Các dạng ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng trong thực tiễn giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TIỄN
Câu 1. Cửa vòm lấy ánh sáng của một toà nhà được thiết kế với kích thước như Hình a. Cửa có hình dạng một parabol có đỉnh $I$ và đi qua hai điểm $A,\,B$ như Hình b. Người ta dự định lắp kính cho cửa này. Tính diện tích kính cần lắp, biết rằng người ta chỉ sử dụng một lớp kính và bỏ qua diện tích khung cửa.
Lời giải
Cửa có hình dạng một parabol $(P)$ với phương trình $y = a{x^2} + bx + c$. Parabol $(P)$ có đỉnh $I\left( {0;\frac{9}{4}} \right)$ nên $c = \frac{9}{4}$, suy ra $(P)$ : $y = a{x^2} + bx + \frac{9}{4}$.
Vì parabol $(P)$ đi qua các điểm $A\left( { – \frac{3}{2};0} \right),B\left( {\frac{3}{2};0} \right)$
nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{9}{4}a – \frac{3}{2}b = – \frac{9}{4}} \\
{\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b = – \frac{9}{4}}
\end{array}} \right.$, suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – 1} \\
{b = 0.}
\end{array}} \right.$
Do đó $(P):y = – {x^2} + \frac{9}{4}$.
Gọi $S\left( {\;{m^2}} \right)$ là diện tích kính cần lắp. Ta có $S$ bằng diện tích hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi parabol, trục hoành và các đường thẳng $x = – \frac{3}{2},x = \frac{3}{2}$.
$S = \int_{ – \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { – {x^2} + \frac{9}{4}} \right)} dx = \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_{ – \frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} = \frac{9}{2}\left( {\;{m^2}} \right)$
Vậy diện tích kính cần lắp là $\frac{9}{2}\;{m^2}$.
Câu 2. Một cái cổng có kích thước như Hình a. Vòm cổng có hình dạng một parabol có đỉnh $I(0;2)$ và đi qua điểm $B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)$ như Hình b. Tính diện tích hai cánh cửa cổng.
Lời giải
Vòm cổng có hình dạng một parabol $(P)$ với phương trình $y = a{x^2} + bx + c$ có đỉnh $I(0;2)$ và đi qua điểm $B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)$ nên ta có : $\left\{ \begin{gathered}
– \frac{b}{{2a}} = 0 \hfill \\
2 = a{.0^2} + b.0 + c \hfill \\
\frac{5}{2} = a{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + b\left( {\frac{3}{2}} \right) + c \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
b = 0 \hfill \\
c = 2 \hfill \\
\frac{5}{2} = a.\frac{9}{4} + 0.\left( {\frac{3}{2}} \right) + 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
b = 0 \hfill \\
c = 2 \hfill \\
a = – \frac{2}{{25}} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Do đó $(P):y = – \frac{2}{{25}}{x^2} + 2$.
$S = \int\limits_{ – \frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}} {\left( { – \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)} dx = \left. {\left( { – \frac{{ – 2{x^3}}}{{75}} + 2x} \right)} \right|_{ – \frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}} = \frac{{55}}{6}\left( {\;{m^2}} \right)$
Câu 3. Trường THPT X muốn làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là $2,25$mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là $3$ mét. Giá thuê mỗi mét vuông là $1500000$ đồng. Tính số tiền nhà trường phải trả.
Lời giải
Gọi phương trình parabol $\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$. Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $\left( P \right)$ có đỉnh $I \in Oy$ (như hình vẽ).
Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered}
\frac{9}{4} = c,\left( {I \in \left( P \right)} \right) \hfill \\
\frac{9}{4}a – \frac{3}{2}b + c = 0\left( {A \in \left( P \right)} \right) \hfill \\
\frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 0\left( {B \in \left( P \right)} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
c = \frac{9}{4} \hfill \\
a = – 1 \hfill \\
b = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy $\left( P \right):y = – {x^2} + \frac{9}{4}$.
Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:
$S = \int\limits_{\frac{{ – 3}}{2}}^{\frac{3}{2}} {\left( { – {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx} $$ = 2\int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( { – {x^2} + \frac{9}{4}} \right)dx} $$ = \left. {2\left( {\frac{{ – {x^3}}}{3} + \frac{9}{4}x} \right)} \right|_0^{\frac{9}{4}}$$ = \frac{9}{2}{m^2}$.
Vậy số tiền phải trả là: $\frac{9}{2}.1500000 = 6750000$ đồng.
Câu 4. Chị Minh Hiền muốn làm một cái cổng hình Parabol như hình vẽ bên dưới. Chiều cao $GH = 4m$, chiều rộng $AB = 4m$, $AC = BD = 0,9m$. Chị Minh Hiền làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật $CDEF$ tô đậm có giá là $1200000$ đồng$/{m^2}$, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là $900000$ đồng$/{m^2}$. Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên là bao nhiêu?
Lời giải
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $AB$ trùng $Ox$, $A$ trùng $O$ khi đó parabol có đỉnh $G\left( {2;4} \right)$ và đi qua gốc tọa độ.
Giả sử phương trình của parabol có dạng $y = a{x^2} + bx + c \left( {a \ne 0} \right)$.
Vì parabol có đỉnh là $G\left( {2\,;4} \right)$ và đi qua điểm $O\left( {0\,;0} \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{gathered}
c = 0 \hfill \\
– \frac{b}{{2a}} = 2 \hfill \\
a{.2^2} + b.2 + c = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 1 \hfill \\
b = 4 \hfill \\
c = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Suy ra phương trình parabol là $y = f(x) = – {x^2} + 4x$.
Diện tích của cả cổng là $S = \int\limits_0^4 {\left( { – {x^2} + 4x} \right)dx = } \left. {\left( { – \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^4 = \frac{{32}}{3}\,\,\left( {{m^2}} \right)$.
Mặt khác chiều cao $CF = DE = f\left( {0,9} \right) = 2,79(m)$; $CD = 4 – 2.0,9 = 2,2\,\,\left( m \right)$.
Diện tích hai cánh cổng là ${S_{CDEF}} = CD.CF = 6,138\,\,\left( {{m^2}} \right)$.
Diện tích phần xiên hoa là ${S_{xh}} = S – {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} – 6,14 = \frac{{6793}}{{1500}}\,\,\left( {{m^2}} \right)$.
Vậy tổng số tiền để làm cổng là $6,138.1200000 + \frac{{6793}}{{1500}}\,.900000 = 11441400$ đồng.
Câu 5. Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao $18\;m$, chiều rộng chân đế $12\;m$. Người ta căng hai sợi dây trang trí $AB$, $CD$ nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{{AB}}{{CD}}$.
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.
Phương trình Parabol có dạng $y = a.{x^2}$ $\left( P \right)$.
$\left( P \right)$ đi qua điểm có tọa độ $\left( { – 6; – 18} \right)$ suy ra: $ – 18 = a.{\left( { – 6} \right)^2} \Leftrightarrow a = – \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow \left( P \right):y = – \frac{1}{2}{x^2}$.
Từ hình vẽ ta có: $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}$.
Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng $AB:y = – \frac{1}{2}x_1^2$ là
${S_1} = 2\int\limits_0^{{x_1}} {\left[ { – \frac{1}{2}{x^2} – \left( { – \frac{1}{2}x_1^2} \right)} \right]dx} $$\left. { = 2\left( { – \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_1^2x} \right)} \right|_0^{{x_1}} = \frac{2}{3}x_1^3$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng $CD$ $y = – \frac{1}{2}x_2^2$ là
${S_2} = 2\int\limits_0^{{x_2}} {\left[ { – \frac{1}{2}{x^2} – \left( { – \frac{1}{2}x_2^2} \right)} \right]dx} $$\left. { = 2\left( { – \frac{1}{2}.\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{2}x_2^2x} \right)} \right|_0^{{x_2}} = \frac{2}{3}x_2^3$
Từ giả thiết suy ra ${S_2} = 2{S_1} \Leftrightarrow x_2^3 = 2x_1^3$$ \Leftrightarrow \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$.
Vậy $\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}$.
Câu 6. Một họa tiết hình cánh bướm như hình vẽ bên.
Phần tô đậm được đính đá với giá thành $500.000$đ/m2. Phần còn lại được tô màu với giá thành $250.000$đ/m2.
Cho $AB = 4dm;BC = 8dm$. Hỏi để trang trí $1000$ họa tiết như vậy cần số tiền bao nhiêu?
Lời giải
Vì $AB = 4dm;BC = 8dm.$$ \Rightarrow A( – 2;4),$$B(2;4),C(2; – 4),D( – 2; – 4)$.
parabol là: $y = {x^2}$ hoặc $y = – {x^2}$
Diện tích phần tô đậm là ${S_1} = 4\int\limits_0^2 {{x^2}dx = \frac{{32}}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}(d{m^2})} $
Diện tích hình chữ nhật là $S = 4.8 = 32\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}({m^2})$
Diện tích phần trắng là ${S_2} = S – {S_1} = 32 – \frac{{32}}{3} = \frac{{64}}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}(d{m^2})$
Tổng chi phí trang trí là: $T = \left( {\frac{{32}}{3}.5000 + \frac{{64}}{3}.2500} \right).1000 \approx 106666667$đ
Câu 7. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng $10$ cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết $AB = 5$cm, $OH = 4$ cm. Biết giá trang trí hoa văn $1c{m^2}$ là 50.000 đồng, tính số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó.
Lời giải
Đưa parabol vào hệ trục $Oxy$ ta tìm được phương trình là: $\left( P \right):y = – \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right):y = – \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 5$ là: $S = \int\limits_0^5 {\left( { – \frac{{16}}{{25}}{x^2} + \frac{{16}}{5}x} \right)} dx = \frac{{40}}{3}$.
Tổng diện tích phần bị khoét đi: ${S_1} = 4S = \frac{{160}}{3}$ $c{m^2}$.
Diện tích của hình vuông là: ${S_{hv}} = 100 c{m^2}$.
diện tích bề mặt hoa văn là: ${S_2} = {S_{hv}} – {S_1} = 100 – \frac{{160}}{3} = \frac{{140}}{3} c{m^2}$.
Vậy số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó là: $\frac{{140}}{3}.50000 \approx 2333333$ đồng
Câu 8. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $40cm$. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới).
Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng bao nhiêu?
Lời giải
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng $10cm = 1dm$), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình $y = \frac{{{x^2}}}{2}$, $y = – \frac{{{x^2}}}{2}$,$x = – \frac{{{y^2}}}{2}$,$x = \frac{{{y^2}}}{2}$.
Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số$y = \frac{{{x^2}}}{2}$,$y = \sqrt {2x} $ và hai đường thẳng $x = 0;x = 2$.
Do đó diện tích một cánh hoa bằng
$\int\limits_0^2 {\left( {\sqrt {2x} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)dx} $ $ = \left. {\left. {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\sqrt {{{\left( {2x} \right)}^3}} – \frac{{{x^3}}}{6}} \right)} \right|} \right|_0^2$$ = \frac{4}{3}\left( {d{m^2}} \right) = \frac{{400}}{3}\left( {c{m^2}} \right)$$ = \frac{4}{3}\left( {d{m^2}} \right) = \frac{{400}}{3}\left( {c{m^2}} \right)$.
