Các dạng trả lời ngắn ứng dụng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Chú ý: Hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ quay quanh trục $Ox$ tạo thành một khối tròn xoay có thể tích là $V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f(x)} \right]}^2}dx} $
Câu 1. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ xác định bởi các đường $y = x$, $y = 0$, $x = 1$ và $x = 5$ quanh trục $Ox$. Biết $V = \frac{{a\pi }}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ là :
$V = \pi \int\limits_1^5 {{x^2}dx} = \pi \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^5 = \frac{{124\pi }}{3}$.
Vậy $a + b = 124 + 3 = 127$.
Câu 2. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ xác định bởi các đường $y = {e^{\frac{x}{2}}}$, $y = 0$, $x = \ln \frac{1}{3}$ và $x = \ln \frac{4}{7}$ quanh trục $Ox$. Biết $V = \frac{{a\pi }}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ là :
$V = \pi \int\limits_{\ln \frac{1}{3}}^{\ln \frac{4}{7}} {{{\left( {{e^{\frac{x}{2}}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_{\ln \frac{1}{3}}^{\ln \frac{4}{7}} {{e^x}dx} = \pi \left. {{e^x}} \right|_{\ln \frac{1}{3}}^{\ln \frac{4}{7}}$
$ = \pi \left( {{e^{\ln \frac{4}{7}}} – {e^{\ln \frac{1}{3}}}} \right) = \pi \left( {\frac{4}{7} – \frac{1}{3}} \right) = \frac{{5\pi }}{{21}}$.
Vậy $a + b = 5 + 21 = 26$.
Câu 3. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ xác định bởi các đường $y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2}$, $y = 0$, $x = 0$ và $x = 3$ quanh trục $Ox$. Biết $V = \frac{{a\pi }}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ là :
$V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\frac{1}{3}{x^3} – {x^2}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^3 {\left( {\frac{1}{9}{x^6} – \frac{2}{3}{x^5} + {x^4}} \right)dx} = \frac{{81\pi }}{{35}}$.
Vậy $a + b = 81 + 35 = 116$.
Câu 4. Gọi $V$ là thể tích của vật thể tạo nên khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng $D$ giới hạn bởi đồ thị$\left( P \right):y = 2x – {x^2}$ , trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0,x = 2$. Biết $V = \frac{{a\pi }}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Khi đó:
$V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x – {x^2}} \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_0^2 {\left( {4{x^2} – 4{x^3} + {x^4}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {\frac{4}{3}{x^3} – {x^4} + \frac{1}{5}{x^5}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16}}{{15}}\pi $.
Vậy $a + b = 16 + 15 = 31$.
Câu 5. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \tan x,y = 0,x = 0,x = \frac{\pi }{4}$ quay xung quanh trục $Ox$. Biết $V = \frac{{a\pi – {\pi ^2}}}{b}$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra là
$V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}x.dx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{co{s^2}x}} – 1} \right)} .dx = \left. {\pi \left( {\tan x – x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{4\pi – {\pi ^2}}}{4}$.
Vậy $a + b = 4 + 4 = 8$.
Câu 6. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành do quay xung quanh trục hoành một elip có phương trình $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Biết $V = \frac{{a\pi }}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 – \frac{{{x^2}}}{{25}}$
$ \Leftrightarrow {y^2} = 16\left( {1 – \frac{{{x^2}}}{{25}}} \right) \Rightarrow y = \pm 4\sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{{25}}} $
Quay elip đã cho xung quanh trục hoành chính là quay hình phẳng:
$H = \left\{ {y = 4\sqrt {1 – \frac{{{x^2}}}{{25}}} ,\,y = 0,\,x = – 5,\,x = 5} \right\}$.
Suy ra thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi $H$ khi quay xung quanh trục hoành là:
$V = \pi \int_{ – 5}^5 {\left( {16 – \frac{{16{x^2}}}{{25}}} \right)} dx = \pi \left( {16x – \frac{{16{x^3}}}{{75}}} \right)\left| \begin{gathered}
5 \hfill \\
– 5 \hfill \\
\end{gathered} \right. = \frac{{320\pi }}{3}$
Vậy $a + b = 320 + 3 = 323$.
Câu 7. Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được gạch chéo trong hình bên dưới.
Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi $\left( H \right)$ khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$. Biết $V = \frac{{a\pi }}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có: $V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_1^2 {{x^4}dx} = \pi \frac{{{x^5}}}{5} = \frac{{31\pi }}{5}$
Vậy $a + b = 31 + 5 = 36$.
Câu 8. Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được gạch chéo trong hình bên dưới.
Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi $\left( H \right)$ khi quay $\left( H \right)$quanh trục $Ox$. Biết $V = \frac{{a\pi }}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Phương trình đường thẳng $AB$ có dạng $y = ax + b$.
Vì $AB$ đi qua điểm $A(0;1)$ và $B(2;2)$ nên $\left\{ \begin{gathered}
1 = a.0 + b \hfill \\
2 = a.2 + b \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
b = 1 \hfill \\
a = \frac{1}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Suy ra, $y = \frac{1}{2}x + 1$.
Ta có: $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} + x + 1} \right)dx} $
$ = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{{12}} + \frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^2 = \frac{{14\pi }}{3}$
Vậy $a + b = 14 + 3 = 17$.
Câu 9. Cho hình phẳng $\left( D \right)$ được tô màu trong hình bên dưới.
Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi $\left( H \right)$ khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$. Biết $V = \pi \left( {\frac{a}{b} + \ln c} \right)$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có: $V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_1^2 {\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} $
$ = \pi \left. {\left( {x + 2\ln \left| x \right| – \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2 = \pi \left( {\frac{3}{2} + 2\ln 2} \right) = \pi \left( {\frac{3}{2} + \ln 4} \right)$
Vậy $a + b + c = 3 + 2 + 4 = 9$.
Câu 10. Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được tô màu trong hình bên dưới.
Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi $\left( H \right)$ khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$. Biết $V = \frac{\pi }{b}\left( {a – \frac{c}{e}} \right)$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có: $V = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {{e^{2x}}dx} = \frac{\pi }{2}\left. {{e^x}} \right|_{ – 1}^1 = \frac{\pi }{2}\left( {e – \frac{1}{e}} \right)$
Vậy $a + b + c = 1 + 2 + 1 = 4$.
Câu 11. Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được gạch sọc như trong hình bên dưới.
Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi $\left( H \right)$ khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$. Biết $V = \frac{{a\pi }}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có: $V = {V_1} + {V_2} = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( x \right)}^2}dx} + \pi \int\limits_1^2 {{{\left[ {{{\left( {x – 2} \right)}^2}} \right]}^2}dx} $
$ = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {x – 2} \right)}^4}dx} = \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{5} = \frac{{8\pi }}{{15}}$
Vậy $a + b = 8 + 15 = 23$.
Câu 12. Cho hình phẳng $\left( H \right)$ được gạch sọc như trong hình bên dưới.
Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi $\left( H \right)$ khi quay $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$. Biết $V = \frac{{a\pi }}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có: $V = {V_1} + {V_2} = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}dx} + \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2} – 4x + 4} \right)}^2}dx} $
$ = \pi \int\limits_0^1 {{x^6}dx} + \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2} – 4x + 4} \right)}^2}dx} = \frac{\pi }{7} + \frac{\pi }{5} = \frac{{12\pi }}{{35}}$
Vậy $a + b = 12 + 35 = 47$.
Câu 13. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x $, $y = 0$ và $x = 4$ quanh trục $Ox$. Đường thẳng $x = a\;\left( {0 < a < 4} \right)$ cắt đồ thị hàm số $y = \sqrt x $ tại $M$ (hình vẽ). Gọi ${V_1}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Biết rằng $V = 2{V_1}$. Khi đó $a$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có: $V = \pi \int\limits_0^4 {xdx = \pi } \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^4 = 8\pi $. Mà $V = 2{V_1} \Rightarrow {V_1} = 4\pi $.
Gọi $K$ là hình chiếu của $M$ trên $Ox$ $ \Rightarrow OK = a,\;KH = 4 – a,\;MK = \sqrt a $.
Khi xoay tam giác $OMH$ quanh $Ox$ ta được khối tròn xoay là sự lắp ghép của hai khối nón sinh bởi các tam giác $OMK,\,\,MHK$, hai khối nón đó có cùng mặt đáy và có tổng chiều cao là $OH = 4$ nên thể tích của khối tròn xoay đó là ${V_1} = \frac{1}{3}.\pi .4.{\left( {\sqrt a } \right)^2} = \frac{{4\pi a}}{3}$, từ đó suy ra $a = 3$.
Câu 14. Cắt một vật thể $\left( T \right)$ bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x = 0$ và $x = 2$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x\left( {0 \leqslant x \leqslant 2} \right)$ cắt vật thể đó có diện tích diện là một hình vuông có cạnh bằng $\sqrt {{x^3}} $. Tính thể tích vật thể $\left( T \right)$. Gọi $V$ là thể tích của $(T)$. Biết $V = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Diện tích thiết diện là $S\left( x \right) = \sqrt {{x^3}} .\sqrt {{x^3}} = {x^6}$.
Thể tích của vật thể $\left( T \right)$ là $V = \int\limits_0^2 {S\left( x \right)} dx = \int\limits_0^2 {{x^6}} dx = \frac{{128}}{7}$.
Vậy $a + b = 128 + 7 = 135$.
Câu 15. Cắt một vật thể $(T)$ bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x = 1\,;\,x = 3$. Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($1 \leqslant x \leqslant 3$), mặt cắt là tam giác vuông có một góc ${45^0}$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt {4 – \frac{1}{2}{x^2}} $. Gọi $V$ là thể tích của $(T)$. Biết $V = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Diện tích tam giác vuông cân là: $S(x) = \frac{1}{2}\sqrt {4 – \frac{1}{2}{x^2}} .\sqrt {4 – \frac{1}{2}{x^2}} $$ = \frac{1}{2}\left( {4 – \frac{1}{2}{x^2}} \right)$
$ \Rightarrow $ Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_1^3 {\frac{1}{2}\left( {4 – \frac{1}{2}{x^2}} \right)dx = \frac{{11}}{6}} $
Vậy $a + b = 11 + 6 = 17$.
