Các dạng trắc nghiệm ứng dụng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Chú ý:
Hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ quay quanh trục $Ox$ tạo thành một khối tròn xoay có thể tích là $V = \pi \int\limits_a^b {{{\left[ {f(x)} \right]}^2}dx} $
Câu 1. Viết công thức tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$, xung quanh trục $Ox$.
A. $V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$ B. $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx$ C. $V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx$ D. $V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx$
Lời giải
Chọn B.
Lý thuyết
Câu 2. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x $, $y = 0$, $x = 0$ và $x = 4$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng:
A. $8\pi $. B. $8$. C. $6\pi $. D. $\frac{{8\pi }}{3}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng:
$V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^4 {xdx} = \pi \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^4 = 8\pi $.
Câu 3. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = cos\frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = 0$ và $x = \frac{\pi }{2}$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng:
A. $\frac{{{\pi ^2}}}{{16}}$. B. $\frac{\pi }{2}$. C. $\frac{{{\pi ^2}}}{4}$. D. $\frac{{{\pi ^2}}}{4} + \frac{\pi }{2}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng:
$V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {cos\frac{x}{2}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + cosx}}{2}dx} $
$ = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + cosx} \right)dx} = \frac{\pi }{2}\left. {\left( {x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$
$ = \frac{\pi }{2}\left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{4} + \frac{\pi }{2}$.
Câu 4. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {e^{3x}}$, $y = 0$, $x = 0$ và $x = 1$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng:
A. $\pi \int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} $. B. $\int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx} $. C. $\pi \int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx} $. D. $\int\limits_0^1 {{e^{3x}}dx} $.
Lời giải
Chọn C.
Ta có thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng:
$\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^{3x}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {{e^{6x}}dx} $.
Câu 5. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {e^{4x}},y = 0,x = 0$ và $x = 1$. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng
A. $\int\limits_0^1 {{e^{4x}}dx} $. B. $\pi \int\limits_0^1 {{e^{8x}}dx} $. C. $\pi \int\limits_0^1 {{e^{4x}}dx} $. D. $\int\limits_0^1 {{e^{8x}}dx} $.
Lời giải
Chọn B.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ là:
$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^{4x}}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {{e^{8x}}dx} .$
Câu 6. Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = {x^2} + 3$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $V = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} $ B. $V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} $ C. $V = \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} $ D. $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} $
Lời giải
Chọn D.
Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$ là: $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} $.
Câu 7. Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = {e^x}$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 1$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?
A. $V = \frac{{\pi \left( {{e^2} + 1} \right)}}{2}$ B. $V = \frac{{{e^2} – 1}}{2}$ C. $V = \frac{{\pi {e^2}}}{3}$ D. $V = \frac{{\pi \left( {{e^2} – 1} \right)}}{2}$
Lời giải
Chọn D.
$V = \pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx = } \pi \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{{\pi \left( {{e^2} – 1} \right)}}{2}$
Câu 8. Cho hình phẳng $D$ giới hạn với đường cong $y = \sqrt {{x^2} + 1} $, trục hoành và các đường thẳng $x = 0,x = 1$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?
A. $V = 2$ B. $V = \frac{{4\pi }}{3}$ C. $V = 2\pi $ D. $V = \frac{4}{3}$
Lời giải
Chọn B.
Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:
$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{4\pi }}{3}$.
Câu 9. Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt {2 + \cos x} ,$ trục hoành và các đường thẳng $x = 0,x = \frac{\pi }{2}$. Khối tròn xoay tạo thành khi $D$ quay quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?
A. $V = (\pi + 1)\pi $ B. $V = \pi – 1$ C. $V = \pi + 1$ D. $V = (\pi – 1)\pi $
Lời giải
Chọn A.
$V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sqrt {2 + \cos x} } \right)}^2}dx = \left. {\pi \left( {2x + \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi } (\pi + 1).$
Câu 10. Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt {2 + \sin x} $, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = \pi $. Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quay quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?
A. $V = 2\pi \left( {\pi + 1} \right)$ B. $V = 2\pi $ C. $V = 2\left( {\pi + 1} \right)$ D. $V = 2{\pi ^2}$
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\left( {\sqrt {2 + \sin x} } \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_0^\pi {\left( {2 + \sin x} \right)dx} $$ = \pi \left. {\left( {2x – \cos x} \right)} \right|_0^\pi = 2\pi \left( {\pi + 1} \right)$.
Câu 11. Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ , đường thẳng $d:y = 2x$ và đường thẳng $x = 0,x = 2$ quay xung quanh trục $Ox$.
A. $\pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} – 2x} \right)}^2}dx} $. B. $\pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx – \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} } $. C. $\pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx + \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} } $. D. $\pi \int\limits_0^2 {\left( {2x – {x^2}} \right)dx} $
Lời giải
Chọn A.
Vậy thể tích khối tròn xoay được tính $V = \pi \int\limits_0^2 {4{x^2}dx – \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx} } $.
Câu 12. Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = {x^2} + 3, y = 0, x = 0, x = 2$. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} $. B. $V = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} $. C. $V = \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} $. D. $V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} + 3} \right)dx} $.
Lời giải
Chọn A.
Thể tích của vật thể được tạo nên là $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}dx} .$
Câu 13. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sin x$, trục Ox, trục Oy và đường thẳng $x = \frac{\pi }{2}$, xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} $ B. $V = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} $ C. $V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} $ D. $V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} $
Lời giải
Chọn C.
Công thức tính: $V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $
Câu 14. Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = {x^2} – 2x$, trục hoành, đường thẳng $x = 0$ và $x = 1$ quanh trục hoành bằng
A. $\frac{{16\pi }}{{15}}$. B. $\frac{{2\pi }}{3}$. C. $\frac{{4\pi }}{3}$. D. $\frac{{8\pi }}{{15}}$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
$V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} – 2x} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} – 4{x^3} + 4{x^2}} \right)dx = \pi .\left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} – {x^4} + \frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \pi .\left( {\frac{1}{5} – 1 + \frac{4}{3}} \right) = \frac{{8\pi }}{{15}}} .$
Câu 15. Cho miền phẳng $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = \sqrt x $, hai đường thẳng $x = 1$, $x = 2$ và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( D \right)$ quanh trục hoành.
A. $3\pi $. B. $\frac{{3\pi }}{2}$. C. $\frac{{2\pi }}{3}$. D. $\frac{3}{2}$.
Lời giải
Chọn B.
$V = \pi \int\limits_1^2 {xdx} $ $ = \left. {\frac{{\pi {x^2}}}{2}} \right|_1^2 = \frac{{3\pi }}{2}$.
Câu 16. Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = 2x – {x^2}$, $y = 0$. Quay $\left( H \right)$ quanh trục hoành tạo thành khối tròn xoay có thể tích là
A. $\int\limits_0^2 {\left( {2x – {x^2}} \right)dx} $ B. $\pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x – {x^2}} \right)}^2}dx} $ C. $\int\limits_0^2 {{{\left( {2x – {x^2}} \right)}^2}dx} $ D. $\pi \int\limits_0^2 {\left( {2x – {x^2}} \right)dx} $
Lời giải
Chọn B.
Theo công thức ta chọn $V = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {2x – {x^2}} \right)}^2}dx} $
Câu 17. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x – 2$, $y = 0$ và $x = 4,x = 9$ quay xung quanh trục $Ox$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
A. $V = \frac{7}{6}$. B. $V = \frac{{5\pi }}{6}$. C. $V = \frac{{7\pi }}{{11}}$. D. $V = \frac{{11\pi }}{6}$.
Lời giải
Chọn D.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:
$V = \pi \int\limits_4^9 {{{\left( {\sqrt x – 2} \right)}^2}dx} $$ = \pi \int\limits_4^9 {\left( {x – 4\sqrt x + 4} \right)} dx$$ = \pi \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{{8x\sqrt x }}{3} + 4x} \right)} \right|_4^9$$ = \pi \left( {\frac{{81}}{2} – 72 + 36} \right) – \pi \left( {\frac{{16}}{2} – \frac{{64}}{3} + 16} \right) = \frac{{11\pi }}{6}$.
Câu 18. Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường thẳng $y = {x^2} + 2,y = 0,x = 1,x = 2$. Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay $\left( H \right)$xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $V = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 2} \right)dx} $ B. $V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}dx} $ C. $V = \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}dx} $ D. $V = \pi \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 2} \right)dx} $
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}dx} $.
Câu 19. Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x = 1$ và $x = 2$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($1 \leqslant x \leqslant 2$) cắt vật thể đó có diện tích $S\left( x \right) = 2024x$. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.
A. $V = 3036$ B. $V = 3036\pi $ C. $V = 1518$ D. $V = 1518\pi $
Lời giải
Chọn A.
Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_1^2 {2024xdx = 3036} $
Câu 20. Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x = 1$ và $x = 3$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($1 \leqslant x \leqslant 3$) cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $3{x^2} – 2$. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.
A. $V = 156$ B. $V = 156\pi $ C. $V = 312$ D. $V = 312\pi $
Lời giải
Chọn A.
Diện tích thiết diện là: $S(x) = 3x.\left( {3{x^2} – 2} \right) = 9{x^3} – 6x$
$ \Rightarrow $ Thể tích vật thể là: $V = \int\limits_1^3 {\left( {9{x^3} – 6x} \right)dx = 156} $
