Các dạng toán trắc nghiệm tích phân có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1: Tính tích phân sử dụng bảng nguyên hàm sơ cấp
Câu 1. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {(2x – 3)dx} $
A. $I = – 2$. B. $I = 0$. C. $I = 1$. D. $I = 3$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $I = \int\limits_0^1 {(2x – 3)dx} = \left. {\left( {{x^2} – 3x} \right)} \right|_0^2 = – 2 – 0 = – 2$.
Câu 2. Tích phân $\int\limits_1^e {\left( {2x + 1} \right)dx} = a{e^2} + be + c$ với $a$, $b$, $c$ là các số nguyên. Tính $S = a + b + c$.
A. $S = 1$. B. $S = 0$. C. $S = 2$. D. $S = 3$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\int\limits_1^e {\left( {2x + 1} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_1^e = \left( {{e^2} + e} \right) – \left( {{1^2} + 1} \right) = {e^2} + e – 2$.
Vậy $S = 1 + 1 + ( – 2) = 0$.
Câu 3. Tích phân $I = \int\limits_2^5 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \ln \frac{a}{b} – \frac{c}{d}$ với $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ tối giản, $b > 0$, $d > 0$. Tính $S = a + b + c + d$.
A. $S = 20$ B. $S = 15$ C. $S = – 15$ D. $S = 1$
Lời giải
Chọn A.
$I = \int\limits_2^5 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} dx = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{1}{x}} \right)} \right|_2^5$
$ = \left( {\ln 5 + \frac{1}{5}} \right) – \left( {\ln 2 + \frac{1}{2}} \right) = \ln \frac{5}{2} – \frac{3}{{10}}$.
Vậy $S = a + b + c + d = 5 + 2 + 3 + 10 = 20$
Câu 4. Biết $\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = a + b\ln c,$ với $a,b,c \in \mathbb{Z},c < 9.$ Tính tổng $S = a + b + c.$
A. $S = 7$. B. $S = 5$. C. $S = 8$. D. $S = 6$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}} dx = \int\limits_1^3 {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^3 {dx} + \int\limits_1^3 {\frac{2}{x}} dx$
$ = 2 + 2\left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = 2 + 2\ln 3.$
Do đó $a = 2,\,b = 2,\,c = 3 \Rightarrow S = 7.$
Câu 5. Tích phân $\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}dx} $ bằng
A. $\frac{1}{3}\left( {{e^4} + e} \right)$ B. ${e^3} – e$ C. $\frac{1}{3}\left( {{e^4} – e} \right)$ D. ${e^4} – e$
Lời giải
Chọn C.
$\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}dx} $$ = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}d\left( {3x + 1} \right)} $$ = \left. {\frac{1}{3}{e^{3x + 1}}} \right|_0^1$$ = \frac{1}{3}\left( {{e^4} – e} \right)$.
Câu 6. Biết $\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \frac{e}{a} + b} $ $\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó giá trị của $P = a + b$ là
A. $P = – 3$ B. $P = 1$ C. $P = – 1$ D. $P = 3$
Lời giải
Chọn B.
$I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}dx = \left[ {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}} \right]_0^1 = \frac{e}{2} – 1} } $
Câu 7. Giá trị của $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} – 4}}{{{e^x} + 2}}dx} $ bằng
A. $I = 2\left( {e + 3} \right)$. B. $I = \frac{1}{2}\left( {e + 3} \right)$. C. $I = e – 3$. D. $I = 2\left( {e – 3} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
$I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} – 4}}{{{e^x} + 2}}dx = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{e^x} – 2} \right)\left( {{e^x} + 2} \right)}}{{{e^x} + 2}}dx} } $
$ = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} – 2} \right)dx = \left( {{e^x} – 2x} \right)_0^1 = e – 3} $
Câu 8. Biết $\int\limits_1^2 {{e^x}\left( {1 – \frac{{{e^{ – x}}}}{x}} \right)dx} = {e^2} + a.e + b\ln 2$ $\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó giá trị của $P = \frac{{a + b}}{{a.b}}$ là
A. $P = – 3$ B. $P = 1$ C. $P = – 1$ D. $P = – 2$
Lời giải
Chọn D.
$I = \int\limits_1^2 {{e^x}\left( {1 – \frac{{{e^{ – x}}}}{x}} \right)dx} $$ = \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} – \frac{1}{x}} \right)dx} $
$ = \left( {{e^x} – \ln \left| x \right|} \right)_1^2 = {e^2} – e – \ln 2$
Câu 9. Biết $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x – 1}} – {e^{ – 3x}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = \frac{1}{a} + b$ $\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{R}} \right)$. Khi đó giá trị của $P = \frac{{a + b}}{{a.b}}$ là
A. $P = {e^4} – 1$ B. $P = \frac{{{e^4} – 1}}{{{e^2}}}$ C. $P = \frac{{{e^4} – 1}}{{{e^4}}}$ D. $P = \frac{{1 – {e^4}}}{{{e^4}}}$
Lời giải
Chọn D.
$I = \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x – 1}} – {e^{ – 3x}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{e^{x – 1}} – {e^{ – 4x}} + {e^{ – x}}} \right)dx} $
$ = \left. {\left( {{e^{x – 1}} – \frac{{{e^{ – 4x}}}}{{ – 4}} + \frac{{{e^{ – x}}}}{{ – 1}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{1 – {e^4}}}{{{e^4}}} = \frac{1}{{{e^4}}} – 1$
$ \Rightarrow P = \frac{{a + b}}{{a.b}} = \frac{{1 – {e^4}}}{{{e^4}}}$
Câu 10. Giá trị của $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} $ bằng
A. 0. B. 1. C. -1. D. $\frac{\pi }{2}$.
Lời giải
Chọn B.
$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = – \cos x\left| \begin{gathered}
\frac{\pi }{2} \hfill \\
0 \hfill \\
\end{gathered} \right. = 1$.
Câu 11. Biết $\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx} = \frac{{a + b\sqrt 3 }}{2} + \frac{{{\pi ^2}}}{c}$ $\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,c \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó giá trị của $P = a + 2b + 3c$ là
A. $P = 45$ B. $P = 60$ C. $P = 65$ D. $P = 70$
Lời giải
Chọn B.
$\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2\sin x + 3\cos x + x} \right)dx} $
$ = \left. {\left( { – 2\cos x + 3\sin x + \frac{1}{2}{x^2}} \right)} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{{12 – 3\sqrt 3 }}{2} + \frac{{{\pi ^2}}}{{18}}$
$ \Rightarrow P = a + 2b + 3c = 60$
Câu 12. Biết $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {3{{\tan }^2}xdx} = a\sqrt 3 + b + \frac{\pi }{c}$ $\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,c \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó giá trị của $P = a + b + c$ là
A. $P = 6$ B. $P = – 4$ C. $P = 4$ D. $P = – 6$
Lời giải
Chọn B.
$\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {3{{\tan }^2}xdx} = 3\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right)dx} $
$ = \left. {3\left( {\tan x – x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} = 3\sqrt 3 – 3 – \frac{\pi }{4}$
$ \Rightarrow P = a + b + c = 3 – 3 – 4 = – 4$
Câu 13. Biết $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\cot }^2}x + 5} \right)dx} = \frac{\pi }{a} + b\sqrt 3 + c$ $\left( {a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,c \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó giá trị của $P = a + b + c$ là
A. $P = 6$ B. $P = – 4$ C. $P = 4$ D. $P = – 6$
Lời giải
Chọn C.
$\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2{{\cot }^2}x + 5} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1} \right) + 5} \right)dx} $
$ = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3 – \frac{{ – 2}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx = \left. {\left( {3x – \cot x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{4} + \sqrt 3 – 1} $
Câu 14. Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{4}{{\cos }^2}\frac{x}{4}dx} = \frac{\pi }{c} + \frac{a}{b}$ với $a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b \in \mathbb{Z}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $P = a + b + c$ là
A. $P = 17$ B. $P = 16$ C. $P = 32$ D. $P = 49$
Lời giải
Chọn D.
$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{4}{{\cos }^2}\frac{x}{4}dx} = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} $
$ = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{{1 – \cos x}}{2}} \right)dx = \left. {\frac{1}{8}\left( {x – \frac{1}{4}\sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}} $
$ = \frac{\pi }{{16}} + \frac{1}{{32}}$
$ \Rightarrow P = a + b + c = 1 + 32 + 16 = 49$
Dạng 2: Tích phân hàm trị tuyệt đối
Câu 15. Giá trị của $I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 – \cos 2x} dx} $ bằng
A. $\sqrt 3 $. B. $4\sqrt 2 $. C. $2\sqrt 3 $. D. $\frac{\pi }{2}$.
Lời giải
Chọn B.
$I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 – \cos 2x} dx} = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {2{{\sin }^2}x} dx = \sqrt 2 \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx} } $
Do $x \in \left[ {0;\pi } \right] \to \sin x > 0$
$ \Rightarrow \left| {\sin x} \right| = \sin x\;;x \in \left[ {\pi ;2\pi } \right] \to \sin x < 0$
$ \Rightarrow \left| {\sin x} \right| = – \sin x$
Vậy : $I = \sqrt 2 \left( {\int\limits_0^\pi {\sin xdx + \int\limits_\pi ^{2\pi } { – \sin xdx} } } \right) = \sqrt 2 \left( { – \cos x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\pi \\0\end{array} + \cos x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2\pi } \\\pi
\end{array}} \right.} \right.} \right) = \sqrt 2 \left( {1 + 1 + 1 + 1} \right) = 4\sqrt 2 $
Câu 16. Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {\left| {x – 2} \right|dx} $.
A. $I = – 2$. B. $I = 4$. C. $I = 2$. D. $I = 0$.
Lời giải
Chọn C.
$I = \int\limits_0^2 {\left| {x – 2} \right|dx} $.
+ Do $x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow x – 2 < 0, \Leftrightarrow \left| {x – 2} \right| = 2 – x$
+ Vậy $I = \int\limits_0^2 {\left( {2 – x} \right)dx = \left( {2x – \frac{1}{2}{x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2 \\0
\end{array} = 4 – 2 = 2} \right.} $
Câu 17. Tích phân $I = \int\limits_1^2 {\left| {x – \sqrt 3 } \right|dx} = \frac{a}{b} + c\sqrt 3 $ với $\frac{a}{b}$ tối giản, $b > 0$, $c \in \mathbb{Z}$. Tính $S = a + b + c$.
A. $S = 15$. B. $S = 0$. C. $S = 10$. D. $S = 1$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $\left| {x – \sqrt 3 } \right| = \left\{ \begin{gathered}
x – \sqrt 3 \,\,khi\,x \geqslant \sqrt 3 \hfill \\
– \left( {x – \sqrt 3 } \right)\,\,khi\,x < \sqrt 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Khi đó $I = \int\limits_1^2 {\left| {x – \sqrt 3 } \right|dx} = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\left| {x – \sqrt 3 } \right|dx} + \int\limits_{\sqrt 3 }^2 {\left| {x – \sqrt 3 } \right|dx} $
$ = – \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\left( {x – \sqrt 3 } \right)dx} + \int\limits_{\sqrt 3 }^2 {\left( {x – \sqrt 3 } \right)dx} $
$ = – \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \sqrt 3 x} \right)} \right|_1^{\sqrt 3 } + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \sqrt 3 x} \right)} \right|_{\sqrt 3 }^2$
$ = \left( {2 – \sqrt 3 } \right) + \left( {\frac{7}{2} – 2\sqrt 3 } \right) = \frac{{11}}{2} – 3\sqrt 3 $.
Vậy $S = a + b + c = 11 + 2 – 3 = 10$.
Câu 18. Cho tích phân $I = \int\limits_0^3 {\left| {{2^x} – 4} \right|dx} = a + \frac{b}{{c\ln 2}}$ với $a,b,c \in \mathbb{Z}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $P = {a^2} + {b^2} + {c^2}$.
A. $P = 15$ B. $P = 10$ C. $P = 5$ D. $P = 18$
Lời giải
Chọn D.
$I = \int\limits_0^3 {\left| {{2^x} – 4} \right|dx} $
– Nhận xét : ${2^x} – 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2$
$ \Rightarrow f(x) > 0\,\forall x \in \left[ {2;3} \right]$; $f(x) < 0\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]$
– Suy ra $I = \int\limits_0^2 {\left( {4 – {2^x}} \right)dx + \int\limits_2^3 {\left( {{2^x} – 4} \right)dx} } $
$ = \left( {4x – \frac{1}{{\ln 2}}{2^x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2 \\0
\end{array} + \left( {\frac{1}{{\ln 2}}{2^x} – 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3 \\2
\end{array}} \right.} \right.$
$ = \left( {8 – \frac{3}{{\ln 2}}} \right) + \left( {\frac{4}{{\ln 2}} – 4} \right) = 4 + \frac{1}{{\ln 2}}$
$ \Rightarrow P = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {4^2} + {1^2} + {1^2} = 18$
Câu 19. Cho $a$ là số thực dương, tính tích phân $I = \int\limits_{ – 1}^a {\left| x \right|dx} $ theo $a$.
A. $I = \frac{{{a^2} + 1}}{2}$. B. $I = \frac{{{a^2} + 2}}{2}$. C. $I = \frac{{ – 2{a^2} + 1}}{2}$. D. $I = \frac{{\left| {3{a^2} – 1} \right|}}{2}$.
Lời giải
Chọn A.
Vì $a > 0$ nên $I = – \int\limits_{ – 1}^0 {x\;dx + } \int\limits_0^a {x\;dx} = \frac{1}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{1 + {a^2}}}{2}$
Câu 20. Cho số thực $m > 1$ thỏa mãn $\int\limits_1^m {\left| {2mx – 1} \right|dx} = 1$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $m \in \left( {4;6} \right)$. B. $m \in \left( {2;4} \right)$. C. $m \in \left( {3;5} \right)$. D. $m \in \left( {1;3} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Do $m > 1 \Rightarrow 2m > 2 \Rightarrow \frac{1}{{2m}} < 1$.
Do đó với $m > 1,x \in \left[ {1;m} \right] \Rightarrow 2mx – 1 > 0$.
Vậy $\int\limits_1^m {\left| {2mx – 1} \right|dx} = \int\limits_1^m {\left( {2mx – 1} \right)dx} $
$ = \left( {m{x^2} – x} \right)\left| \begin{gathered}
m \hfill \\
1 \hfill \\
\end{gathered} \right. = {m^3} – m – m + 1 = {m^3} – 2m + 1$.
Từ đó theo bài ra ta có ${m^3} – 2m + 1 = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 0\, \hfill \\
m = \sqrt 2 \hfill \\
m = – \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Do $m > 1$ nên $m = \sqrt 2 \in \left( {1;3} \right)$.
