Các dạng trắc nghiệm đúng sai về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:
Chú ý:
$\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C$ với $\alpha \ne – 1$;
$\int {kdx = k} x + C$;
$\int {kf(x)dx = k} \int {f(x)dx} $;
$\int {\left( {f(x) + g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} $;
$\int {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} – \int {g(x)dx} $.
Câu 1. Cho $\alpha $ là một số thực và $x \ne 0$.
a) $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} + C$
b) $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$
c) $\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C$
d) $\int {\sqrt x dx} = \frac{3}{2}{x^{\frac{3}{2}}} + C$
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Sai | Đúng | Đúng | Sai |
a) $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ nên a sai
b) $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$ nên b đúng
c) $\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + C$ nên c đúng
d) $\int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C$ nên d sai
Câu 2. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai
a) $\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + x – 2} \right)dx} = \frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x + C$
b) $\int {\frac{1}{{2023{x^{2024}}}}dx} = \frac{1}{{{{2023}^2}{x^{2023}}}} + C$
c) $\int {{{\left( {2x – 2024} \right)}^2}dx} = x – 1012 + C$
d) $\int {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + 4{x^3}} \right)dx} = \frac{1}{{20}}{x^5} + \frac{4}{3}{x^4} + C$
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Sai | Đúng |
a) $\int {\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + x – 2} \right)dx} = \int {\left( {{x^{\frac{2}{3}}} + x – 2} \right)dx} $
$ = \frac{{{x^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x + C = \frac{3}{5}\sqrt[3]{{{x^5}}} + \frac{1}{2}{x^2} – 2x + C$ nên a đúng.
b) $\int {\frac{1}{{2023{x^{2024}}}}dx} = \frac{1}{{2023}}\int {{x^{ – 2024}}dx = \frac{1}{{2023}}.\frac{{{x^{ – 2023}}}}{{ – 2023}} + C} = – \frac{1}{{{{2023}^2}{x^{2023}}}} + C$ nên b sai.
c) $\int {{{\left( {2x – 2024} \right)}^2}dx} = \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {2x – 2024} \right)}^3}}}{3} + C = \frac{{{{\left( {2x – 2024} \right)}^3}}}{6} + C$ nên c sai
Lưu ý: Áp dụng công thức $\int {{{\left( {ax + b} \right)}^\alpha }dx} = \frac{1}{a}.\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$
d) $\int {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + 4{x^3}} \right)dx} = \frac{1}{{20}}{x^5} + \frac{4}{3}{x^4} + C$ nên d đúng
Câu 3. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai
a) $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C$ là nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right) = {x^3} – 3x + \frac{1}{x}$.
b) $F\left( x \right) = \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{6} + C$ là nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$.
c) $F\left( x \right) = \frac{3}{2}x\sqrt x + \frac{4}{3}x\sqrt[3]{x} + \frac{5}{4}x\sqrt[4]{x} + C$ là nguyên hàm của hàm số$f(x) = \sqrt x + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$.
d) $F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} – 2024x + C$ là nguyên hàm của hàm số$f\left( x \right) = \frac{{{x^3} – 2024x}}{x}$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Sai | Đúng |
a) $f\left( x \right) = {x^3} – 3x + \frac{1}{x}$
$ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f(x)dx = } \int {({x^3} – 3x + \frac{1}{x})dx = } $
$\int {{x^3}dx} – 3\int {xdx} + \int {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C$ nên a đúng.
b) $f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$$ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f(x)dx = } \int {{{(5x + 3)}^5}dx} $
$ = \frac{1}{5}.\frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{6} + C = \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} + C$ nên b sai
Lưu ý:
Áp dụng công thức $\int {{{\left( {ax + b} \right)}^\alpha }dx} = \frac{1}{a}.\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$
c) $f(x) = \sqrt x + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}$
$ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {\sqrt x + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}} \right)} dx = \int {\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{3}}} + {x^{\frac{1}{4}}}} \right)} dx$
$ = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3}{4}{x^{\frac{4}{3}}} + \frac{4}{5}{x^{\frac{5}{4}}} + C = \frac{2}{3}x\sqrt x + \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + \frac{4}{5}x\sqrt[4]{x} + C$ nên c sai.
d) $f\left( x \right) = \frac{{{x^3} – 2024x}}{x} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\frac{{{x^3} – 2024x}}{x}dx = } $
$\int {\left( {{x^2} – 2024} \right)dx = \frac{1}{3}} {x^3} – 2024x + C$ nên d đúng.
Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
Chú ý:
$\int {cosxdx = \sin x} + C$; $\int {cos\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\sin xdx = – cosx} + C$; $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}cosx\left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx = \tan x} + C$;
$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x} + C$;
Câu 4. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) $\int {\left( {\sin x + cosx} \right)dx} = cosx + \sin x + C$.
b) $\int {\sin 4xdx} = – cos4x + C$
c) $\int {cos\frac{x}{4}dx} = 4\sin \frac{x}{4} + C$.
d) $\int {\sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)} dx = cosx + C$
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Sai | Sai |
a) $\int {\left( {\sin x + cosx} \right)dx} = – cosx + \sin x + C$ nên a sai.
b) $\int {\sin 4xdx} = – \frac{1}{4}cos4x + C$ nên b sai
c) $\int {cos\frac{x}{4}dx} = \frac{1}{{\frac{1}{4}}}\sin \frac{x}{4} + C = 4\sin \frac{x}{4} + C$ nên c đúng
d) $\int {\sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)} dx = \int {\cos x} dx = \sin x + C$ nên d sai
Lưu ý: Áp dụng công thức hai cung phụ nhau
$\sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = cosx$; $cosx\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = \sin x$
Câu 5. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) $\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = x – \cot x + C$.
b) $\int {\left( {1 – {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \frac{1}{2}\left( {x + \sin x} \right) + C$
c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = x + \cos x + C$.
d) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = x – \cos x + C$
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Sai | Sai |
a) $\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + 1 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = \int {\left( {1 + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = x – \cot x + C$ nên a đúng.
Lưu ý:
$1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{co{s^2}x}}$; $1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$.
b) $\int {\left( {1 – {{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} = \int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} = \int {\frac{{1 – \cos x}}{2}dx} = \frac{1}{2}\left( {x – \sin x} \right) + C$ nên b sai.
Lưu ý:
Công thức hạ bậc $co{s^2}x = \frac{{1 + cos2x}}{2}$; ${\sin ^2}x = \frac{{1 – cos2x}}{2}$
c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {1 + \sin x} \right)} dx = x – \cos x + C$ nên c sai.
Lưu ý:
Công thức nhân đôi $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .cos\alpha $
d) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} – \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {1 – \sin x} \right)} dx = x + \cos x + C$ nên d sai.
Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ
Chú ý:
$\int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
$\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C$
Câu 6. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) $\int {\frac{1}{x}} \,dx = \ln x + C$.
b) $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \,dx = \tan x + C$.
c) $\int {\sin x} \,dx = – \cos x + C$.
d) $\int {{e^x}} \,dx = {e^x} + C$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Sai | Đúng | Đúng | Đúng |
a) $\int {\frac{1}{x}} \,dx = \ln \left| x \right| + C$ nên a sai
b) $\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \,dx = \tan x + C$ nên b đúng
$\int {\sin x} \,dx = – \cos x + C$ nên c đúng
$\int {{e^x}} \,dx = {e^x} + C$ nên d đúng
Câu 7. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) $\int {\cos xdx = \sin x + C} $.
b) $\int {{x^e}} dx = \frac{{{x^{e + 1}}}}{{e + 1}} + C$.
c) $\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right|} + C$.
d) $\int {{e^x}dx = \frac{{{e^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C} $.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Đúng | Sai |
a) $\int {\cos xdx = \sin x + C} $ nên a đúng
b) $\int {{x^e}} dx = \frac{{{x^{e + 1}}}}{{e + 1}} + C$ nên b đúng
c) $\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right|} + C$ nên c đúng
d) $\int {{e^x}dx = {e^x} + C} $ nên d sai
Câu 8. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) $\int {{2^x}dx} = {2^x}\ln 2 + C$.
b) $\int {{e^{2x}}dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C$.
c) $\int {{e^x}\left( {{e^x}– 1} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + {e^x} + C$.
d) $\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Sai | Đúng | Sai | Đúng |
a) $\int {{2^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$ nên a sai
b) $\int {{e^{2x}}dx} = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C$ nên b đúng
Lưu ý:
$\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
c) $\int {{e^x}\left( {{e^x}– 1} \right)} dx = \int {\left( {{e^{2x}} – {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} – {e^x} + C$nên c sai
d) $\int {{e^{3x}}{{.3}^x}dx} = \int {{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}dx} = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {3{e^3}} \right)}} + C = \frac{{{{\left( {3{e^3}} \right)}^x}}}{{3 + \ln 3}} + C$ nên d đúng
