Đề kiểm tra học kỳ 1 Toán 12 năm 2023-2024 giải chi tiết-Đề 10 được soạn dưới dạng file Word và PDF gồm 10 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ
Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng nào
A. $\left( { – 1;1} \right)$. B. $\left( {3; + \infty } \right)$. C. $\left( {1;3} \right)$. D. $\left( { – \infty ;3} \right)$.
Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$. B. Hàm số đạt cực đại tại $x = – 1$.
C. Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$. D. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$.
Câu 3: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ:
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. $x = – 1$. B. $x = 0$. C. $x = 2$. D. $x = 4$.
Câu 4: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^2} – 4}}$
A. $x = – 2$. B. $x = \pm 2$. C. $y = \pm 2$. D. $y = 1$.
Câu 5: Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $\left( C \right):y = {x^3} + x + 5$ và đường thẳng $\left( d \right):y = – 2x + 1$ là
A. $\left( {1; – 1} \right)$. B. $\left( {0;1} \right)$. C. $\left( {0;5} \right)$. D. $\left( { – 1;3} \right)$.
Câu 6: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A. $y = – {x^4} + 2{x^2} – 1$. B. $y = {x^4} – 2{x^2} – 1$. C. $y = {x^3} – 3{x^2} – 1$. D. $y = – {x^3} + 3{x^2} – 1$.
Câu 7: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ bên dưới?
A. $y = {x^3} – 3x + 2$. B. $y = \frac{{x + 2}}{{x – 1}}$. C. $y = \frac{{x – 2}}{{x – 1}}$. D. $y = – {x^4} + 5{x^2} – 4$.
Câu 8: Hàm số nào dưới đây có dạng đồ thị như đường cong trong hình vẽ bên?
A. $y = – {x^3} + {x^2} – 1$. B. $y = {x^4} – {x^2} – 1$. C. $y = {x^3} – {x^2} – 1$. D. $y = – {x^4} + {x^2} – 1$.
Câu 9: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( { – \infty ; – 2} \right)$. B. $\left( { – 4;0} \right)$. C. $\left( {0; + \infty ;} \right)$. D. $\left( { – 2;0} \right)$.
Câu 10: Biểu thức $\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}$ viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
A. ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{5}{{18}}}}$. B. ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{12}}}}$. C. ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{7}{6}}}$. D. ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}$.
Câu 11: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của $f’\left( x \right)$ như sau:
Số điểm cực đại của hàm số $y = f\left( x \right)$ là
A. 0 . B. 1 . C. 3 . D. 2 .
Câu 12: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A. $y = {(\sqrt 2 )^x}$. B. $y = {(0,5)^x}$. C. $y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x}$. D. $y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}$.
Câu 13: Cho $a > 0,a \ne 1$, giá trị của $lo{g_{{a^3}}}a$ bằng
A. $\frac{1}{3}$. B. $ – \frac{1}{3}$. C. -3 . D. 3 .
Câu 14: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. $y = {(\sqrt 3 – 1)^x}$. B. $y = {(\pi – e)^x}$. C. $y = {\pi ^x}$. D. $y = {(e – 2)^x}$.
Câu 15: Tính đạo hàm của hàm số $y = lo{g_2}\left( {2x + 1} \right)$.
A. $y’ = \frac{1}{{2x + 1}}$. B. $y’ = \frac{2}{{2x + 1}}$. C. $y’ = \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}}$. D. $y’ = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}}$.
Câu 16: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_{2024}}\left( {x – 1} \right) = lo{g_{2024}}\left( {2x + 1} \right)$ là
A. $\left\{ { – 2;\frac{1}{2}} \right\}$. B. $\left\{ 2 \right\}$. C. $\left\{ { – 2} \right\}$. D. $\emptyset $.
Câu 17: Nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{4x}} \leqslant {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x – 2}}$ là
A. $x \leqslant \frac{2}{5}$. B. $x \geqslant – \frac{2}{3}$. C. $x \geqslant \frac{2}{5}$. D. $x \leqslant \frac{2}{3}$.
Câu 18: Các giá trị $x$ thỏa mãn bất phương trình $lo{g_2}\left( {3x – 1} \right) > 3$ là
A. $x > 3$. B. $\frac{1}{3} < x < 3$. C. $x < 3$. D. $x > \frac{{10}}{3}$.
Câu 19: Vật thể nào dưới đây không phải là khối đa diện?
A. Hình 3 . B. Hình 1. C. Hình 4. D. Hình 2.
Câu 20: Khối đa diện đều loại $\left\{ {5;3} \right\}$ có số mặt là bao nhiêu?
A. 14 . B. 12 . C. 10 . D. 8 .
Câu 21: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),\vartriangle ABC$ vuông cân tại $A,SA = AB = 2$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là.
A. $\frac{2}{3}$. B. $\frac{8}{3}$. C. $\frac{4}{3}$. D. 4 .
Câu 22: Cho một khối chóp có diện tích đáy là $B$ và chiều cao là $h$. Khi đó thể tích $V$ của khối chóp đó là
A. $V = Bh$. B. $V = 3Bh$. C. $V = B{h^3}$. D. $V = \frac{1}{3}Bh$.
Câu 23: Tính thể tích khối hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ biết $AB = 6\;cm,BC = 8\;cm,AA’ = 10\;cm$.
A. $480\;c{m^3}$. B. $48\;c{m^3}$. C. $160\;c{m^3}$. D. $1440\;c{m^3}$.
Câu 24: Cho khối nón có bán kính đáy $r = \sqrt 3 $ và chiều cao $h = 4$. Tính thể tích $V$ của khối nón đã cho.
A. $V = 16\pi \sqrt 3 $. B. $V = 12\pi $. C. $V = 4\pi $. D. $V = 4$.
Câu 25: Một khối lăng trụ có chiều cao $3a$, diện tích đáy $2{a^2}$ thì có thể tích bằng
A. $2{a^3}$. B. ${a^3}$. C. $18{a^3}$. D. $6{a^3}$.
Câu 26: Cho hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 2}}$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;2} \right)$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.
Câu 27: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = 2x – 1,\forall x \in \mathbb{R}$. Hỏi hàm số $f\left( x \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 . B. 1 . C. 0 . D. 2 .
Câu 28: Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = {x^4} – {x^2} + 13$ trên đoạn $\left[ { – 2;3} \right]$.
A. $m = 13$. B. $m = 25$. C. $m = 85$. D. $m = \frac{{51}}{4}$.
Câu 29: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {4{x^2} – 1} + 3{x^2} + 2}}{{2{x^2} – 2x}}$ là:
A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 4 .
Câu 30: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như vẽ. Số nghiệm của phương trình $2\left| {f\left( x \right)} \right| – 3 = 0$ là:
A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 6 .
Câu 31: Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Từ đồ thị ta thấy
A. $ad < 0$. B. $cd < 0$. C. $bd > 0$. D. $ac > 0$.
Câu 32: Cho $lo{g_2}3 = a,lo{g_2}5 = b$ Khi đó $lo{g_6}225$ được biểu diễn theo $a,b$ là đáp án nào sau đây?
A. $\frac{{ab + b}}{{1 + 3a}}$. B. $\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{1 + a}}$. C. $\frac{{2a + 2b}}{{1 + a}}$. D. $\frac{{a + b}}{{1 + 2a}}$.
Câu 33: Số nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 6} \right) = lo{g_2}7$
A. 0 . B. 1 . C. 3 . D. 2 .
Câu 34: Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{4}{5}} \right)^{4x}} \leqslant {\left( {\frac{5}{4}} \right)^{2 – x}}$ là:
A. $\left( { – \infty ;\frac{2}{3}} \right)$. B. $\left( { – \frac{2}{3}; + \infty } \right)$. C. $\left( { – \infty ;\frac{2}{5}} \right)$. D. $\left( {\frac{2}{5}; + \infty } \right)$.
Câu 35: Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, biết cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa cạnh bên $SD$ và mặt phẳng đáy bằng ${60^ \circ }$.
A. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$. B. ${a^3}\sqrt 3 $. C. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}$. D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.
Câu 36: Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC \cdot A’B’C’$. Tính thể tích $V$ của hình lăng trụ này biết tam giác $ABC$ vuông cân tại $A,AB = a$, góc giữa $mp\left( {ABC} \right)$ và $mp\left( {A’BC} \right)$ bằng ${60^ \circ }$.
A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{36}}$. B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$. C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$. D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$.
Câu 37: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt 6 $. Thể tích $V$ của khối nón đó bằng?
A. $V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}$. B. $V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{3}$. C. $V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{6}$. D. $V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{2}$.
Câu 38: Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có cạnh $4a$. Thể tích của khối trụ này bằng
A. $32\pi {a^3}$. B. $8\pi {a^3}$. C. $4\pi {a^3}$. D. $16\pi {a^3}$.
Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = – {x^3} + 6\left( {m + 2} \right){x^2} – m + 1$ đồng biến trên $\left( { – 2; – 1} \right)$.
A. $m \in \left( { – \infty ;\frac{{ – 5}}{2}} \right)$. B. $m \in \left( { – \infty ;\frac{{ – 5}}{2}} \right]$. C. $m \in \left[ {\frac{5}{2}; + \infty } \right)$. D. $m \in \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)$.
Câu 40: Tính tổng bình phương tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} + 2x – 3}}$ có đúng một tiệm cận đứng.
A. 10 . B. 9 . C. 81 . D. 82 .
Câu 41: Cho phương trình $m \cdot {25^x} – 2\left( {m – 3} \right) \cdot {5^x} + m – 5 = 0$ (1). Tập hợp tất cả các giá trị dương của $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt là một khoảng $\left( {a;b} \right)$. Khi đó, giá trị của $Q = 2b – a$ bằng
A. $Q = – 1$. B. $Q = 13$. C. $Q = 16$. D. $Q = 1$.
Câu 42: Bất phương trình $\left( {{x^2} – 4\left( {x – 1} \right)} \right)lo{g_{\frac{1}{e}}}\left( { – {x^2} + 4x + 1} \right) < 0$ có tổng tất cả các nghiệm nguyên là?
A. 6 . B. 8 . C. 4 . D. 10 .
Câu 43: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với mức lương khởi điểm của mỗi tháng trong ba năm đầu tiên là 9 triệu đồng/ tháng. Tính từ ngày đầu làm việc, cứ sau đúng ba năm liên tiếp thì tăng lương $10\% $ so với mức lương một tháng người đó đang hưởng. Nếu tính theo hợp đồng thì tháng đầu tiên của năm thứ 19 người đó nhận được mức lương là bao nhiêu?
A. $9 \cdot 1,{1^6}$ (triệu đồng). B. $9.1,{1^8}$ (triệu đồng).
C. 9.1,15 (triệu đồng). D. 9.1,17 (triệu đồng).
Câu 44: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân ở $B,AC = a\sqrt 2 ,SA \bot \left( {ABC} \right)$, $SA = a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SBC,mp\left( \alpha \right)$ đi qua $AG$ và song song với $BC$ chia khối chóp thành hai phần. Gọi $V$ là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh $S$. Tính $V$.
A. $\frac{{4{a^3}}}{9}$ B. $\frac{{4{a^3}}}{{27}}$ C. $\frac{{2{a^3}}}{9}$ D. $\frac{{5{a^3}}}{{54}}$
Câu 45: Cho hình nón có chiều cao và bán kính hình tròn đáy đều bằng $2a$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua đỉnh và tạo với đáy của hình nón một góc ${60^ \circ }$. Tính diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
A. $\frac{{8\sqrt 2 }}{3}{a^2}$. B. $\frac{{4\sqrt 2 }}{3}{a^2}$. C. $8\sqrt 2 {a^2}$. D. $4\sqrt 2 {a^2}$.
Câu 46: Bạn Nam muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $90\left( {\;cm} \right)$. Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật $MNPQ$ từ mảnh tôn nguyên liệu (với $M,N$ thuộc cạnh $BC;P$ và $Q$ tương ứng thuộc cạnh $AC$ và $AB$ ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng $MQ$. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn Nam có thể làm được là:
A. $\frac{{91125}}{{4\pi }}\left( {c{m^3}} \right)$. B. $\frac{{91125}}{{2\pi }}\left( {c{m^3}} \right)$. C. $\frac{{108000\sqrt 3 }}{\pi }\left( {c{m^3}} \right)$. D. $\frac{{13500 \cdot \sqrt 3 }}{\pi }\left( {c{m^3}} \right)$.
Câu 47: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm đa thức bậc 6 có đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right) = {\left[ {f{{(x + 1)}^3} + m} \right]^7}$ có 2 điểm cực trị?
A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. Vô số.
Câu 48: Cho hàm số đa thức bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right| = \frac{2}{9}{m^2} – \frac{1}{{81}}{m^4}$ có 8 nghiệm phân biệt?
A. 9 . B. 8 . C. 6 . D. 3 .
Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${15^x} – {5^x} – {3^x} = \frac{m}{{10}}$ có hai nghiệm thực phân biệt?
A. Vô số. B. 18 . C. 9 . D. 10 .
Câu 50: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành thỏa mãn $AB = 2a,BC = a\sqrt 2 $, $BD = a\sqrt 6 $. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$ bằng $a$.
A. $\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$. B. $\frac{{5\sqrt 3 {a^3}}}{3}$. C. $\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}$. D. $\frac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
BẢNG ĐÁP ÁN
| 1.C | 2.C | 3.C | 4.A | 5.D |
| 6.B | 7.C | 8.B | 9.D | 10.D |
| 11. B | 12.A | 13.A | 14.C | 15.D |
| 16.D | 17.B | 18.A | 19.A | 20.B |
| 21.C | 22.D | 23.A | 24.C | 25.D |
| 26.C | 27.B | 28.D | 29.B | 30.D |
| 31.D | 32.C | 33.B | 34.B | 35.D |
| 36.B | 37.A | 38.D | 39.B | 40.D |
| 41.B | 42.C | 43.A | 44.D | 45.A |
| 46.D | 47.D | 48.C | 49.C | 50.D |
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ
Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng nào
A. $\left( { – 1;1} \right)$.
B. $\left( {3; + \infty } \right)$.
C. $\left( {1;3} \right)$.
D. $\left( { – \infty ;3} \right)$.
Lời giải
Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {1;3} \right)$.
Câu 2: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.
B. Hàm số đạt cực đại tại $x = – 1$.
C. Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$.
D. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$.
Lời giải
Hàm số $f\left( x \right)$ có $f’\left( x \right)$ đổi dấu từ + sang – khi $f’\left( x \right)$ đi qua điểm $x = 1$.
Vậy hàm số $f\left( x \right)$ cực đại tại $x = 1$.
Câu 3: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ:
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. $x = – 1$.
B. $x = 0$.
C. $x = 2$.
D. $x = 4$.
Lời giải
Nhìn đồ thị ta thấy hàm số có điểm cực tiểu $x = 2$.
Câu 4:Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^2} – 4}}$
A. $x = – 2$.
B. $x = \pm 2$.
C. $y = \pm 2$.
D. $y = 1$.
Lời giải
Ta có $y = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^2} – 4}} \Rightarrow y = \frac{x}{{x + 2}}$.
Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} y = + \infty $ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} y = – \infty $ nên đường thẳng $x = – 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 5: Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số $\left( C \right):y = {x^3} + x + 5$ và đường thẳng $\left( d \right):y = – 2x + 1$ là
A. $\left( {1; – 1} \right)$.
B. $\left( {0;1} \right)$.
C. $\left( {0;5} \right)$.
D. $\left( { – 1;3} \right)$.
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm ${x^3} + x + 5 = – 2x + 1$
$ \Leftrightarrow {x^3} + 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = – 1 \Rightarrow y = 3$.
Câu 6: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A. $y = – {x^4} + 2{x^2} – 1$.
B. $y = {x^4} – 2{x^2} – 1$.
C. $y = {x^3} – 3{x^2} – 1$.
D. $y = – {x^3} + 3{x^2} – 1$.
Lời giải
Dựa vào đồ thị có ba điểm cực trị, nhận thấy đây là đồ thị của hàm đa thức bậc bốn nên loại phương án ${\mathbf{C}}$ và ${\mathbf{D}}$.
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $ nên hệ số $a > 0$
Câu 7: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng đường cong trong hình vẽ bên dưới?
A. $y = {x^3} – 3x + 2$.
B. $y = \frac{{x + 2}}{{x – 1}}$.
C. $y = \frac{{x – 2}}{{x – 1}}$.
D. $y = – {x^4} + 5{x^2} – 4$.
Lời giải
Hàm số trên có dạng $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ nên loại $A,D$.
Ta có $y\left( 0 \right) = 2$ nên loại $B$.
Câu 8: Hàm số nào dưới đây có dạng đồ thị như đường cong trong hình vẽ bên?
A. $y = – {x^3} + {x^2} – 1$.
B. $y = {x^4} – {x^2} – 1$.
C. $y = {x^3} – {x^2} – 1$.
D. $y = – {x^4} + {x^2} – 1$.
Lời giải
Dựa vào hình dáng đồ thị suy ra đồ thị là đồ thị của hàm số bậc bốn có hệ số $a > 0$.
Câu 9: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( { – \infty ; – 2} \right)$.
B. $\left( { – 4;0} \right)$.
C. $\left( {0; + \infty ;} \right)$.
D. $\left( { – 2;0} \right)$.
Lời giải
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { – 2;0} \right)$.
Câu 10: Biểu thức $\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}$ viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
A. ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{5}{{18}}}}$.
B. ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{12}}}}$.
C. ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{7}{6}}}$.
D. ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}$.
Lời giải
Ta có $\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}} = {\left( {\frac{2}{3} \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{3}}} \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{6}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} $
$= {\left( {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}$
Câu 11: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của $f’\left( x \right)$ như sau:
Số điểm cực đại của hàm số $y = f\left( x \right)$ là
A. 0 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại $x = – 2$ nên hàm số đã cho có 1 điểm cực đại.
Câu 12: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A. $y = {(\sqrt 2 )^x}$.
B. $y = {(0,5)^x}$.
C. $y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x}$.
D. $y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}$.
Lời giải
Hàm số $y = {(\sqrt 2 )^x}$ đồng biến trên tập xác định $\mathbb{R}$ vì $\sqrt 2 > 1$.
Hàm số $y = {(0,5)^x}$ nghịch biến trên tập xác định $\mathbb{R}$ vì $0 < 0,5 < 1$.
Hàm số $y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x}$ nghịch biến trên tập xác định $\mathbb{R}$ vì $0 < \frac{e}{\pi } < 1$.
Hàm số $y = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}$ nghịch biến trên tập xác định $\mathbb{R}$ vì $0 < \frac{2}{3} < 1$.
Câu 13: Cho $a > 0,a \ne 1$, giá trị của $lo{g_{{a^3}}}a$ bằng
A. $\frac{1}{3}$.
B. $ – \frac{1}{3}$.
C. -3 .
D. 3 .
Lời giải
Ta có: $lo{g_{{a^3}}}a = \frac{1}{3}lo{g_a}a = \frac{1}{3}$.
Câu 14: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. $y = {(\sqrt 3 – 1)^x}$.
B. $y = {(\pi – e)^x}$.
C. $y = {\pi ^x}$.
D. $y = {(e – 2)^x}$.
Lời giải
Hàm số $y = {a^x}$ với $a > 0,a \ne 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a > 1$.
Ta có $\pi > 1$ nên hàm số $y = {\pi ^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Câu 15: Tính đạo hàm của hàm số $y = lo{g_2}\left( {2x + 1} \right)$.
A. $y’ = \frac{1}{{2x + 1}}$.
B. $y’ = \frac{2}{{2x + 1}}$.
C. $y’ = \frac{1}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}}$.
D. $y’ = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}}$.
Lời giải
Tập xác định của hàm số $D = \left( { – \frac{1}{2}; + \infty } \right)$.
Xét hàm số $y = lo{g_2}\left( {2x + 1} \right)$.
Ta có: $y’ = {\left( {lo{g_2}\left( {2x + 1} \right)} \right)’} = \frac{{{{(2x + 1)}’}}}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}} = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)ln2}}$.
Câu 16: Tập nghiệm của phương trình $lo{g_{2024}}\left( {x – 1} \right) = lo{g_{2024}}\left( {2x + 1} \right)$ là
A. $\left\{ { – 2;\frac{1}{2}} \right\}$.
B. $\left\{ 2 \right\}$.
C. $\left\{ { – 2} \right\}$.
D. $\emptyset $.
Lời giải
Ta có phương trình đã cho $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 = 2x + 1} \\
{x > 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2} \\
{x > 1}
\end{array}} \right.} \right.$
Hệ phương trình trên vô nghiệm nên ta chọn ${\mathbf{D}}$.
Câu 17: Nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{4x}} \leqslant {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x – 2}}$ là
A. $x \leqslant \frac{2}{5}$.
B. $x \geqslant – \frac{2}{3}$.
C. $x \geqslant \frac{2}{5}$.
D. $x \leqslant \frac{2}{3}$.
Lời giải
Ta có: ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{4x}} \leqslant {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x – 2}} \Leftrightarrow 4x \geqslant x – 2 \Leftrightarrow x \geqslant – \frac{2}{3}$.
Câu 18: Các giá trị $x$ thỏa mãn bất phương trình $lo{g_2}\left( {3x – 1} \right) > 3$ là
A. $x > 3$.
B. $\frac{1}{3} < x < 3$.
C. $x < 3$.
D. $x > \frac{{10}}{3}$.
Lời giải
Ta có $lo{g_2}\left( {3x – 1} \right) > 3 \Leftrightarrow 3x – 1 > 8 \Leftrightarrow x > 3$.
Câu 19: Vật thể nào dưới đây không phải là khối đa diện?
A. Hình 3 .
B. Hình 1.
C. Hình 4.
D. Hình 2.
Lời giải
Vật thể cho bởi hình $1,2,4$ là các khối đa diện.
Vật thể cho bởi hình 3 không phải khối đa diện, vi phạm điều kiện mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Câu 20: Khối đa diện đều loại $\left\{ {5;3} \right\}$ có số mặt là bao nhiêu?
A. 14 .
B. 12 .
C. 10 .
D. 8 .
Lời giải
Khối đa diện đều loại $\left\{ {5;3} \right\}$ là khối 12 mặt đều.
Câu 21: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),\vartriangle ABC$ vuông cân tại $A,SA = AB = 2$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ là.
A. $\frac{2}{3}$.
B. $\frac{8}{3}$.
C. $\frac{4}{3}$.
D. 4 .
Lời giải
Ta có: $\vartriangle ABC$ vuông cân tại $A$ nên $AB = AC = 2$.
Mặt khác: ${S_{\vartriangle ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = 2\left( {dvdt} \right)$.
Suy ra: ${V_{S \cdot ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{\vartriangle ABC}} = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{4}{3}\left( {dvtt} \right)$.
Câu 22: Cho một khối chóp có diện tích đáy là $B$ và chiều cao là $h$. Khi đó thể tích $V$ của khối chóp đó là
A. $V = Bh$.
B. $V = 3Bh$.
C. $V = B{h^3}$.
D. $V = \frac{1}{3}Bh$.
Lời giải
Thể tích $V$ của khối chóp đó là: $V = \frac{1}{3}Bh$
Câu 23: Tính thể tích khối hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ biết $AB = 6\;cm,BC = 8\;cm,AA’ = 10\;cm$.
A. $480\;c{m^3}$.
B. $48\;c{m^3}$.
C. $160\;c{m^3}$.
D. $1440\;c{m^3}$.
Lời giải
Gọi $V$ là thể tích khối hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$.
Ta có $V = AB \cdot BC \cdot AA’ = 6 \cdot 8 \cdot 10 = 480\left( {\;c{m^3}} \right)$.
Câu 24: Cho khối nón có bán kính đáy $r = \sqrt 3 $ và chiều cao $h = 4$. Tính thể tích $V$ của khối nón đã cho.
A. $V = 16\pi \sqrt 3 $.
B. $V = 12\pi $.
C. $V = 4\pi $.
D. $V = 4$.
Lời giải
$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot {r^2} \cdot h = 4\pi $.
Câu 25: Một khối lăng trụ có chiều cao $3a$, diện tích đáy $2{a^2}$ thì có thể tích bằng
A. $2{a^3}$.
B. ${a^3}$.
C. $18{a^3}$.
D. $6{a^3}$.
Lời giải
Thể tích của khối lăng trụ là: $V = S \cdot h = 2{a^2} \cdot 3a = 6{a^2}$.
Câu 26: Cho hàm số $y = \frac{{2x – 1}}{{x – 2}}$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ;2} \right)$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.
D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ 2 \right\}$.
Ta có: $y’ = \frac{{ – 3}}{{{{(x – 2)}^2}}} < 0,\forall x \in D$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.
Câu 27: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = 2x – 1,\forall x \in \mathbb{R}$. Hỏi hàm số $f\left( x \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 .
B. 1 .
C. 0 .
D. 2 .
Lời giải
Ta có $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$, dễ thấy $f’\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ và $f’\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { – \infty ;\frac{1}{2}} \right)$ nên hàm số có 1 điểm cực trị.
Câu 28: Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = {x^4} – {x^2} + 13$ trên đoạn $\left[ { – 2;3} \right]$.
A. $m = 13$.
B. $m = 25$.
C. $m = 85$.
D. $m = \frac{{51}}{4}$.
Lời giải
Ta có: $y’ = 4{x^3} – 2x;y’ = 0$$ \Leftrightarrow 2x\left( {2{x^2} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \\
{x = \frac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}}
\end{array}} \right.$
$f\left( { – 2} \right) = 25;f\left( { – \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{51}}{4};$$f\left( 0 \right) = 13;f\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{{51}}{4};f\left( 3 \right) = 85$
Giá trị nhỏ nhất của hàm số hàm số $y = {x^4} – {x^2} + 13$ trên đoạn $\left[ { – 2;3} \right]$ là: $m = min\left\{ {f\left( { – 2} \right);f\left( { – \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right);f\left( 0 \right);f\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right);f\left( 3 \right)} \right\} = \frac{{51}}{4}$
Câu 29: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {4{x^2} – 1} + 3{x^2} + 2}}{{2{x^2} – 2x}}$ là:
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .
Lời giải
Tập xác định: $D = \left( { – \infty ; – \frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2};1} \right) \cup (1; + \infty )$
Tiệm cận đứng:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {4{x^2} – 1} + 3{x^2} + 2}}{{2x(x – 1)}} = + \infty $
( Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {4{x^2} – 1} + 3{x^2} + 2} \right) = 5 + \sqrt 3 > 0;$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (2x(x – 1)) = 0;2x(x – 1) > 0,\forall x > 1$ )
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{\sqrt {4{x^2} – 1} + 3{x^2} + 2}}{{2x(x – 1)}} = – \infty $
( Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \left( {\sqrt {4{x^2} – 1} + 3{x^2} + 2} \right) = 5 + \sqrt 3 > 0;$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} (2x(x – 1)) = 0;2x(x – 1) < 0,\forall x:0 < x < 1$ )
Suy ra đường thẳng $x = 1$ là đường tiệm cận đứng.
Câu 30: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như vẽ. Số nghiệm của phương trình $2\left| {f\left( x \right)} \right| – 3 = 0$ là:
A. 5 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 6 .
Lời giải
Ta có: $2\left| {f\left( x \right)} \right| – 3 = 0 \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = \frac{3}{2}} \\
{f\left( x \right) = – \frac{3}{2}}
\end{array}} \right.$
Dựa vào đồ thị ta có:
Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = \frac{3}{2}$ là 3
Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = – \frac{3}{2}$ là 3
Vậy số nghiệm của phương trình $2\left| {f\left( x \right)} \right| – 3 = 0$ là 6
Câu 31: Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $ad < 0$.
B. $cd < 0$.
C. $bd > 0$.
D. $ac > 0$.
Từ đồ thị ta thấy
Lời giải
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty $ nên $a > 0$.
Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d>0.
Vì ${x_{CD}};{x_{CT}} > 0$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_{CD}} + {x_{CT}} = – \frac{{2b}}{{3a}} > 0} \\
{{x_{CD}} \cdot {x_{CT}} = \frac{c}{{3a}} > 0}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b < 0} \\
{c > 0}
\end{array}} \right.$.
Vậy $ac > 0$.
Câu 32: Cho $lo{g_2}3 = a,lo{g_2}5 = b$ Khi đó $lo{g_6}225$ được biểu diễn theo $a,b$ là đáp án nào sau đây?
A. $\frac{{ab + b}}{{1 + 3a}}$.
B. $\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{1 + a}}$.
C. $\frac{{2a + 2b}}{{1 + a}}$.
D. $\frac{{a + b}}{{1 + 2a}}$.
Lời giải
Ta có: $lo{g_6}225 = \frac{{lo{g_2}225}}{{lo{g_2}6}} = \frac{{lo{g_2}\left( {{3^2} \cdot {5^2}} \right)}}{{lo{g_2}\left( {2.3} \right)}}$$ = \frac{{2lo{g_2}3 + 2lo{g_2}5}}{{1 + lo{g_2}3}} = \frac{{2a + 2b}}{{1 + a}}$
Câu 33: Số nghiệm của phương trình $lo{g_2}x + lo{g_2}\left( {x – 6} \right) = lo{g_2}7$
A. 0 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{x – 6 > 0}
\end{array} \Leftrightarrow x > 6} \right.$
Phương trình đã cho tương đương $lo{g_2}\left[ {x.\left( {x – 6} \right)} \right] = lo{g_2}7 \Leftrightarrow {x^2} – 6x – 7 = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1\left( {\;loai\;} \right)} \\
{x = 7}
\end{array}} \right.$
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Câu 34: Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{4}{5}} \right)^{4x}} \leqslant {\left( {\frac{5}{4}} \right)^{2 – x}}$ là:
A. $\left( { – \infty ;\frac{2}{3}} \right)$.
B. $\left( { – \frac{2}{3}; + \infty } \right)$.
C. $\left( { – \infty ;\frac{2}{5}} \right)$.
D. $\left( {\frac{2}{5}; + \infty } \right)$.
Lời giải
Ta có ${\left( {\frac{4}{5}} \right)^{4x}} \leqslant {\left( {\frac{5}{4}} \right)^{2 – x}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{4}} \right)^{ – 4x}} \leqslant {\left( {\frac{5}{4}} \right)^{2 – x}}$$ \Leftrightarrow – 4x \leqslant 2 – x \Leftrightarrow x \geqslant – \frac{2}{3}$.
Câu 35: Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, biết cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa cạnh bên $SD$ và mặt phẳng đáy bằng ${60^ \circ }$.
A. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$.
B. ${a^3}\sqrt 3 $.
C. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}$.
D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.
Lời giải
Ta có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên hình chiếu của $SD$ lên $\left( {ABCD} \right)$ là $AD$.
Vậy $\overline {\left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \overline {\left( {SD,AD} \right)} = \widehat {SDA} = {60^ \circ }$.
Theo giả thiết, $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên diện tích của $ABCD$ là ${S_{ABCD}} = {a^2}$.
Mặt khác, do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot AD$ hay tam giác $SAD$ vuông tại $A$.
$ \Rightarrow SA = AD \cdot tan\widehat {SDA} = a\sqrt 3 $.
Vậy thể tích của khối chóp $S \cdot ABCD$ là $V = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.
Câu 36: Cho lăng trụ đứng tam giác $ABC \cdot A’B’C’$. Tính thể tích $V$ của hình lăng trụ này biết tam giác $ABC$ vuông cân tại $A,AB = a$, góc giữa $mp\left( {ABC} \right)$ và $mp\left( {A’BC} \right)$ bằng ${60^ \circ }$.
A. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{36}}$.
B. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$.
C. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$.
D. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$.
Lời giải
Góc giữa $mp\left( {ABC} \right)$ và $mp\left( {A’BC} \right)$ là $\widehat {A’MA}$ ( $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $\left. {BC} \right)$.
Ta có $AB = a \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \Rightarrow AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.
Lại có $tan\widehat {A’MA} = \frac{{A’A}}{{AM}} \Rightarrow tan{60^ \circ } = \frac{{A’A}}{{AM}} \Rightarrow A’A = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
Vậy $V = {S_{\vartriangle ABC}} \cdot A’A = \frac{1}{2}{a^2} \cdot \frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}$.
Câu 37: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt 6 $. Thể tích $V$ của khối nón đó bằng?
A. $V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}$.
B. $V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{3}$.
C. $V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{6}$.
D. $V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{2}$.
Lời giải
Theo đề ta có $AB = a\sqrt 6 $.
Ngoài ra $\vartriangle SAB$ vuông cân tại $S$ nên $SH = AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.
Thể tích khối nón là $V = \frac{1}{3}SH \cdot \pi \cdot A{H^2} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 6 }}{2} \cdot \pi \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi \sqrt 6 }}{4}{a^3}$.
Câu 38: Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có cạnh $4a$. Thể tích của khối trụ này bằng
A. $32\pi {a^3}$.
B. $8\pi {a^3}$.
C. $4\pi {a^3}$.
D. $16\pi {a^3}$.
Lời giải
Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông $ABB’A’$ có cạnh $4a$ nên ta có chiều cao hình trụ là $h = OO’ = 4a$ và bán kính đáy $r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{4a}}{2} = 2a$.
Thể tích của khối trụ ${V_{ktru}} = h\pi {R^2} = 4a\pi \cdot 4{a^2} = 16\pi {a^3}$.
Câu 39: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = – {x^3} + 6\left( {m + 2} \right){x^2} – m + 1$ đồng biến trên $\left( { – 2; – 1} \right)$.
A. $m \in \left( { – \infty ;\frac{{ – 5}}{2}} \right)$.
B. $m \in \left( { – \infty ;\frac{{ – 5}}{2}} \right]$.
C. $m \in \left[ {\frac{5}{2}; + \infty } \right)$.
D. $m \in \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)$.
Lời giải
Ta có: $y’ = – 3{x^2} + 12\left( {m + 2} \right)x$.
Hàm số $y = – {x^3} + 6\left( {m + 2} \right){x^2} – m + 1$ đồng biến trên $\left( { – 2; – 1} \right)$ khi và chỉ khi:
$y’ = – 3{x^2} + 12\left( {m + 2} \right)x \geqslant 0,\forall x \in \left( { – 2; – 1} \right)$$ \Leftrightarrow – {x^2} + 4mx + 8x \geqslant 0,\forall x \in \left( { – 2; – 1} \right)$
$ \Leftrightarrow 4mx \geqslant {x^2} – 8x,\forall x \in \left( { – 2; – 1} \right)$$ \Leftrightarrow m \leqslant \frac{x}{4} – 2,\forall x \in \left( { – 2; – 1} \right) \Leftrightarrow m \leqslant \frac{{ – 2}}{4} – 2 = \frac{{ – 5}}{2}$.
Câu 40: Tính tổng bình phương tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} + 2x – 3}}$ có đúng một tiệm cận đứng.
A. 10 .
B. 9 .
C. 81 .
D. 82 .
Lời giải
Ta có: $y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} + 2x – 3}} = \frac{{{x^2} + m}}{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}$.
Nhận xét: Đồ thì hàm số nếu có tiệm cận đứng chỉ có thể có nhận đường thẳng $x = 1$ hoặc $x = – 3$ hoặc cả hai đường thẳng đó.
Vậy đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng nếu ${x^2} + m = 0$ nhận nghiệm $x = 1$ hoặc $x = – 3$.
Khi đó: $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = – 1} \\
{m = – 9}
\end{array}} \right.$.
Với $m = – 1$ có một tiệm cận đứng $x = – 3$.
Với $m = – 9$ có một tiệm cận đứng $x = 1$.
Vậy $m \in \left\{ { – 1; – 9} \right\}$. Vậy giá trị cần tìm là $81 + 1 = 82$
Câu 41: Cho phương trình $m \cdot {25^x} – 2\left( {m – 3} \right) \cdot {5^x} + m – 5 = 0$ (1). Tập hợp tất cả các giá trị dương của $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt là một khoảng $\left( {a;b} \right)$. Khi đó, giá trị của $Q = 2b – a$ bằng
A. $Q = – 1$.
B. $Q = 13$.
C. $Q = 16$.
D. $Q = 1$.
Lời giải
Đặt $t = {5^x}(t > 0)$, khi đó phương trình (1) trở thành: $m \cdot {t^2} – 2\left( {m – 3} \right)t + m – 5 = 0$
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left( * \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a \ne 0} \\
{\Delta ‘ > 0} \\
{S > 0} \\
{P > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 0} \\
{ – m + 9 > 0} \\
{\frac{{2\left( {m – 3} \right)}}{m} > 0} \\
{\frac{{m – 5}}{m} > 0}
\end{array}} \right.} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 0} \\
{m < 9} \\
{m < 0\,hay\,m > 3} \\
{m < 0\,hay\,m > 5}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < 0} \\
{5 < m < 9}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy tập hợp các giá trị dương của $m$ để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là $\left( {5;9} \right)$ $ \Rightarrow a = 5;b = 9 \Rightarrow 2b – a = 13$.
Câu 42: Bất phương trình $\left( {{x^2} – 4\left( {x – 1} \right)} \right)lo{g_{\frac{1}{e}}}\left( { – {x^2} + 4x + 1} \right) < 0$ có tổng tất cả các nghiệm nguyên là?
A. 6 .
B. 8 .
C. 4 .
D. 10 .
Lời giải
Ta có: $\left( {{x^2} – 4\left( {x – 1} \right)} \right)lo{g_{\frac{1}{e}}}\left( { – {x^2} + 4x + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow {(x – 2)^2}lo{g_{\frac{1}{e}}}\left( { – {x^2} + 4x + 1} \right) < 0$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – 2 \ne 0} \\
{lo{g_{\frac{1}{e}}}\left( { – {x^2} + 4x + 1} \right) < 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 2} \\
{ – {x^2} + 4x + 1 > 1}
\end{array}} \right.} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 2} \\
{ – {x^2} + 4x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \ne 2} \\
{0 < x < 4}
\end{array}} \right.} \right.$.
Vì $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;3} \right\}$. Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên bằng 4 .
Câu 43: Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho một công ty với mức lương khởi điểm của mỗi tháng trong ba năm đầu tiên là 9 triệu đồng/ tháng. Tính từ ngày đầu làm việc, cứ sau đúng ba năm liên tiếp thì tăng lương $10\% $ so với mức lương một tháng người đó đang hưởng. Nếu tính theo hợp đồng thì tháng đầu tiên của năm thứ 19 người đó nhận được mức lương là bao nhiêu?
A. $9 \cdot 1,{1^6}$ (triệu đồng).
B. $9.1,{1^8}$ (triệu đồng).
C. 9.1,15 (triệu đồng).
D. 9.1,17 (triệu đồng).
Lời giải
Sau 3 năm, bắt đầu từ tháng đầu tiên của năm thứ 4 số tiền lương người đó nhận được sau mỗi tháng là $9 + 9.10\% = 9.1,1$ (triệu đồng).
Sau 6 năm ( 2.3 năm), bắt đầu từ tháng đầu tiên của năm thứ 7 số tiền lương người đó nhận được sau mỗi tháng là 9.1,1 +9.1,1.10% =9.1,1. $\left( {1 + 10\% } \right) = 9 \cdot 1,{1^2}$ (triệu đồng).
Tương tự như vậy sau 18 năm ( 6.3 năm), bắt đầu từ tháng đầu tiên của năm thứ 19 số tiền người đó nhận được sau mỗi tháng là 9.1,16 (triệu đồng).
Vậy tháng đầu tiên của năm thứ 19 , người đó nhận được mức lương là 9.1,1 ${\;^6}$ (triệu đồng).
Câu 44: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân ở $B,AC = a\sqrt 2 ,SA \bot \left( {ABC} \right)$, $SA = a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SBC,mp\left( \alpha \right)$ đi qua $AG$ và song song với $BC$ chia khối chóp thành hai phần. Gọi $V$ là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh $S$. Tính $V$.
A. $\frac{{4{a^3}}}{9}$
B. $\frac{{4{a^3}}}{{27}}$
C. $\frac{{2{a^3}}}{9}$
D. $\frac{{5{a^3}}}{{54}}$
Lời giải
Trong mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$. Qua $G$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ và lần lượt cắt $SC,SB$ tại $E,F$. Khi đó ta được khối đa diện không chứa đỉnh $S$ là $ABCEF$.
Ta có $G$ là trọng tâm của tam giác $SBC$ nên $\frac{{{V_{S \cdot AFE}}}}{{{V_{S \cdot ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}} \cdot \frac{{SF}}{{SB}} \cdot \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$.
Do đó ${V_{S.AFE}} = \frac{4}{9} \cdot {V_{S.ABC}} \Rightarrow {V_{ABCEF}} = {V_{S.ABC}} – \frac{4}{9} \cdot {V_{S.ABC}} = \frac{5}{9} \cdot {V_{S.ABC}}$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân ở $B,AC = a\sqrt 2 $ nên $AB = BC = a$.
Mặt khác ${V_{S \cdot ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}a \cdot a \cdot a = \frac{{{a^3}}}{6}$.
Suy ra ${V_{ABCEF}} = \frac{5}{9} \cdot \frac{{{a^3}}}{6} = \frac{{5{a^3}}}{{54}}$.
Câu 45: Cho hình nón có chiều cao và bán kính hình tròn đáy đều bằng $2a$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua đỉnh và tạo với đáy của hình nón một góc ${60^ \circ }$. Tính diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.
A. $\frac{{8\sqrt 2 }}{3}{a^2}$.
B. $\frac{{4\sqrt 2 }}{3}{a^2}$.
C. $8\sqrt 2 {a^2}$.
D. $4\sqrt 2 {a^2}$.
Lời giải
Gọi $O$ là tâm hình tròn đáy, thiết diện qua trục là tam giác $SAB$ như hình vẽ.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$.
Ta có $OH \bot AB$ và $SH \bot AB$ nên góc giữa $\left( \alpha \right)$ và mặt đáy của hình nón là $\widehat {SHO} = {60^ \circ }$.
$tan\widehat {SHO} = \frac{{SO}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{SO}}{{tan{{60}^ \circ }}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}a$.
$sin\widehat {SHO} = \frac{{SO}}{{SH}} \Rightarrow SH = \frac{{SO}}{{sin{{60}^ \circ }}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}a$.
$AB = 2HB = 2\sqrt {O{B^2} – O{H^2}} = 2\sqrt {4{a^2} – \frac{{4{a^2}}}{3}} = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}a$.
${S_{\vartriangle SAB}} = \frac{1}{2}SH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{4\sqrt 3 }}{3}a \cdot \frac{{4\sqrt 6 }}{3}a = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}{a^2}$.
Câu 46: Bạn Nam muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $90\left( {\;cm} \right)$. Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật $MNPQ$ từ mảnh tôn nguyên liệu (với $M,N$ thuộc cạnh $BC;P$ và $Q$ tương ứng thuộc cạnh $AC$ và $AB$ ) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng $MQ$. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn Nam có thể làm được là:
A. $\frac{{91125}}{{4\pi }}\left( {c{m^3}} \right)$.
B. $\frac{{91125}}{{2\pi }}\left( {c{m^3}} \right)$.
C. $\frac{{108000\sqrt 3 }}{\pi }\left( {c{m^3}} \right)$.
D. $\frac{{13500 \cdot \sqrt 3 }}{\pi }\left( {c{m^3}} \right)$.
Lời giải
Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Suy ra $I$ là trung điểm $MN$.
Đặt $MN = x(0 < x < 90);$$ \Rightarrow \frac{{MQ}}{{AI}} = \frac{{BM}}{{BI}} \Rightarrow MQ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {90 – x} \right)$.
Gọi R là bán kính của trụ $ \Rightarrow R = \frac{x}{{2\pi }}$$ \Rightarrow {V_T} = \pi {\left( {\frac{x}{{2\pi }}} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {90 – x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{{8\pi }}\left( { – {x^3} + 90{x^2}} \right)$.
Xét $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{{8\pi }}\left( { – {x^3} + 90{x^2}} \right)$ với $0 < x < 90$.
Khi đó: $\mathop {max}\limits_{x \in \left( {0;90} \right)} f\left( x \right) = \frac{{13500 \cdot \sqrt 3 }}{\pi }$ khi $x = 60$.
Câu 47: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ là hàm đa thức bậc 6 có đồ thị hàm số $y = f’\left( x \right)$ như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right) = {\left[ {f{{(x + 1)}^3} + m} \right]^7}$ có 2 điểm cực trị?
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. Vô số.
Lời giải
Ta có $g\left( x \right) = {\left[ {f{{(x + 1)}^3} + m} \right]^7} \Rightarrow g’\left( x \right) = 21 \cdot {\left[ {f{{(x + 1)}^3} + m} \right]^6} \cdot f{(x + 1)^2} \cdot f’\left( {x + 1} \right)$
Ta có ${\left[ {f{{(x + 1)}^3} + m} \right]^6} \cdot f{(x + 1)^2} \geqslant 0$ nên dấu của $g’\left( x \right)$ phụ thuộc vào dấu $f’\left( {x + 1} \right)$.
Hàm số $f’\left( x \right)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt là $x = 1,x = 2$ (và đổi dấu khi $x$ đi qua hai điểm đó) nên hàm số $y = f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị, số điểm cực trị hàm $f\left( {x + 1} \right)$ bằng số điểm cực trị hàm $f\left( x \right)$ nên $g\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị với mọi $m$.
Vậy với mọi $m$ hàm số $g\left( x \right)$ đều có 2 điểm cực trị.
Câu 48: Cho hàm số đa thức bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right| = \frac{2}{9}{m^2} – \frac{1}{{81}}{m^4}$ có 8 nghiệm phân biệt?
A. 9 .
B. 8 .
C. 6 .
D. 3 .
Lời giải
Từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ ta suy ra đồ thị hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ như sau
Từ đồ thị hàm số $y = f\left( {\left| x \right|} \right)$ ta suy ra đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|$ như sau
Phương trình $\left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right| = \frac{2}{9}{m^2} – \frac{1}{{81}}{m^4}$ có 8 nghiệm phân biệt khi chỉ khi $0 < \frac{2}{9}{m^2} – \frac{1}{{81}}{m^4} < 1 \Leftrightarrow 0 < 18{m^2} – {m^4} < 81$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^4} – 18{m^2} + 81 > 0} \\
{{m^4} – 18{m^2} < 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {{m^2} – 9} \right)}^2} > 0} \\
{{m^2}\left( {{m^2} – 18} \right) < 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne \pm 3} \\
{m \ne 0} \\
{ – 3\sqrt 2 < m < 3\sqrt 2 }
\end{array}} \right.} \right.$
Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { – 4; – 2; – 1;1;2;4} \right\}$.
Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${15^x} – {5^x} – {3^x} = \frac{m}{{10}}$ có hai nghiệm thực phân biệt?
A. Vô số.
B. 18 .
C. 9 .
D. 10 .
Lời giải
Ta có: ${15^x} – {5^x} – {3^x} = \frac{m}{{10}} \Leftrightarrow \left( {{5^x} – 1} \right)\left( {{3^x} – 1} \right) = \frac{m}{{10}} + 1$.
Xét hàm số $f\left( x \right) = \left( {{5^x} – 1} \right)\left( {{3^x} – 1} \right)$ trên $\mathbb{R}$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = \left( {{3^x} – 1} \right){5^x}ln5 + \left( {{5^x} – 1} \right){3^x}ln3$.
Nếu $x > 0 \Rightarrow f’\left( x \right) > 0$
Nếu $x < 0 \Rightarrow f’\left( x \right) < 0$
Nếu $x = 0 \Rightarrow f’\left( x \right) = 0$
Bảng biến thiên:
Do đó phương trình ${15^x} – {5^x} – {3^x} = \frac{m}{{10}}$ có hai nghiệm thực phân biệt
$ \Leftrightarrow $ Phương trình $f\left( x \right) = \frac{m}{{10}} + 1$ có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow 0 < \frac{m}{{10}} + 1 < 1 \Leftrightarrow – 10 < m < 0$.
Do $m$ nguyên nên $m \in \left\{ { – 9; – 8; \ldots ; – 1} \right\}$.
Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 50: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành thỏa mãn $AB = 2a,BC = a\sqrt 2 $, $BD = a\sqrt 6 $. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$ bằng $a$.
A. $\frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.
B. $\frac{{5\sqrt 3 {a^3}}}{3}$.
C. $\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}$.
D. $\frac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}$.
Lời giải
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right),M$ là trung điểm của $CD$ và $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Do $AO$ là trung tuyến của tam giác $ABD$ nên:
$A{O^2} = \frac{{A{B^2} + A{D^2}}}{2} – \frac{{B{D^2}}}{4} = \frac{{3{a^2}}}{2}$$ \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow AH = AO + \frac{{AO}}{3} = \frac{{2\sqrt 6 a}}{3}$.
$B{M^2} = \frac{{B{D^2} + B{C^2}}}{2} – \frac{{C{D^2}}}{4} = \frac{{6{a^2} + 2{a^2}}}{2} – \frac{{4{a^2}}}{4} = 3{a^2}$
$ \Rightarrow BM = a\sqrt 3 \Rightarrow BH = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3}$.
Ta có $A{H^2} + B{H^2} = 4{a^2} = A{B^2} \Rightarrow AH \bot BH$ kết hợp với $AH \bot SH \Rightarrow AH \bot \left( {SHB} \right)$.
Kẻ $HK \bot SB\left( {K \in SB} \right)$, theo chứng minh trên ta được $AH \bot \left( {SHB} \right) \Rightarrow AH \bot HK \Rightarrow HK$ là đoạn vuông góc chung của $AC$ và $SB$, suy ra $HK = a$.
Trong tam giác vuông $SHB$ ta có: $\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} \Rightarrow SH = a$.
${V_{S \cdot ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot 4{S_{OAB}}$$ = \frac{4}{3} \cdot SH \cdot OA \cdot BH = \frac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}$
