Trắc nghiệm đúng sai các yếu tố liên quan đến đường thẳng trong không gian oxyz giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÁC YẾU TỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng xác định điểm thuộc và không thuộc đường thẳng
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\frac{{x – 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{z}{{ – 1}}$. Khi đó:
a) Đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3; – 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương.
b) Đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { – 2; – 3;1} \right)$ là một vectơ chỉ phương.
c) Đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {3; – 1;0} \right)$ là một vectơ chỉ phương.
d) Đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {{u_4}} = \left( {6;9; – 3} \right)$ là một vectơ chỉ phương.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Sai | Đúng |
a) Đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3; – 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương nên a đúng.
b) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3; – 1} \right) = – 1.\left( { – 2; – 3;1} \right)$
Suy ra $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { – 2; – 3;1} \right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $d$ nên b đúng.
c) Đường thẳng $d$ nhận $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3; – 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương
Xét $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3; – 1} \right)$ và $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {3; – 1;0} \right)$ ta có: $\frac{2}{3} \ne \frac{3}{{ – 1}}$ suy ra $\overrightarrow {{u_1}} $ và $\overrightarrow {{u_3}} $ không cùng phương
Do đó, $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {3; – 1;0} \right)$ không phải một vectơ chỉ phương của $d$ nên c sai.
d) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3; – 1} \right) = \frac{1}{3}.\left( {6;9; – 3} \right)$
Suy ra $\overrightarrow {{u_4}} = \left( {6;9; – 3} \right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $d$ nên d đúng.
Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{gathered}
x = 3 + 4t \hfill \\
y = – 1 – 2t \hfill \\
z = – 2 + 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Điểm $M\left( {7; – 3; – 1} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.
b) Điểm $N\left( { – 1;1; – 5} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.
c) Đường thẳng $d$ nhận $\vec u = \left( {4; – 2;3} \right)$ là một vectơ chỉ phương.
d) Đường thẳng $d$ nhận $\vec u = \left( { – 4;2; – 3} \right)$ là một vectơ chỉ phương.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Sai | Đúng | Đúng | Đúng |
a) Thay $M\left( {7; – 3; – 1} \right)$ vào đường thẳng $d$, ta có $\left\{ \begin{gathered}
7 = 3 + 4t \hfill \\
– 3 = – 1 – 2t \hfill \\
– 1 = – 2 + 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
t = 1 \hfill \\
t = 1 \hfill \\
t = \frac{1}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.$ (Hệ vô nghiệm)
$ \Rightarrow M\left( {7; – 3; – 1} \right) \notin d$ nên a sai.
b) Thay $N\left( { – 1;1; – 5} \right)$ vào đường thẳng $d$, ta có $\left\{ \begin{gathered}
– 1 = 3 + 4t \hfill \\
1 = – 1 – 2t \hfill \\
– 5 = – 2 + 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
t = – 1 \hfill \\
t = – 1 \hfill \\
t = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow t = – 1$$ \Rightarrow M\left( {7; – 3; – 1} \right) \in d$
nên b đúng.
c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d:\left\{ \begin{gathered}
x = 3 + 4t \hfill \\
y = – 1 – 2t \hfill \\
z = – 2 + 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ là $\vec u = \left( {4; – 2;3} \right)$ nên c đúng.
d) Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( { – 4;2; – 3} \right) = – \left( {4; – 2;3} \right)$
Suy ra $\overrightarrow u = \left( {4; – 2;3} \right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $d$ nên d đúng.
Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{2}$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Điểm $Q\left( {2; – 1;2} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.
b) Điểm $P\left( {1;2;3} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.
c) Điểm $M\left( { – 1; – 2; – 3} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.
d) Điểm $N\left( { – 2;1; – 2} \right)$ thuộc đường thẳng $d$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Sai | Đúng | Sai | Sai |
a) Thay tọa độ của điểm $Q\left( {2; – 1;2} \right)$ vào phương trình của $d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{2}$ ta được:
$\frac{{2 – 1}}{2} = \frac{{ – 1 – 2}}{{ – 1}} = \frac{{2 – 3}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = 3 = \frac{{ – 1}}{2}$ (vô lí) nên $Q \notin d$ nên a sai.
b) Thay tọa độ của điểm $P\left( {1;2;3} \right)$ vào phương trình của $d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{2}$ ta được:
$\frac{{1 – 1}}{2} = \frac{{2 – 2}}{{ – 1}} = \frac{{3 – 3}}{2} \Leftrightarrow 0 = 0 = 0$ (đúng) nên $P \in d$ nên b đúng.
c) tương tự ta thấy c sai.
d) tương tự ta thấy d sai.
Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + 2t \hfill \\
y = 3 – t \hfill \\
z = 1 – t \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Điểm $M\left( { – 3\,;5\,;3} \right)$ không thuộc đường thẳng $d$.
b) Điểm $N\left( {1\,;3\,; – 1} \right)$ không thuộc đường thẳng $d$.
c) Điểm $P\left( {3\,;5\,;3} \right)$ không thuộc đường thẳng $d$.
d) Điểm $Q\left( {1\,;2\,; – 3} \right)$ không thuộc đường thẳng $d$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Sai | Đúng | Đúng | Đúng |
Tự giải.
Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;0)$, $B(1;1;2)$ và $C(2;3;1)$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và song song với $BC$ có phương trình là $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{z}{{ – 1}}.$
b) Đường thẳng đi qua hai điểm $B,C$ có phương trình là $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}.$
c) Điểm $M\left( {2\,;3\,;1} \right)$ không thuộc đường thẳng $BC$.
d) Điểm $N\left( {3\,;5\,;0} \right)$ không thuộc đường thẳng $BC$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Sai | Sai |
a) +$d$ là có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {BC} = \left( {1;2; – 1} \right)$.
+ $d$ đi qua $A(1;2;0)$.
$ \Rightarrow d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{z}{{ – 1}}$ nên a đúng.
b) Đường thẳng đi $B(1;1;2)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {BC} = \left( {1;2; – 1} \right)$ có phương trình là $\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ nên b đúng.
c) Thay tọa độ điểm $M\left( {2\,;3\,;1} \right)$ vào phương trình của $BC:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ ta được:
$\frac{{2 – 1}}{1} = \frac{{3 – 1}}{2} = \frac{{1 – 2}}{{ – 1}} \Leftrightarrow 1 = 1 = 1$ (đúng) suy ra $M \in d$nên c sai.
d) Thay tọa độ điểm $N\left( {3\,;5\,;0} \right)$ vào phương trình của $BC:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$ ta được:
$\frac{{3 – 1}}{1} = \frac{{5 – 1}}{2} = \frac{{0 – 2}}{{ – 1}} \Leftrightarrow 2 = 2 = 2$ (đúng) suy ra $M \in d$nên d sai.
Dạng 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho bốn đường thẳng: ${d_1}:\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ – 2}} = \frac{{z + 1}}{1}$, ${d_2}:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ – 2}} = \frac{{z – 1}}{1}$, ${d_3}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{1}$, ${d_4}:\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{1}$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ song song với nhau.
b) Đường thẳng ${d_3}$ cắt đường thẳng ${d_2}$.
c) Đường thẳng ${d_4}$ không cắt đường thẳng ${d_1}$.
d) Đường thẳng ${d_3}$ cắt đường thẳng ${d_1}$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Sai | Đúng |
a) Đường thẳng ${d_1}$ đi qua điểm ${M_1} = \left( {3; – 1; – 1} \right)$ và có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; – 2;1} \right)$.
Đường thẳng ${d_2}$ đi qua điểm ${M_2} = \left( {0;0;1} \right)$ và có một véctơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; – 2;1} \right)$.
Do $\overrightarrow {{u_1}} = {\overrightarrow u _2}$ và ${M_1} \notin {d_1}$ nên hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ song song với nhau.
b) c) d) tương tự.
Dạng 3: Tính góc giữa hai đường thẳng-Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng-Tính góc giữa hai mặt phẳng
Câu 7. rong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):2x – y + 2z + 5 = 0$; $\left( Q \right):x – y + 2 = 0$; $(R):4x – 2y + 4z – 1 = 0$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng ${135^0}$.
b) Hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( R \right)$ song song với nhau.
c) Sin của góc tạo bởi trục hoành và mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{1}{3}$.
d) Điểm $M\left( {0;5;0} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Sai | Đúng | Sai | Đúng |
a) Gọi $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$
$\cos \alpha = \frac{{\left| {2.1 – 1.\left( { – 1} \right) + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Rightarrow \alpha = {45^0}$ nên a sai.
b) $\left( P \right):2x – y + 2z + 5 = 0$; $(R):4x – 2y + 4z – 1 = 0$.
Ta có: $\frac{2}{4} = \frac{{ – 1}}{{ – 2}} = \frac{2}{4} \ne \frac{5}{{ – 1}}$ suy ra $(P)//(R)$ nên b đúng.
c) Sin của góc tạo bởi trục hoành và mặt phẳng $(P)$ bằng
+ Trục hoành $Ox$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$.
+ $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; – 1;2} \right)$.
$\sin \left( {Ox;(P)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow i .\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}$$ = \frac{{\left| {1.2 + 0.( – 1) + 0.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2} + {2^2}} }}$$ = \frac{2}{3}$ nên c sai.
d) Thay tọa độ của $M\left( {0;5;0} \right)$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ ta có: $2.0 – 5 + 2.0 + 5 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$ $ \Rightarrow M \in \left( P \right)$ nên d đúng.
Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( Q \right):\,x – y – 5 = 0$, và biết hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là $H\left( {2\,;\, – 1\,;\, – 2} \right)$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ bằng ${45^0}$.
b) Sin của góc tạo bởi trục tung và mặt phẳng $(Q)$ bằng $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
c) Sin của góc tạo bởi trục $Oz$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{2}{3}$.
d) Góc giữa trục $Ox$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x}{{\sqrt 2 }} = \frac{y}{{ – 2}} = \frac{z}{{\sqrt 2 }}$ bằng ${30^0}$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Đúng | Sai |
a) Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1\,;\, – 1\,;\,0} \right)$.
Hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là $H\left( {2\,;\, – 1\,;\, – 2} \right)$$ \Rightarrow \left( P \right)$ qua $H$ và nhận $\overrightarrow {OH} = \left( {2\,;\, – 1\,;\, – 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
$\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OH} \,,\,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2 + 1 + 0} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} .\sqrt {1 + 1 + 0} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$
$ \Rightarrow \varphi = 45^\circ $ nên a đúng.
b) Sin của góc tạo bởi trục tung và mặt phẳng $(Q)$ bằng $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
+ Trục tung $Oy$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$.
+ $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;0} \right)$.
$\sin \left( {Ox;(Q)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow i .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}$$ = \frac{{\left| {0.1 + 1.1 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} }}$$ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ nên b đúng.
c) Sin của góc tạo bởi trục $Oz$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{2}{3}$.
+ Trục tung $Oz$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.
+ $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2\,;\, – 1\,;\, – 2} \right)$.
$\sin \left( {Oz;(P)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow k .\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow k } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}}$$ = \frac{{\left| {0.2 + 0.( – 1) + 1.( – 2)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2} + {{( – 2)}^2}} }}$$ = \frac{2}{3}$ nên c đúng.
d) + Trục tung $Ox$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$.
+ $\Delta $ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {\sqrt 2 ; – 2;\sqrt 2 } \right)$.
$cos\left( {Ox;\Delta } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow i .\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}$$ = \frac{{\left| {1.\sqrt 2 + 0.( – 2) + 0.\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{( – 2)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }}$$ = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }} = \frac{1}{2}$
$ \Rightarrow \left( {Ox;\Delta } \right) = {60^0}$ nên d sai.
