Các dạng trắc nghiệm đúng sai tích vô hướng của hai vectơ trong không gian 12 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Câu 1. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$.
a) $\left( {\overrightarrow {AA’} ;\overrightarrow {CD’} } \right) = {90^0}$
b) $\left( {\overrightarrow {AA’} ;\overrightarrow {CD} } \right) = {60^0}$.
c) $\left( {\overrightarrow {AA’} ;\overrightarrow {C’D} } \right) = {45^0}$
d) $\left( {\overrightarrow {B’C} ;\overrightarrow {C’D} } \right) = {60^0}$.
Lời giải
| a) Sai | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) $\left( {\overrightarrow {AA’} ;\overrightarrow {CD’} } \right) = \left( {\overrightarrow {AA’} ;\overrightarrow {BA’} } \right) = \widehat {AA’B} = {45^0}$ Sai
b) $\left( {\overrightarrow {AA’} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {AA’} ;\overrightarrow {BA} } \right) = {90^0}$. Sai
c) $\left( {\overrightarrow {AA’} ;\overrightarrow {C’D} } \right) = \left( {\overrightarrow {AA’} ;\overrightarrow {B’A} } \right) = {180^0} – \widehat {A’AB’} = {180^0} – {45^0} = {135^0}$ Sai
d) $\left( {\overrightarrow {B’C} ;\overrightarrow {C’D} } \right) = \left( {\overrightarrow {B’C} ;\overrightarrow {B’A} } \right) = \widehat {CB’A} = {60^0}$. Đúng
Câu 2. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$.
a) $\left( {\overrightarrow {A’D} ;\overrightarrow {BC’} } \right) = {90^0}$
b) $\left( {\overrightarrow {A’D} ;\overrightarrow {CB’} } \right) = {0^0}$
c) $\left( {\overrightarrow {A’D} ;\overrightarrow {CD’} } \right) = {120^0}$
d) $\left( {\overrightarrow {A’D} ;\overrightarrow {CC’} } \right) = {45^0}$.
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) $\left( {\overrightarrow {A’D} ;\overrightarrow {BC’} } \right) = \left( {\overrightarrow {A’D} ;\overrightarrow {AD’} } \right) = {90^0}$ Đúng
b) $\left( {\overrightarrow {A’D} ;\overrightarrow {CB’} } \right) = {180^0}$ (Vì hai vectơ ngược hướng) Sai
c) $\left( {\overrightarrow {A’D} ;\overrightarrow {CD’} } \right) = \left( {\overrightarrow {A’D} ;\overrightarrow {BA’} } \right) = {180^0} – \widehat {DA’B} = {180^0} – {60^0} = {120^0}$ Đúng
d) $\left( {\overrightarrow {A’D} ;\overrightarrow {CC’} } \right) = \left( {\overrightarrow {A’D} ;\overrightarrow {DD’} } \right) = {180^0} – \widehat {A’DD’} = {180^0} – {45^0} = {135^0}$. Sai
Câu 3. Cho hình lập phương $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ có cạnh bằng $a$.
a) $\left( {\overrightarrow {A{B_1}} ;\overrightarrow {{C_1}D} } \right) = {90^0}$
b) $\overrightarrow {{A_1}B} .\overrightarrow {C{C_1}} = – {a^2}$.
c) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {{A_1}{D_1}} .$
d) $\overrightarrow {{A_1}D} .\overrightarrow {{C_1}B} = {a^2}$.
Lời giải
| a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) $\left( {\overrightarrow {A{B_1}} ;\overrightarrow {D{C_1}} } \right) = {0^0}$ (Vì hai vectơ cùng hướng) Sai
b) $\overrightarrow {{A_1}B} .\overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {{A_1}B} .\overrightarrow {B{B_1}} $
$ = \left| {\overrightarrow {{A_1}B} } \right|.\left| {\overrightarrow {B{B_1}} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {{A_1}B} ,\overrightarrow {B{B_1}} } \right) = a.a.cos{180^0} = – {a^2}$. Đúng
c) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {{A_1}{D_1}} .$ Đúng
d) $\overrightarrow {{A_1}D} .\overrightarrow {{C_1}B} = \overrightarrow {{A_1}D} .\overrightarrow {{D_1}A} = 0$ (Vì $\overrightarrow {{A_1}D} \bot \overrightarrow {{D_1}A} $ ) Sai
Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ có $AB = a,BC = 2a,A{A_1} = 3a$.
a) $\left( {\overrightarrow {A{B_1}} ;\overrightarrow {{C_1}D} } \right) = {45^0}$
b) $\overrightarrow {{A_1}B} .\overrightarrow {{D_1}D} = 9{a^2}$.
c) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {{C_1}{A_1}} .\overrightarrow {{C_1}{B_1}} .$
d) $\overrightarrow {{A_1}{D_1}} .\overrightarrow {{C_1}C} = 0$.
Lời giải
| a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) $\left( {\overrightarrow {A{B_1}} ;\overrightarrow {{C_1}D} } \right) = {180^0}$ (Vì hai vectơ ngược hướng) Sai
b) $\overrightarrow {{A_1}B} .\overrightarrow {{D_1}D} = \overrightarrow {{A_1}B} .\overrightarrow {{A_1}A} $
$ = \left| {\overrightarrow {{A_1}B} } \right|.\left| {\overrightarrow {{A_1}A} } \right|cos\left( {\overrightarrow {{A_1}B} ,\overrightarrow {{A_1}A} } \right) = a\sqrt {10} .3a.cos\widehat {B{A_1}A}$
$ = a\sqrt {10} .3a.\frac{{{A_1}A}}{{{A_1}B}} = a\sqrt {10} .3a.\frac{{3a}}{{a\sqrt {10} }} = 9{a^2}$. Đúng
c) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = – \overrightarrow {{C_1}{A_1}} .\left( { – \overrightarrow {{C_1}{B_1}} } \right) = \overrightarrow {{C_1}{A_1}} .\overrightarrow {{C_1}{B_1}} $ Đúng
d) $\overrightarrow {{A_1}{D_1}} .\overrightarrow {{C_1}C} = \overrightarrow {{A_1}{D_1}} .\overrightarrow {{D_1}D} = 0$. (Vì $\overrightarrow {{A_1}{D_1}} \bot \overrightarrow {{D_1}D} $ ) Đúng
Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh đều bằng $a$.
a) $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 $
b) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = – \frac{{{a^2}}}{2}$.
c) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} .$
d) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0$.
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên các tam giác $ABC,BCD,CDA,ABD$ là các tam giác đều.
a) Đúng vì $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 $.
b) Đúng vì $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = – \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = – a.a.\cos {60^0} = \frac{{ – {a^2}}}{2}.$
c) Sai vì $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = a.a.\cos {60^0} = \frac{{{a^2}}}{2};\,\,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} = – \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} = – a.a.\cos {60^0} = – \frac{{{a^2}}}{2}.$
d) Đúng vì $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD} \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0.$
Câu 6. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có các cạnh đều bằng $a$.
a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0$.
b) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \frac{{{a^2}}}{2}$
c) $\overrightarrow {SD} .\overrightarrow {CB} = {a^2}$
d) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {SC} = – \frac{{{a^2}}}{2}$
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Sai |
a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0$. ( Do $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BC} $) đúng
b) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right)$
$ = a\sqrt 2 .a.cos\widehat {CAD} = {a^2}\sqrt 2 cos{45^0} = {a^2}\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}$ sai
c) $\overrightarrow {SD} .\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {SD} .\overrightarrow {DA} = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|.\left| {\overrightarrow {DA} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {SD} ,\overrightarrow {DA} } \right)$
$ = a.a.cos\left( {{{180}^0} – \widehat {SDA}} \right) = {a^2}cos\left( {{{180}^0} – {{60}^0}} \right)$
$ = {a^2}cos{120^0} = – \frac{{{a^2}}}{2}$ sai
d) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {SC} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AS} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AS} $
$ = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) – \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AS} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right)$
$ = a.a\sqrt 2 cos\widehat {BAC} – a.a.cos\widehat {BAS}$
$ = a.a\sqrt 2 cos{45^0} – a.a.cos{60^0}$
$ = {a^2}\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} – {a^2}.\frac{1}{2} = {a^2} – \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}$. sai
Câu 7. Cho hình lập phương $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$.
a) Góc giữa $\overrightarrow {AC} $ và $\overrightarrow {{B_1}{D_1}} $ bằng $90^\circ $.
b) Góc giữa $\overrightarrow {{B_1}{D_1}} $ và $\overrightarrow {A{A_1}} $ bằng $60^\circ $.
c) Góc giữa $\overrightarrow {AD} $ và $\overrightarrow {{B_1}C} $ bằng $45^\circ $.
d) Góc giữa $\overrightarrow {BD} $ và $\overrightarrow {{A_1}{C_1}} $ bằng $90^\circ $.
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) Ta có: $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {{B_1}{D_1}} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {90^0}$ Đúng
b) Ta có: $\left( {\overrightarrow {{B_1}{D_1}} ,\overrightarrow {A{A_1}} } \right) = \left( {\overrightarrow {{B_1}{D_1}} ,\overrightarrow {B{B_1}} } \right) = {90^0}$ Sai
c) Ta có: $\left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{B_1}C} } \right) = \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {{A_1}D} } \right) = \widehat {AD{A_1}} = {45^0}$ Đúng
d) Ta có: $\left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {{A_1}{C_1}} } \right) = \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^0}$ Đúng
DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Câu 8. Cho $\left| {\overrightarrow a } \right| = 1,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 2$, góc giữa $\vec a$ và $\overrightarrow b $ bằng $60^\circ $.
a) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3$
b) $\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 2$
c) $\overrightarrow a \left( {5\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right) = 1$
d) ${\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = 4$
Lời giải
| a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
a) $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1.2.cos{60^0} = 1$ Sai
b) $\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a .\overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 1 = {1^2} + 1 = 2$ Đúng
c) $\overrightarrow a \left( {5\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right) = 5{\overrightarrow a ^2} – \overrightarrow a .\overrightarrow b = 5{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} – 1 = {5.1^2} – 1 = 4$ Sai
d) ${\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {1^2} + 2.1 + {1^2} = 4$ Đúng
Câu 9. Cho $\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5$, góc giữa $\vec a$ và $\overrightarrow b $ bằng $120^\circ $.
a) $\left| {\vec a + \vec b} \right| = \sqrt {19} $
b) $\left| {\vec a – \vec b} \right| = 8$
c) $\left| {\vec a – 2\vec b} \right| = \sqrt {139} $
d) $\left| {\vec a + 2\vec b} \right| = 9$
Lời giải
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có:
a) ${\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b $
$ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|cos\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 9 + 25 + 2.3.5\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 19$
$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19} $
b) ${\left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} – 2\overrightarrow a .\overrightarrow b $
$ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} – 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|cos\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 9 + 25 – 2.3.5\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 49$
$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right| = \sqrt {49} = 7$
c) ${\left| {\overrightarrow a – 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a – 2\overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} – 4\overrightarrow a .\overrightarrow b $
$ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} – 4\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|cos\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 9 + 4.25 – 4.3.5\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 139$
$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a – 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {139} $
d)${\left| {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 4\overrightarrow a .\overrightarrow b $
$ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 4\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|cos\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 9 + 4.25 + 4.3.5\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 79$
$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {79} $
Câu 10. Cho hai vectơ $\vec a$ và $\overrightarrow b $.
a) $\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} – {{\left| {\vec a} \right|}^2} – {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$
b) $\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} – {{\left| {\vec a – \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$
c) $\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} – {{\left| {\vec a – \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$
d) $\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} – {{\left| {\vec a – \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$
Lời giải
| a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
a) ${\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b $
$ \Rightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b $
$ \Rightarrow \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} – {{\left| {\vec a} \right|}^2} – {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$Đúng
b) ${\left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} – 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} – 2\overrightarrow a .\overrightarrow b $
$ \Rightarrow {\left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} – 2\overrightarrow a .\overrightarrow b $
$ \Rightarrow \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a} \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} – {{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$Đúng
c) $\frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} – {{\left| {\vec a – \overrightarrow b } \right|}^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b – \left( {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} – 2\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)} \right) = 2\vec a.\overrightarrow b $
$ \Rightarrow \vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} – {{\left| {\vec a – \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$
Do đó $\vec a.\overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\vec a + \overrightarrow b } \right|}^2} – {{\left| {\vec a – \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$ Sai
d) Ta có ${\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} – {\left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} – {\left( {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right)^2} = 4\overrightarrow a \overrightarrow b $
$ \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|}^2} – {{\left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$ Đúng
