Các dạng trắc nghiệm ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÁC DẠNG TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Dạng 1: Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong khi biết hàm số các đường cong
Chú ý: $\left\{ \begin{gathered}
y = f\left( x \right) \hfill \\
y = g\left( x \right) \hfill \\
x = a \hfill \\
x = b \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) – g\left( x \right)} \right|dx} $
Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\left[ {a\,;\,b} \right]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và các đường thẳng $x = a$, $x = b$ bằng
A. $\left| {\int\limits_a^b {f(x)dx} } \right|$. B. $\int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} $. C. $\int\limits_a^b {f(x)dx} $. D. $ – \int\limits_a^b {f(x)dx} $.
Lời giải
Chọn B.
Theo lý thuyết thì diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các đường $y = f(x)$, trục hoành $y = 0$, $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – 0} \right|dx} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \,$.
Câu 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {e^x}$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = \ln 5$ bằng
A. $\left| {\int\limits_a^b {f(x)dx} } \right|$. B. $\int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} $. C. $\int\limits_a^b {f(x)dx} $. D. $ – \int\limits_a^b {f(x)dx} $.
Lời giải
$S = \int\limits_0^{\ln 5} {\left| {{e^x} – 0} \right|dx} = \int\limits_0^{\ln 5} {\left| {{e^x}} \right|dx} = \int\limits_0^{\ln 5} {\left| {{e^x}} \right|dx} $
$ = \int\limits_0^{\ln 5} {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_0^{\ln 5} = {e^{\ln 5}} – {e^0} = 4$
Câu 3. Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $\left[ {a\,;\,b} \right]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ và các đường thẳng $x = a$, $x = b$ bằng
A. $\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f(x) – g(x)} \right]dx} } \right|$. B. $\int\limits_a^b {\left| {f(x) + g(x)} \right|dx} $. C. $\int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} $. D. $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) – g(x)} \right]dx} $.
Lời giải
Chọn C.
Theo lý thuyết thì diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các đường $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} $.
Câu 4. Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {3^x}$, $y = 0$,$x = 0$,$x = 2$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $S = \int\limits_0^2 {{3^x}} dx$. B. $S = \pi \int\limits_0^2 {{3^{2x}}} dx$. C. $S = \pi \int\limits_0^2 {{3^x}} dx$. D. $S = \int\limits_0^2 {{3^{2x}}} dx$.
Lời giải
Chọn A.
Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi công thức $S = \int\limits_0^2 {{3^x}} dx$
Câu 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {\left( {x – 2} \right)^2} – 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,\,x = 2$ bằng
A. $\frac{2}{3}$. B. $\frac{3}{2}$. C. $\frac{1}{3}$. D. $\frac{7}{3}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có:$S = \int\limits_1^2 {\left| {{{\left( {x – 2} \right)}^2} – 1} \right|dx} = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} – 4x + 3} \right|dx = } \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)dx} } \right| = \frac{2}{3}$.
Câu 6. Tính diện tích $S$ hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^2} + 1,\,x = – 1,\,x = 2$ và trục hoành.
A. $S = 6$. B. $S = 16$. C. $S = \frac{{13}}{6}$. D. $S = 13$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {{x^2} + 1} \right|} \,dx = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)} \,dx = 6$.
Câu 7. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^2} + 5$,$y = 6x$, $x = 0$,$x = 1$. Tính $S$.
A. $\frac{4}{3}$ B. $\frac{7}{3}$ C. $\frac{8}{3}$ D. $\frac{5}{3}$
Lời giải
Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} + 5 = 6x \Leftrightarrow x = 5;x = 1$.
Diện tích hình phẳng cần tìm: $S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} – 6x + 5} \right|dx} = \frac{7}{3}$.
Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \ln x,$ $y = 1$ và hai đường thẳng $x = 1,x = e$ bằng
A. ${e^2}$. B. $e + 2$. C. $2e$. D. $e – 2$.
Lời giải
Chọn D.
$S = \int\limits_1^e {\left| {\ln x – 1} \right|} dx = \left| {\int\limits_1^e {\left( {\ln x – 1} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {x\left( {\ln x – 1} \right)} \right|_{\left. 1 \right|}^e – \int\limits_1^e {dx} } \right| = \left| {1 – \left. x \right|_1^e} \right| = \left| {1 – \left( {e – 1} \right)} \right| = \left| {2 – e} \right| = e – 2$
Câu 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = 4x – {x^2}$, $y = 2x$ và hai đường thẳng $x = 1,x = e$ bằng
A. $4$. B. $\frac{{20}}{3}$. C. $\frac{4}{3}$. D. $\frac{{16}}{3}$
Lời giải
Chọn C.
diện tích hình phẳng cần tìm là $S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} – 2x} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {2x – {x^2}} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 = \frac{4}{3}$.
Câu 10. Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {x^2} – 2x$, $y = 0$, $x = – 10$, $x = 10$.
A. $S = \frac{{2000}}{3}$. B. $S = 2008$. C. $S = 2000$. D. $S = \frac{{2008}}{3}$.
Lời giải
Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường $\left( C \right):y = {x^2} – 2x$ và $\left( d \right):y = 0$ là: ${x^2} – 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Bảng xét dấu:
Diện tích cần tìm: $S = \int\limits_{ – 10}^{10} {\left| {{x^2} – 2x} \right|dx} = \int\limits_{ – 10}^0 {\left( {{x^2} – 2x} \right)dx} – \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} – 2x} \right)dx} + \int\limits_2^{10} {\left( {{x^2} – 2x} \right)dx} $$ = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – {x^2}} \right)} \right|_{ – 10}^0 – \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – {x^2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – {x^2}} \right)} \right|_2^{10}$$ = \frac{{1300}}{3} + \frac{4}{3} + \frac{{704}}{3} = \frac{{2008}}{3}$.
Dạng 2: Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong khi biết đồ thị hàm số của các đường cong
Chú ý:
– Nếu trên $\left( {a;b} \right)$ đồ thị hàm số $y = f(x)$ nằm phía trên trục hành $Ox$ thì $\int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} $
– Nếu trên $\left( {a;b} \right)$ đồ thị hàm số $y = f(x)$ nằm phía dưới trục hành $Ox$ thì $\int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} =- \int\limits_a^b {f(x)dx} $
– Nếu trên $\left( {a;b} \right)$ đồ thị hàm số $y = f(x)$ nằm phía trên đồ thị hàm số $y = g(x)$ thì $\int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} = \int\limits_a^b {\left[ {f(x) – g(x)} \right]dx} $
– Nếu trên $\left( {a;b} \right)$ đồ thị hàm số $y = f(x)$ nằm phía dưới đồ thị hàm số $y = g(x)$ thì $\int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} = – \int\limits_a^b {\left[ {f(x) – g(x)} \right]dx} $
Câu 11. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành, đường thẳng $x = a,x = b$ (như hình vẽ bên). Hỏi cách tính $S$ nào dưới đây đúng?
A. $S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $. B. $S = \left| {\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} } \right|$.
C. $S = – \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} $. D. $S = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} – \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} $.
Lời giải
Chọn D.
$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_c^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $
$ = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} – \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} $
Câu 12. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Gọi $D$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$, trục hoành, hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ (như hình vẽ dưới đây). Giả sử ${S_D}$ là diện tích hình phẳng $D$. đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây?
A. ${S_D} = \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} $.
B. ${S_D} = – \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} $.
C. ${S_D} = \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx} – \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} $.
D. ${S_D} = – \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx} – \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} $.
Lời giải
Chọn B.
Ta có ${S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_a^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_0^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $.
Vì $f\left( x \right) \leqslant 0,\,\forall x \in \left[ {a\,;\,0} \right]\,,\,f\left( x \right) \geqslant 0,\,\forall x \in \left[ {0\,;\,b} \right]$ nên:
${S_D} = \int\limits_a^0 {\left( { – f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} = – \int\limits_a^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^b {f\left( x \right)dx} .$
Câu 13. Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$$\left( {a < b} \right)$ (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức nào dưới đây ?
A. $S = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} } $. B. $S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $.
C. $S = – \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} } $. D. $S = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|$.
Lời giải
Chọn C.
Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = $ $\int\limits_a^c {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_c^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $ $ = – \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} $.
Câu 14. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
A. $\int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – 2x + 2} \right)dx} $ B. $\int\limits_{ – 1}^2 {\left( {2x – 2} \right)dx} $ C. $\int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} $ D. $\int\limits_{ – 1}^2 {\left( {2{x^2} – 2x – 4} \right)dx} $
Lời giải
Chọn C.
Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là:
$S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {\left( { – {x^2} + 3} \right) – \left( {{x^2} – 2x – 1} \right)} \right|} dx = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| { – 2{x^2} + 2x + 4} \right|} dx = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – 2{x^2} + 2x + 4} \right)} dx$.
Câu 15. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right),y = 0,x = – 1$ và $x = 5$ (như hình vẽ bên).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $S = – \int\limits_{ – 1}^1 {f(x)dx – } \int\limits_1^5 {f(x)dx} $. B. $S = \int\limits_{ – 1}^1 {f(x)dx + } \int\limits_1^5 {f(x)dx} $.
C. $S = \int\limits_{ – 1}^1 {f(x)dx – } \int\limits_1^5 {f(x)dx} $. D. $S = – \int\limits_{ – 1}^1 {f(x)dx + } \int\limits_1^5 {f(x)dx} $.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {f(x)} \right|dx} + \int\limits_1^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} – \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} $.
Câu 16. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right),y = 0,x = – 1,x = 2$ (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $S = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx$.
B. $S = – \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx – \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx$.
C. $S = – \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx$.
D. $S = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx – \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx$.
Lời giải
Chọn D.
$S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$
Nhìn hình ta thấy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn $\left[ { – 1;1} \right]$ nên $\int\limits_{ – 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx$; hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và nhận giá trị âm trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$ nên $\int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx = – \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx$
Vậy $S = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx – \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx$
Câu 17. Gọi$S$là diện tích hình phẳng $\left( H \right)$giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = – 1$, $x = 2$. Đặt $a = \int\limits_{ – 1}^0 {f\left( x \right)dx} $,$b = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} $, mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $S = b – a$ B. $S = b + a$ C. $S = – b + a$ D. $S = – b – a$
Lời giải
Chọn A.
Ta có:
$S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $$ = – \int\limits_{ – 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = – a + b$.
Câu 18. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = – 3$, $x = 2$ (như hình vẽ bên). Đặt $a = \int\limits_{ – 3}^1 {f\left( x \right)\,dx} $, $b = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)\,dx} $. Mệnh đề nào sau đây là đúng.
A. $S = a + b$. B. $S = a – b$. C. $S = – a – b$. D. $S = b – a$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $S = \int\limits_{ – 3}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|\,dx} $$ = \int\limits_{ – 3}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|\,dx} + \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|\,dx} $ $ = – \int\limits_{ – 3}^1 {\,f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} $$ = – a + b$.
Câu 19. Cho các số $p,q$ thỏa mãn các điều kiện:$p > 1$, $q > 1$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ và các số dương $a,b$. Xét hàm số: $y = {x^{p – 1}}$$\left( {x > 0} \right)$có đồ thị là $\left( C \right)$. Gọi $\left( {{S_1}} \right)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$, trục hoành, đường thẳng $x = a$, Gọi $\left( {{S_2}} \right)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( C \right)$, trục tung, đường thẳng $y = b$, Gọi $\left( S \right)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và hai đường thẳng $x = a$, $y = b$. Khi so sánh ${S_1} + {S_2}$ và $S$ ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây?
A. $\frac{{{a^p}}}{p} + \frac{{{b^q}}}{q} \leqslant ab$ B. $\frac{{{a^{p – 1}}}}{{p – 1}} + \frac{{{b^{q – 1}}}}{{q – 1}} \geqslant ab$. C. $\frac{{{a^{p + 1}}}}{{p + 1}} + \frac{{{b^{q + 1}}}}{{q + 1}} \leqslant ab$. D. $\frac{{{a^p}}}{p} + \frac{{{b^q}}}{q} \geqslant ab$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $S \leqslant {S_1} + {S_2}$.
${S_1} = \int\limits_0^a {\left( {{x^{p – 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^p}}}{p}} \right)\,} \right|_{\,0}^{\,a} = \frac{{{a^p}}}{p}$;
${S_2} = \int\limits_0^b {\left( {{y^{\frac{1}{{p – 1}}}}} \right)dy} = \left. {\left( {\frac{{{y^{\frac{1}{{p – 1}} + 1}}}}{{\frac{1}{{p – 1}} + 1}}} \right)\,} \right|_{\,0}^{\,b} = \left. {\left( {\frac{{{y^q}}}{q}} \right)\,} \right|_{\,0}^{\,b} = \frac{{{b^q}}}{q}$.
Vì: $\frac{1}{{p – 1}} + 1 = \frac{p}{{p – 1}} = \frac{1}{{1 – \frac{1}{p}}} = \frac{1}{{\frac{1}{q}}} = q$. Vậy $\frac{{{a^p}}}{p} + \frac{{{b^q}}}{q} \geqslant ab$.
Câu 20. Diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
A. $\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^2} – 2 + \sqrt {\left| x \right|} } \right)dx} $.
B. $\int\limits_{ – 1}^1 {\left( {{x^2} – 2 – \sqrt {\left| x \right|} } \right)dx} $.
C. $\int\limits_{ – 1}^1 {\left( { – {x^2} + 2 + \sqrt {\left| x \right|} } \right)dx} $.
D. $\int\limits_{ – 1}^1 {\left( { – {x^2} + 2 – \sqrt {\left| x \right|} } \right)dx} $.
Lời giải
Chọn D.
Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên là:
$\int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^2} – 2 – \left( { – \sqrt {\left| x \right|} } \right)} \right|dx} = \int\limits_{ – 1}^1 {\left( { – \sqrt {\left| x \right|} – {x^2} + 2} \right)dx} $ ( vì $x \in \left[ { – 1;1} \right] \Rightarrow – \sqrt {\left| x \right|} > {x^2} – 2$ ).
