20 câu trả trả lời ngắn ứng dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề thực tiễn giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1. Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s = – {t^3} + 6{t^2} + 17t$, với $t\left( s \right)$ là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s\left( m \right)$ là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 8 giây đầu tiên, vận tốc $v\,\left( {\;m/s} \right)$ của chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng?
Lời giải
Trả lời: 29
Ta có: $v = s’ = – 3{t^2} + 12t + 17$
$v’ = 0 \Leftrightarrow – 6t + 12 = 0 \Rightarrow t = 2$
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của $v = – 3{t^2} + 12t + 17$ trên khoảng $\left( {0;8} \right)$
$v’ = – 6t + 12$;
Vậy vận tốc lớn nhất trong khoảng 8 giây đầu tiên là: 29m/ s .
Câu 2. Một bài báo trong tạp chí xã hội học phát biểu rằng nếu một chương trình chăm sóc sức khỏe đặc biệt cho người già được khởi xướng, thì $t$ năm sau khi nó được khởi động, $n$ ngàn người già có thể trực tiếp nhận được các phúc lợi, trong đó
$n = \frac{{{t^3}}}{3} – 6{t^2} + 32t\left( {0 \leqslant t \leqslant 12} \right)$.
Với giá trị nào của $t$ thì số người nhận phúc lợi tối đa là bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: 12
Ta tìm $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;12} \right]} n(t)$
Ta có $n’\left( t \right) = {t^2} – 12t + 32 = 0$
$n’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} – 12t + 32 = 0 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 4} \\
{t = 8.\;}
\end{array}} \right.$
$n\left( 0 \right) = \frac{{{0^3}}}{3} – 6\left( {{0^2}} \right) + 32\left( 0 \right) = 0$
$n\left( 4 \right) = \frac{{{4^3}}}{3} – 6\left( {{4^2}} \right) + 32\left( 4 \right) = \frac{{160}}{3}$
$n\left( 8 \right) = \frac{{{8^3}}}{3} – 6\left( {{8^2}} \right) + 32\left( 8 \right) = \frac{{128}}{3}$
$n\left( {12} \right) = \frac{{{{12}^3}}}{3} – 6\left( {{{12}^2}} \right) + 32\left( {12} \right) = \frac{{288}}{3} = 96$
Suy ra, $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;12} \right]} n(t) = n(12) = 96$
Do đó $n$ đạt phúc lợi tối đa khi $t = 12$ (năm).
Câu 3. Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được $N$ lô hàng nếu chi hết số tiền là $x$ (triệu đồng) vào việc quảng cáo. Biết rằng $N$ và $x$ liên hệ với nhau bằng biểu thức $N\left( x \right) = – {x^2} + 30x + 6,0 \leqslant x \leqslant 30$. Hãy tìm số lô hàng lớn nhất mà công ti có thể bán sau đợt quảng cáo?
Lời giải
Trả lời: 231
Ta tìm $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;30} \right]} N(x)$
Ta có
$N\left( x \right) = – {x^2} + 30x + 6 \Rightarrow N’\left( x \right) = – 2x + 30$
$ \Rightarrow N’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 15$.
Đồng thời, ta cũng có
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{N\left( 0 \right) = 6} \\
{N\left( {15} \right) = 231} \\
{N\left( {30} \right) = 6}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow \mathop {max}\limits_{x \in \left[ {0;30} \right]} N\left( x \right) = 231 \Leftrightarrow x = 15.$
Vậy nếu công ti dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ti sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.
Câu 4. Công ti truyền hình cáp Vista hiện có 100000 thuê bao. Mỗi thuê bao đang trả cước thuê bao $40\$ /$ tháng. Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần giảm $0,25\$ $ cước thuê bao, công ti có thể có thêm 1000 thuê bao. Để doanh thu thu được là tối đa, công ti cần xác định mức cước thuê bao mỗi tháng là bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: 130000
Gọi $x$ là số lần giảm $0,25\$ $. Cước thuê bao hàng tháng lúc này là $40 – 0,25x$ với $0 \leqslant x \leqslant 160$ (do mức cước không thể âm), và số thuê bao mới là $1000x$.
Do đó, tổng số thuê bao là $100000 + 1000x$.
Hàm doanh thu được cho bởi $R = $ (số thuê bao) x (cước mỗi thuê bao trả) hay$R = \left( {100000 + 1000x} \right)\left( {40 – 0,25x} \right)$
$ = 1000\left( {100 + x} \right)\left( {40 – 0,25x} \right)$
$ = 1000\left( {4000 + 15x – 0,25{x^2}} \right)$;
$R’ = 1000\left( {15 – 0,5x} \right)$; $R’ = 0 \Leftrightarrow x = 30$.
Ta có
$R\left( 0 \right) = 1000\left( {4000 + 15\left( 0 \right) – 0,25{{(0)}^2}} \right) = 4000000$
$R\left( {30} \right) = 1000\left( {4000 + 15\left( {30} \right) – 0,25{{(30)}^2}} \right) = 4225000$
$R\left( {160} \right) = 1000\left( {4000 + 15\left( {160} \right) – 0,25{{(160)}^2}} \right) = 0$
Vậy doanh thu tối đa khi $x = 30$. Điều này tương ứng với 30 lần giảm $0,25\$ $, tức là cước thuê bao hàng tháng là $40\$ – 7,5\$ = 32,5\$ $.
Số thuê bao tại mức cước này là $100000 + 30.\left( {1000} \right) = 130000$.
Câu 5. Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy răng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Lời giải
Trả lời:
Gọi $x$ là số lần tăng giá 100 nghìn đồng $(x > 0)$.
Khi đó, số căn được cho thuê là: $100 – x$ (căn)
Tổng số tiền thu được trong một tháng là:
$f(x) = (100 – x)(8000000 + 100000x)$
$ = 100000(100 – x)(80 + x)$
$ = 100000\left( { – {x^2} + 20x + 8000} \right)$
$ = 100000\left[ { – {{(x – 10)}^2} + 8100} \right] \leqslant 810000000,\forall x > 0$
Dấu ” $=$ ” xảy ra khi $x = 10$ (thỏa mãn)
Vậy để thu được doanh thu là lớn nhất thì người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là: $8000000 + 100000 \cdot 10 = 9000000$ (đồng).
Câu 6. Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách là 300 km . Vận tốc dòng nước là $6\left( {\;km/h} \right)$. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v\left( {\;km/h} \right)$ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E\left( v \right) = c{v^3}t$ (trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng đơn vị Jun). Cá bơi ngược dòng quãng đường 300 km trên trong khoảng thời gian $t$ với vận tốc bằng bao nhiêu để năng lượng tiêu hao là thấp nhất?
Lời giải
Trả lời: 9
Vận tốc khi cá bơi ngược dòng sẽ là $v – 6\left( {\;km/h} \right)$.
Thời gian để bơi quãng đường 300 km là $t = \frac{{300}}{{v – 6}}\left( h \right)$.
Năng lượng tiêu hao là $E\left( v \right) = 300c\frac{{{v^3}}}{{v – 6}}\left( J \right)$.
Do $c > 0 \Rightarrow E{(v)_{min}} \Leftrightarrow \frac{{{v^3}}}{{v – 6}} = {(f\left( v \right))_{min}}$.
Với $v > 9$, ta có $f’\left( v \right) = \frac{{3{v^2}\left( {v – 6} \right) – {v^3}}}{{{{(v – 6)}^2}}} = \frac{{2{v^3} – 18{v^2}}}{{{{(v – 6)}^2}}}$
$f’\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{v = 0\,(loại)} \\
{v = 9\,\,(nhận)}
\end{array}} \right.$
Lập bảng biến thiên ta nhận $v = 9$ (do $v > 6$ ).
Vậy để năng lượng tiêu hao là thấp nhất thì vận tốc là $9\left( {\;km/h} \right)$.
Câu 7. Thể tích $V$ của 1 kg nước ở nhiệt độ $t$ ( $t$ nằm giữa ${0^ \circ }C$ đến ${30^ \circ }C$ ) được cho bởi công thức $V = 999,87 – 0,06426t + 0,0085043{t^2} – 0,0000679{t^3}\left( {{m^3}} \right)$.
Ở nhiệt độ bao nhiêu độ C thì nước có khối lượng riêng lớn nhất?
Lời giải
Trả lời: 40C
Ta có đạo hàm của thể tích
$V’\left( t \right) = – 0,06424 + 2.0,0085043t – 3 \cdot 0,0000679{t^2}$
$V’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t \approx 79,53138 \notin \left( {{0^ \circ };{{30}^ \circ }} \right)} \\
{t \approx 3,9665.}
\end{array}} \right.$
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, khối lượng riêng lớn nhất của vật khi thể tích nhỏ nhất lúc vật có nhiệt độ xấp xỉ gần bằng ${4^ \circ }C$.
Câu 8. Hai con tàu $A$ và $B$ đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lí. Cả hai tàu đồng thời cùng khởi hành. Tàu A chạy về hướng Nam với 6 hải lí/giờ, còn tàu $B$ chạy về vị trí hiện tại của tàu $A$ với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao lâu thì khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất?
Lời giải
Tại thời điểm $t$, sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là $d$. Khi đó tàu $A$ đang ở vị trí ${A_1}$ và tàu $B$ đang ở vị trí ${B_1}$ như hình vẽ trên.
Ta có ${d^2} = AB_1^2 + AA_1^2 = {\left( {5 – B{B_1}} \right)^2} + AA_1^2 = {(5 – 7t)^2} + {(6t)^2}$.
Quãng đường tàu $B$ đi được là $B{B_1} = {v_B} \cdot t = 7t$.
Quãng đường tàu $A$ đi được là $A{A_1} = {v_A}.t = 6t$.
Vậy $d = \sqrt {85{t^2} – 70t + 25} $.
Đặt $f\left( t \right) = \sqrt {85{t^2} – 70t + 25} ($ với $t > 0)$.
Bài toán trở thành tìm $\mathop {\min }\limits_{t \in \left( {0;5} \right)} f(t)$.
Ta có $f’\left( t \right) = \frac{{170t – 70}}{{2\sqrt {85{t^2} – 70t + 25} }}$;
$f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{7}{{17}}\left( h \right)$
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, ta có $\mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} f(t) = f\left( {\frac{7}{{17}}} \right) = \frac{{6\sqrt {85} }}{{17}} \approx 3,524$ (hải lí)
Câu 9. Một công ty muốn xây một đường ống dẫn từ một điểm $A$ trên bờ biển đến một điểm $B$ trên một hòn đảo. Giá để xây đường ồng trên bờ là 50000 USD mỗi km và 130000 USD để xây mổi km dưới nước. Gọi $C$ là điểm trên bờ biển sao cho $BC$ vuông góc với bờ biển, $BC = 6\;km,AC = 9\;km$. Gọi $M$ là vị trí trên đoạn $AC$ sao cho khi làm ống dẫn theo đường gấp khúc $AMB$ thì chi phí ít nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành việc xây dựng đường ống dẫn là bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: 1170000
Đặt $CM = x\left( {\;km} \right)$, với $0 \leqslant x \leqslant 9$.
Ta có: tổng chi phí để xây dựng đường ống dẫn theo đường gấp khúc $AMB$ là:
$T = 50000.\left( {9 – x} \right) + 130000 \cdot \sqrt {{x^2} + 36} $ USD.
Xét hàm số $f\left( x \right) = 50000 \cdot \left( {9 – x} \right) + 130000 \cdot \sqrt {{x^2} + 36} $ trên đoạn $\left[ {0;9} \right]$, ta có :
$f’\left( x \right) = – 5000 + \frac{{13000x}}{{\sqrt {{x^2} + 36} }} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$.
Lại có : $f\left( 0 \right) = 1230000,f\left( {\frac{5}{2}} \right) = 1170000$, $f\left( 9 \right) \approx 1406165$.
Vậy ${T_{min\;}} = 1170000$ USD.
Câu 10. Một bức tường cao 2 m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2 m . Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ). Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét?
Lời giải
Trả lời: 2
Đặt $BC = x(x > 0)$. Ta cần tìm $x$ để độ dài $CD$ đạt GTNN.
Ta có $\frac{{BC}}{{CE}} = \frac{x}{{x + 2}} = \frac{{AC}}{{CD}} \Rightarrow CD = AC\frac{{x + 2}}{x} = \sqrt {{x^2} + 4} \cdot \frac{{x + 2}}{x}$.
Đặt $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} \left( {x + 2} \right)}}{x}$.
Ta có $f’\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} – \frac{8}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 4} }} \cdot f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$.
BBT
Câu 11. Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm.
Lời giải
Trả lời: $\frac{2}{{27}}$
Giả sử mỗi góc cắt đi một hình vuông xdm .
Khi đó chiều cao của hình hộp là $x\left( {dm} \right),\left( {0 < x < \frac{1}{2}} \right)$
Và cạnh đáy của hộp là $\left( {1 – 2x} \right)dm$.
Vậy thể tích của hộp là: $V = x{(1 – 2x)^2}d{m^3}$
Ta có:
$V’ = 1 – 8x + 12{x^2}$
Phương trình $V’ = 0 \Leftrightarrow – 8x + 12{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{6} \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)$
BBT
Vậy thể tích cần tìm là: $\frac{2}{{27}}d{m^3}$.
Câu 12. Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo.
Hòn đảo cách bờ biển 6 km . Giá thành để xây đường ống trên bờ là 50.000 USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ sao cho BB ‘ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B ‘ là 9 km . Vị trí C trên đoạn AB ‘ sao cho khi nối ống theo hướng ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: 6,5
Ta đặt: $B’C = x\left( {km} \right),\left( {0 \leqslant x \leqslant 9} \right)$
Ta có:
$BC = \sqrt {B'{B^2} + B'{C^2}} = \sqrt {36 + {x^2}} ,AC = 9 – x$
Gọi $F\left( x \right)$ là hàm chi phí xây dựng đường ống nước từ ACB
Ta có: $F\left( x \right) = 130.000 \cdot \sqrt {36 + {x^2}} + 50.000\left( {9 – x} \right)\left( {USD} \right)$
Bài toán trở thành tìm x sao cho $F\left( x \right)$ đạt GTNN.
$F’\left( x \right) = \frac{{130.000}}{{\sqrt {36 + {x^2}} }}x – 50.000$.
$F’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{130.000}}{{\sqrt {36 + {x^2}} }}x – 50.000 = 0$
$ \Leftrightarrow 13x = 5\sqrt {36 + {x^2}} $$ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2} = 2,5$
Vì $F\left( x \right)$ là hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;9} \right]$ nên ta có:
$F\left( 0 \right) = 1.230.000,F\left( 9 \right) = 1.406.000,F\left( {\frac{5}{2}} \right) = 1.170.000$
Vậy chi phí nhỏ nhất khi C cách A khoảng bằng $9\;km – 2,5\;km = 6,5\;km$.
Câu 13. Có một tấm gỗ hình vuông có độ dài cạnh là 2 m . Cắt tấm gỗ đó thành tấm gỗ có hình dạng là một tam giác vuông sao cho tổng của một cạnh tam giác vuông và cạnh huyền của tấm gỗ tam
giác vuông đó bằng $1,2\;m$. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ tam giác vuông đó bằng bao nhiêu để tam giác vuông có diện tích lớn nhất.
Lời giải
Trả lời: 0,8
Giả sử tấm dỗ cắt có hình dạng tam giác vuông là $ABC,BC$ là cạnh huyền. VÌ cạnh $AB,AC$ là như nhau nên ta có thể đặt $AB = x,(0 < x < 0,6)$
Khi đó, cạnh huyền $BC = 1,2 – x$ Cạnh góc vuông còn lại là:
$AC = \sqrt {{{(1,2 – x)}^2} – {x^2}} = \sqrt {1,44 – 2,4x} $
Ta có diện tích tam giác $ABC:S\left( x \right) = \frac{1}{2}x\sqrt {1,44 – 2,4x} $
Bài toán trở thành tìm x để $S\left( x \right)$ đạt GTLN.
$S’\left( x \right) = \frac{1}{2}\sqrt {1,44 – 2,4x} – \frac{1}{2}\frac{{1,2x}}{{\sqrt {1,44 – 2,4x} }}$$ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{1,44 – 3,6x}}{{\sqrt {1,44 – 2,4x} }}} \right)$
$S’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1,44 – 3,6x = 0 \Leftrightarrow x = 0,4$
BBT
Vậy, cạnh huyền $BC = 1,2 – x = 1,2 – 0,4 = 0,8$.
Câu 14. Anh Tuân muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứ được $3200\;c{m^3}$, tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 . Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên liệu nhất.
Lời giải
Trả lời: 160
Gọi $x,y,h$ lần lượt là chiều rộng, chiều dài, chiều cao của hố ga $(x > 0,y > 0,h > 0,\;cm)$
Ta có: $\frac{h}{x} = 2 \Leftrightarrow h = 2x$
Thể tích hố ga: $V = xyh \Leftrightarrow y = \frac{V}{{xh}} = \frac{{1600}}{{{x^2}}}$
Diện tích cần xây dựng hố ga là:
$S\left( x \right) = xy + 2xh + 2yh = x \cdot \frac{{1600}}{{{x^2}}} + 2x2x + x\frac{{1600}}{{{x^2}}}2x$
$ = \frac{{1600}}{x} + 4{x^2} + \frac{{6400}}{x} = 4{x^2} + \frac{{8000}}{x}$
Bài toán trở thành tìm x để $S\left( x \right)$ nhỏ nhất.
$S’\left( x \right) = 8x – \frac{{8000}}{{{x^2}}}$
$S’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8x – \frac{{8000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 10$
Suy ra, chiều rộng của hố ga là 10 cm, chiều dài là 16 cm .
Vậy diện tích đáy hố ga nhỏ nhất là: $S = 10.16 = 160\;{cm^2}$.
Câu 15. Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1 m và 4 m , đỉnh của hai cây cột cách nhau 5 m . Người ta chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa hai chân cột) để giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí như hình dưới. Tính độ dài dây ngắn nhất.
Lời giải
Trả lời: $\sqrt {41} $
Đặt $CD = x,x > 0$. Ta tính được
$DE = \sqrt {{5^2} – {{(4 – 1)}^2}} = 4$
Ta có $AC + BC = \sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{{(4 – x)}^2} + 16} = f\left( x \right)$
Khi đó: $f’\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{{x – 4}}{{\sqrt {{x^2} – 8x + 32} }}$
Giải phương trình $f’\left( x \right) = 0$, ta thu được $x = \frac{4}{5}$ và tìm được $minf\left( x \right) = \sqrt {14} $,
Câu 16. Bác nông dân muốn làm hàng rà trồng ra hình chữ nhật có chiều dài song song với hàng tường gạch. Bác chỉ làm ba mặt hàng rào bởi vì mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ tường. Bác dự tính sẽ dùng 200 m lưới để làm nên toàn bộ hàng rào đó. Diện tích đất trồng rau lớn nhất bác có thể rào nên là:
Lời giải
Trả lời: 5000
Đề cho ta dữ liệu về chu vi của hàng rào là 200 m . Từ đó ta sẽ tìm được mối quan hệ giữa x và r , đến đậy ta có thể đưa về hàm số một biến theo x hoặc theo r như sau:
Ta có:
$x + 2r = 200 \Leftrightarrow r = 100 – \frac{x}{2}$. Từ đây ta có $r > 0 \Rightarrow x < 200$.
Diện tích đất rào được tính bởi: $f\left( x \right) = x\left( {100 – \frac{x}{2}} \right) = – \frac{{{x^2}}}{2} + 100x$
Xét hàm số $f\left( x \right) = – \frac{{{x^2}}}{2} + 100x$ trên khoảng $\left( {0;200} \right)$
Đến đây áp dụng quy tắc tìm GTLN của hàm số trên đoạn. ta có:
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – x + 100 = 0 \Leftrightarrow x = 100$
Từ đó ta có $f\left( {100} \right) = 5000$ là GTLN của diện tích đất rào được.
Câu 17. Một người có một dây ruy băng dài 130 cm , người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp ( như hình vẽ minh họa ). Hỏi dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: $1000\pi $
Gọi $x\left( {\;cm} \right);y\left( {\;cm} \right)$ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ $(x,y > 0;x < 30)$
Dải dây ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 120 cm .
Ta có: $\left( {2x + y} \right).4 = 120 \Leftrightarrow y = 30 – 2x$
Thể tích khối hộp quà là: $V = \pi {x^2} \cdot y = \pi {x^2}\left( {30 – 2x} \right)$
Thể tích V lớn nhất khi hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\left( {30 – 2x} \right)$ với $0 < x < 30$ đạt GTLN
$f’\left( x \right) = – 6{x^2} + 60x$, cho $f’\left( x \right) = – 6{x^2} + 60x = 0 \Leftrightarrow x = 10$
Lập Bảng Biến thiên ta thấy thể tích đạt GTLN là:
$V = 1000\pi \left( {{cm^3}} \right)$.
Câu 18. Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần hình trụ nhỉ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất?
Lời giải
Trả lời: 0,68
Ta có ${S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = 2\pi rl + 2\pi {r^2}$
$V = \pi {r^2}l = 2 \Rightarrow l = \frac{2}{{\pi {r^2}}}$ thay vào (1) ta được:
${S_{tp}} = \frac{4}{r} + 2\pi {r^2} = f\left( r \right)$
$f’\left( r \right) = – \frac{4}{{{r^2}}} + 4\pi r$
$f’\left( r \right) = 0$ khi $r$ gần bằng 0,68 .
Câu 19. Do nhu cầu sử dụng người ta cần tạo ra một lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh $a$ và chiều cao $h$, có thể tích là $1{m^3}$. Với $a$ như thế nào để đỡ tốn nhiều vật liệu nhất?
Lời giải
Trả lời: 1
$V = {a^2}h = 1 \Rightarrow a = \sqrt {\frac{1}{h}} $
$S = 4ah + 2{a^2} = \frac{4}{a} + 2{a^2} = f\left( a \right)$
$S’\left( a \right) = – \frac{4}{{{a^2}}} + 4a$
$S’\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow – \frac{4}{{{a^2}}} + 4a = 0 \Leftrightarrow a = 1$
Vậy $a = 1$ thì để đỡ tốn nhiều vật liệu nhất.
Câu 20. Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có $AD = 60\;cm$. Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh $MN$ và $PQ$ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ để được 1 hình lăng trụ khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?
Lời giải
Trả lời:20
Gọi ${m_a}$ là độ dài đường trung tuyến đối với cạnh NP
Diện tích tam giác NAP $ = {S_{NAP}}$
Ta có: ${m_a} = \sqrt {\frac{{4{x^2} – {{(60 – 2x)}^2}}}{4}} = \sqrt { – 900 + 60x} $
$V = h \cdot {m_A} \cdot NP$
Xét hàm $f\left( x \right) = \frac{1}{2}\sqrt {60x – 900} \left( {60 – 2x} \right)$
$ \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{{60\left( {60 – 2x} \right)}}{{2\sqrt {60x – 900} }} – 2\sqrt {60x – 900} $
$ = \frac{{60\left( {60 – 2x} \right) – 4(60x – 900)}}{{2\sqrt {60x – 900} }}$$ = \frac{{7200 – 360x}}{{2\sqrt {60x – 900} }}$
$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{7200 – 360x}}{{2\sqrt {60x – 900} }} = 0 \Leftrightarrow x = 20$
Vậy thể tích khối lăng trụ lớn nhất khi $x = 20$.
