SBT Toán Lớp 12 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SBT Toán Lớp 12 Kết nối tri thức] Giải bài 1.66 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Giải bài 1.66 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Mô tả Meta: Tìm hiểu chi tiết lời giải bài tập 1.66 trang 36 SBT Toán 12 Kết nối tri thức. Học cách khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với hướng dẫn chi tiết, ứng dụng thực tế và kết nối kiến thức.

1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc giải quyết bài tập 1.66 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Mục tiêu chính là giúp học sinh nắm vững phương pháp khảo sát, tìm cực trị, tìm tiệm cận và vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được củng cố và nâng cao các kiến thức sau:

Đạo hàm: Hiểu rõ các quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng vào việc tìm cực trị, điểm uốn. Khảo sát hàm số: Áp dụng các bước khảo sát hàm số, bao gồm tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm cực trị, tìm tiệm cận. Vẽ đồ thị hàm số: Vẽ đồ thị hàm số dựa trên kết quả khảo sát. Giải bài tập: Vận dụng kiến thức để giải quyết bài tập thực tế. Phân tích và đánh giá: Phân tích bài toán và đánh giá kết quả. 3. Phương pháp tiếp cận
Bài học sẽ được tổ chức theo các bước sau:

1. Phân tích đề bài: Xác định yêu cầu của bài tập, các kiến thức cần sử dụng.
2. Khảo sát hàm số: Áp dụng các bước khảo sát hàm số, tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm cực trị, tìm tiệm cận.
3. Vẽ đồ thị hàm số: Dựa trên kết quả khảo sát, vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.
4. So sánh với đáp án: Kiểm tra kết quả và so sánh với đáp án mẫu.
5. Phân tích lỗi (nếu có): Phân tích nguyên nhân sai sót và tìm cách khắc phục.

Bài học sẽ được trình bày rõ ràng, minh họa bằng các ví dụ cụ thể và bài tập thực hành.
4. Ứng dụng thực tế
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

Kỹ thuật: Thiết kế các cấu trúc, mô hình.
Kinh tế: Phân tích thị trường, dự báo xu hướng.
Khoa học: Mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên.

5. Kết nối với chương trình học

Bài học này liên quan đến các bài học trước trong chương trình toán lớp 12 về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Việc hiểu rõ các kiến thức này sẽ giúp học sinh làm tốt các bài tập phức tạp hơn sau này.

6. Hướng dẫn học tập Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ yêu cầu và các thông tin cần thiết. Phân tích bài toán: Xác định các bước giải và kiến thức cần áp dụng. Ghi chép cẩn thận: Ghi lại các bước giải, kết quả và phân tích. Thực hành thường xuyên: Làm nhiều bài tập khác nhau để củng cố kiến thức. Tìm kiếm tài liệu tham khảo: Sử dụng sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để tìm hiểu thêm. Hỏi đáp với giáo viên: Nếu gặp khó khăn, hãy hỏi giáo viên để được hỗ trợ. * Làm việc nhóm: Trao đổi với bạn bè để cùng nhau giải quyết bài tập. Các từ khóa liên quan:

Giải bài tập, bài tập 1.66, SBT Toán 12, Kết nối tri thức, đạo hàm, khảo sát hàm số, vẽ đồ thị hàm số, cực trị, tiệm cận, toán lớp 12, ứng dụng đạo hàm, hàm số, phương pháp giải, hướng dẫn chi tiết. (40 từ khóa)

Lưu ý:

Để có kết quả tốt nhất, học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và các bước khảo sát hàm số. Bài học này cung cấp một hướng dẫn chi tiết để giải bài tập 1.66, nhưng học sinh cần tự mình thực hành và tìm hiểu sâu hơn để đạt hiệu quả cao nhất.

đề bài

cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1}}{{x + 2}}\) với \(m\) là tham số.

a) chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi \(m > 0\).

b) khảo sát và vẽ đồ thị \(\left( h \right)\) của hàm số đã cho với \(m = 1\).

c) giả sử \(\delta \) là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( h \right)\) tại điểm \(m \in \left( h \right)\) bất kì. chứng minh rằng nếu \(\delta \) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của \(\left( h \right)\) tại a và b thì m luôn là trung điểm của đoạn ab.

phương pháp giải - xem chi tiết

ý a: xét dấu đạo hàm và lập bảng biến thiên.

ý b: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(\left( h \right)\).

ý c: giả sử điểm m thuộc đồ thị biểu diễn tọa độ theo một tham số, từ đó viết phương trình tiếp tuyến tại m của đồ thị phụ thuộc tham số sau đó giải để tìm được tọa độ a và b theo tham số, từ đó tính toán tọa độ trung điểm sẽ suy ra điều phải chứng minh.

lời giải chi tiết

a) ta có \(y' = \frac{{\left( {2mx + 2m - 1} \right)\left( {x + 2} \right) + m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{m{x^2} + 4mx + 4m - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

khi đó \(y' = 0 \leftrightarrow m{x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0{\rm{ }}\left( {x \ne - 2} \right)\).

xét phương trình \(m{x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0{\rm{ }}\)

ta có \(\delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - 4{m^2} + m = m\). do đó nếu \(m > 0\) thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - 2m - \sqrt m }}{m} = - 2 - \frac{1}{{\sqrt m }}\); \({x_2} = \frac{{ - 2m + \sqrt m }}{m} = - 2 + \frac{1}{{\sqrt m }}\).

lập bảng biến thiên:

từ bảng biến thiên suy ra hàm số luôn có tiểu và cực đại với mọi \(m > 0\).

b) với \(m = 1\) ta có \(\left( h \right):{\rm{ }}y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\).

tập xác định: \(\mathbb{r}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

ta có \(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) - {x^2} - x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

suy ra \(y' = 0 \leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \leftrightarrow x = - 3\) hoặc \(x = - 1\).

ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = - \infty \) suy ra \(x = - 2\) là tiệm cận đứng.

ta có \(y = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}} = x - 1 + \frac{1}{{x + 2}}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\) suy ra \(y = x - 1\) là tiệm cận xiên

ta lập bảng biến thiên

đồ thị:

c) giả sử \(m \in \left( h \right)\) bất kì suy ra \(m\left( {t;\frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}}} \right)\).

tiếp tuyến của \(\left( h \right)\) tại \(m\) có phương trình là

\(\delta :y = y'\left( t \right)\left( {x - t} \right) + \frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}} \leftrightarrow y = \frac{{{t^2} + 4t + 3}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\left( {x - t} \right) + \frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}}\).

tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng \(x = - 2\) tại \(a\left( { - 2; - \frac{{3t + 4}}{{t + 2}}} \right)\), cắt tiệm cận xiên \(y = x - 1\) tại

\(b\left( {2t + 2;2t + 1} \right)\). khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_a} + {x_b} = 2t = 2{x_m}\\{y_a} + {y_b} = \left( {2t + 1} \right) - \frac{{3t + 4}}{{t + 2}} = \frac{{2{t^2} + 2t - 2}}{{t + 2}} = 2{y_m}\end{array} \right.\).

vậy m là trung điểm của đoạn ab.