} – 5x + 3}} + \frac{{13x}}{{2{x^2} + x + 3}} = 6.$


15. Giải phương trình $x\sqrt[3]{{35 – {x^3}}}(x + \sqrt[3]{{35 – {x^3}}}) = 30.$


16. Giải phương trình $4{x^2} – 3x – 4 = \sqrt[3]{{{x^4} – {x^2}}}.$


17. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – x + 1} + \sqrt {{x^2} + 7x + 1} = 4\sqrt x .$


18. Giải phương trình $\sqrt[4]{{{x^2} + x + 1}} + \sqrt[4]{{{x^2} – x + 1}} = 2\sqrt[4]{x}.$


19. Giải phương trình $\sqrt {{x^2} – 2x + 5} + \sqrt {x – 1} = 2.$


20. Giải phương trình $2\left( {{x^2} + 2} \right) = 5\sqrt {{x^3} + 1} .$


21. Giải phương trình $2{x^2} + 5x – 1 = 7\sqrt {{x^3} – 1} .$


22. Giải phương trình $2\left( {{x^2} – 3x + 2} \right) = 3\sqrt {{x^3} + 8} .$


23. Giải phương trình $3{x^2} – 2x – 2$ $ = \frac{6}{{\sqrt {30} }}\sqrt {{x^3} + 3{x^2} + 4x + 2} .$


24. Giải phương trình $7{x^2} – 10x + 14 = 5\sqrt {{x^4} + 4} .$


25. Giải phương trình $ – 3{x^2} + 5x + 10$ $ = 5\sqrt {\left( {{x^2} – 3x + 2} \right)(x + 3)} .$


26. Giải phương trình $ – 2{x^2} + 15x + 23$ $ = 7\sqrt {\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)(x – 2)} .$


27. Giải phương trình $\sqrt {\frac{9}{5}{x^2} – \frac{{12}}{5}x – 5} $ $ – \sqrt {x – 3} $ $ = \sqrt {{x^2} + x – 2} .$


28. Giải phương trình $\sqrt {9{x^2} + 9x + 4} $ $ = 9x + 3 – \sqrt {x + 1} .$


29. Giải phương trình ${x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} – 2x + 1$ $ = \left( {{x^3} + x} \right)\sqrt {\frac{{1 – {x^2}}}{x}} .$


30. Giải phương trình $(x – 2)\sqrt {x – 1} – \sqrt 2 x + 2 = 0.$


31. Giải phương trình $2{x^2} – 11x + 21 – 3\sqrt[3]{{4x – 4}} = 0.$


32. Giải phương trình ${(\sqrt {x – 1} + 1)^3} + 2\sqrt {x – 1} = 2 – x.$


33. Giải phương trình ${\left( {{x^2} + 2} \right)^2}$ $ + 4{(x + 1)^3}$ $ + \sqrt {{x^2} + 2x + 5} $ $ = {(2x – 1)^2} + 2.$


34. Giải phương trình ${x^3} + \sqrt {{{\left( {1 – {x^2}} \right)}^3}} $ $ = x\sqrt {2\left( {1 – {x^2}} \right)} .$


35. Giải phương trình $(13 – 4x)\sqrt {2x – 3} $ $ + (4x – 3)\sqrt {5 – 2x} $ $ = 2 + 8\sqrt {16x – 4{x^2} – 15} .$


36. Giải phương trình $4\sqrt {{x^2} + x + 1} $ $ = 1 + 5x + 4{x^2} – 2{x^3} – {x^4}.$


37. Giải phương trình $\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} $ $ – \sqrt {{x^4} – {x^3} + {x^2}} $ $ = \sqrt {x\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)} .$


II. ĐÁP SỐ
1. $x = 0$, $x = 1.$


2. $x = 0.$


3. $x = 0.$


4. $x = 1$, $x = \frac{1}{{16}}.$


5. $x = 1.$


6. $x = 1.$


7. $x = 1$, $x = \frac{1}{2}.$


8. $x = – 1$, $x = 3.$


9. $x = 0$, $x = 1$, $x = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}.$


10. $x = – \frac{{11}}{8}.$


11. $x = 1.$


12. $x = 1$, $x = \frac{{ – 3 + \sqrt 7 }}{4}.$


13. Vô nghiệm.


14. $x = 2$, $x = \frac{3}{4}.$


15. $x = 2$, $x = 3.$


16. $x = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}.$


17. $x = 1.$


18. $x = \frac{{65 \pm \sqrt {3201} }}{{32}}.$


19. $x = 1.$


20. $x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}.$


21. $x = 4 \pm \sqrt 6 .$


22. $x = 3 \pm \sqrt 5 .$


23. $x = 2$, $x = – \frac{2}{3}.$


24. $x = \frac{{5 \pm \sqrt 7 }}{3}.$


25. $x = \sqrt 5 .$


26. $x = 2 \pm \sqrt 5 .$


27. $\frac{{13 + \sqrt {229} }}{2}.$


28. $x = 0.$


29. $x = – 1 + \sqrt 2 .$


30. $x = {\left( {\frac{{1 + \sqrt {1 + 4\sqrt 2 } }}{2}} \right)^2} + 1.$


31. $x = 3.$


32. $x = 1.$


33. $x = – 1.$


34. $x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$, $x = \frac{{1 – \sqrt 2 – \sqrt {2\sqrt 2 – 1} }}{2}.$


35. $x = 2.$


36.


37. Vô nghiệm.

Giải bài tập những môn khác

Môn Ngữ văn Lớp 10

  • Bài tập trắc nghiệm Lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • Bài tập trắc nghiệm Lớp 10 Kết nối tri thức
  • Bài tập trắc nghiệm Lớp 10 Cánh diều
  • Bài tập trắc nghiệm Văn Lớp 10 Kết nối tri thức
  • Bài tập trắc nghiệm Văn Lớp 10 cánh diều
  • Bài tập trắc nghiệm Văn Lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • Chuyên đề học tập Văn Lớp 10 Cánh diều
  • Chuyên đề học tập Văn Lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • Chuyên đề học tập Văn Lớp 10 Kết nối tri thức
  • Đề thi, đề kiểm tra Văn lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • Đề thi, đề kiểm tra Văn lớp 10 cánh diều
  • Đề thi, đề kiểm tra Văn Lớp 10 Kết nối tri thức
  • Lý thuyết Ngữ Văn Lớp 10
  • SBT Văn Lớp 10 Cánh diều
  • SBT Văn Lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • SBT Văn Lớp 10 Kết nối tri thức
  • Soạn văn Lớp 10 Cánh diều - chi tiết
  • Soạn văn Lớp 10 Cánh diều - siêu ngắn
  • Soạn văn Lớp 10 Chân trời sáng tạo - chi tiết
  • Soạn văn Lớp 10 chân trời sáng tạo - siêu ngắn
  • Soạn văn Lớp 10 Kết nối tri thức - chi tiết
  • Soạn văn Lớp 10 Kết nối tri thức - siêu ngắn
  • Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 10
  • Tóm tắt, bố cục Văn lớp 10 Cánh diều
  • Tóm tắt, bố cục Văn lớp 10 Kết nối tri thức
  • Tóm tắt, bố cục Văn lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • Văn mẫu Lớp 10 Cánh diều
  • Văn mẫu Lớp 10 Chân trời sáng tạo
  • Văn mẫu lớp 10 Kết nối tri thức
  • Môn Vật lí Lớp 10

    Môn Tiếng Anh Lớp 10

  • Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh Lớp 10 Friends Global
  • Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh Lớp 10 Global Success
  • Đề thi đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 Friends Global
  • Đề thi đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 Global Success
  • Đề thi đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • Đề thi đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 English Discovery
  • Đề thi đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 Bright
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 Friends Global
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 Bright
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 English Discovery
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 Global Success
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • Lý thuyết Tiếng Anh Lớp 10
  • SBT Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • SBT Tiếng Anh Lớp 10 Bright
  • SBT Tiếng anh Lớp 10 Bright
  • SBT Tiếng anh Lớp 10 Friends Global
  • SBT Tiếng Anh Lớp 10 Friends Global - Chân trời sáng tạo
  • SBT Tiếng anh Lớp 10 Global Success
  • SBT Tiếng Anh Lớp 10 English Discovery
  • SBT Tiếng anh Lớp 10 English Discovery
  • SBT Tiếng anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • SBT Tiếng Anh Lớp 10 Global Success - Kết nối tri thức
  • SGK Tiếng Anh Lớp 10 Explore New Worlds
  • SGK Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • SGK Tiếng Anh Lớp 10 Friends Global
  • SGK Tiếng Anh Lớp 10 English Discovery
  • SGK Tiếng Anh Lớp 10 Bright
  • SGK Tiếng Anh Lớp 10 Global Success
  • Tiếng Anh Lớp 10 Bright
  • Tiếng Anh Lớp 10 Global Success
  • Tiếng Anh Lớp 10 English Discovery
  • Tiếng Anh Lớp 10 Explore New Worlds
  • Tiếng Anh Lớp 10 iLearn Smart World
  • Tiếng Anh Lớp 10 Friends Global
  • Môn Hóa học Lớp 10

    Môn Sinh học Lớp 10

    Tài liệu tin học

    Tài liệu Lớp 1

    Tài liệu Lớp 2

    Tài liệu Lớp 3

    Tài liệu Lớp 4

    Tài liệu Lớp 5

    Trò chơi Powerpoint

    Sáng kiến kinh nghiệm