I. Phương pháp
+ Nếu hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f(a)$ và $\mathop {max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f(b)$.
+ Nếu hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $\left[ {a;b} \right]$ thì $\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f(b)$ và $\mathop {max}\limits_{\left[ {a;b} \right]} f(x) = f(a)$.
II. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + m$. Tìm $m$ để $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y + \mathop {max}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = 4$.
Lời giải
Ta tìm $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y$ và $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y$.
Ta có: $y’ = 3{x^2} + 6x$
$y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0\,\,(nhận) \hfill \\
x = – 2\,\,(loại) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Khi đó, $y( – 1) = m + 2$; $y(2) = m + 20$; $y(0) = m$
Suy ra, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = m + 20$; $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = m$.
Theo đề $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y + \mathop {max}\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = 4$$ \Leftrightarrow m + m + 20 = 4$$ \Leftrightarrow m = – 8$
Vậy $m = – 8$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Cho hàm số $y = – {x^4} + 2{x^2} – m$. Tìm $m$ để $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;0} \right]} y + \mathop {max}\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;0} \right]} y = 10$.
Lời giải
Ta tìm $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;0} \right]} y$ và $\mathop {max}\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;0} \right]} y$.
Ta có: $y’ = – 4{x^3} + 4x$
$y’ = 0 \Leftrightarrow – 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 1\,\,(loại) \hfill \\
x = 0\,\,(nhận) \hfill \\
x = – 1\,\,(nhận) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Khi đó, $y\left( { – \sqrt 3 } \right) = – 3 – m$; $y(0) = – m$; $y( – 1) = 1 – m$.
Suy ra,$\mathop {\min }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;0} \right]} y = y\left( { – \sqrt 3 } \right) = – 3 – m$ và $\mathop {max}\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;0} \right]} y = y( – 1) = 1 – m$.
Theo đề $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;0} \right]} y + \mathop {max}\limits_{\left[ { – \sqrt 3 ;0} \right]} y = 10$$ \Leftrightarrow – 3 – m + 1 – m = 10$$ \Leftrightarrow m = – 6$
Vậy $m = – 6$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3. Cho hàm số $y = \frac{{x – m}}{{x – 2}}$. Tìm $m$ để $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = 5$.
Lời giải
Ta có: $y’ = \frac{{ – 2 + m}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$
Trường hợp 1: $ – 2 + m > 0 \Leftrightarrow m > 2$$ \Rightarrow $Hàm số $y$ đồng biến trên $\left[ { – 2;1} \right]$
Nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = y\left( { – 2} \right) = \frac{{ – 2 – m}}{{ – 2 – 2}} = \frac{{2 + m}}{4}$.
Theo đề $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = 5 \Leftrightarrow \frac{{2 + m}}{4} = 5$$ \Leftrightarrow 2 + m = 20 \Leftrightarrow m = 18$ (thỏa $m > 2$).
Trường hợp 2: $ – 2 + m < 0 \Leftrightarrow m < 2$$ \Rightarrow $Hàm số $y$ nghịch biến trên $\left[ { – 2;1} \right]$
Nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = y\left( 1 \right) = \frac{{1 – m}}{{1 – 2}} = – 1 + m$.
Theo đề $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = 5 \Leftrightarrow – 1 + m = 5$$ \Leftrightarrow m = 6$ (không thỏa $m < 2$).
Trường hợp 3: $ – 2 + m = 0 \Leftrightarrow m = 2$$ \Rightarrow $ $y = 1$
Theo đề $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;1} \right]} y = 5 \Leftrightarrow 1 = 5$ (vô lí)
Vậy, $m = 18$ thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 4. Cho hàm số $y = \frac{{2x – m}}{{x + 3}}$. Tìm $m$ để $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y + 4\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = 11$.
Lời giải
Ta có: $y’ = \frac{{6 + m}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}$
Trường hợp 1: $6 + m > 0 \Leftrightarrow m > – 6$$ \Rightarrow $Hàm số $y$ đồng biến trên $\left[ {0;1} \right]$
Nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = \frac{{ – m}}{3}$ và $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 1 \right) = \frac{{2 – m}}{4}$.
Theo đề $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y + \mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = 11$$ \Leftrightarrow \frac{{ – m}}{3} + 4.\frac{{2 – m}}{4} = 11$
$ \Leftrightarrow \frac{{ – m}}{3} + 2 – m = 11$$ \Leftrightarrow m = – \frac{{27}}{4}$(không thỏa $m > – 6$).
Trường hợp 2: $6 + m < 0 \Leftrightarrow m < – 6$$ \Rightarrow $Hàm số $y$ nghịch biến trên $\left[ {0;1} \right]$
Nên $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 1 \right) = \frac{{2 – m}}{4}$ và $\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = \frac{{ – m}}{3}$.
Theo đề $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y + \mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = 11$$ \Leftrightarrow \frac{{2 – m}}{4} + 4.\frac{{ – m}}{3} = 11 \Leftrightarrow m = – \frac{{126}}{{19}}$ (thỏa $m < – 6$).
Trường hợp 3: $6 + m = 0 \Leftrightarrow m = – 6$$ \Rightarrow $ $y = 2$
Theo đề $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y + 4\mathop {max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = 11 \Leftrightarrow 2 + 4.2 = 11$ (vô lí)
Vậy, $m = – \frac{{126}}{{19}}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 5. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} – {m^2}}}{x}$. Tìm $m$ để $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y + 3\mathop {max}\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 5$.
Lời giải
Ta tìm $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y$ và $\mathop {max}\limits_{\left[ {1;3} \right]} y$.
Ta có: $y’ = \frac{{{x^2} – {m^2}}}{x} = \frac{{{{\left( {{x^2} – {m^2}} \right)}^\prime }x – \left( {{x^2} – {m^2}} \right){{\left( x \right)}^\prime }}}{{{x^2}}}$
$ = \frac{{2x.x – \left( {{x^2} – {m^2}} \right).1}}{{{x^2}}}$$ = \frac{{{x^2} + {m^2}}}{{{x^2}}} > 0,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
$ \Rightarrow $Hàm số $y$ đồng biến trên $\left[ {1;3} \right]$
Suy ra, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 1 \right) = 1 – {m^2}$ và $\mathop {max}\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = \frac{{9 – {m^2}}}{3}$.
Theo đề, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y + 3\mathop {max}\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 5$$ \Leftrightarrow 1 – {m^2} + 9 – {m^2} = 5 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{5}{2} \Rightarrow m = \pm \frac{{\sqrt {10} }}{2}$
Vậy $m = \pm \sqrt 5 $ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 6. Cho hàm số $y = \frac{{ – {x^2} + 2x + {m^2}}}{{x – 2}}$. Tìm $m$ để $\mathop {2\min }\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} y + 4\mathop {max}\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} y = – 10$.
Lời giải
Ta tìm $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} y$ và $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} y$.
Ta có: $y’ = \frac{{{{\left( { – {x^2} + 2x + {m^2}} \right)}^\prime }\left( {x – 2} \right) – \left( { – {x^2} + 2x + {m^2}} \right){{\left( {x – 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{\left( { – 2x + 2} \right)\left( {x – 2} \right) – \left( { – {x^2} + 2x + {m^2}} \right).1}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{\left( { – 2x + 2} \right)\left( {x – 2} \right) – \left( { – {x^2} + 2x + {m^2}} \right).1}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{ – 2{x^2} + 4x + 2x – 4 + {x^2} – 2x – {m^2}}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{ – {x^2} + 4x – 4 – {m^2}}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} = \frac{{ – \left( {{x^2} – 4x + 4} \right) – {m^2}}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}$
$ = \frac{{ – {{\left( {x – 2} \right)}^2} – {m^2}}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} < 0,\,\forall x \in \left[ { – 2;0} \right]$
$ \Rightarrow $Hàm số nghịch biến trên $\left[ { – 2;0} \right]$
Suy ra, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} y = y\left( 0 \right) = – \frac{{{m^2}}}{2}$ và $\mathop {max}\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} y = y\left( { – 2} \right) = \frac{{8 – {m^2}}}{4}$.
Theo đề, $\mathop {2\min }\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} y + 4\mathop {max}\limits_{\left[ { – 2;0} \right]} y = 1$$ \Leftrightarrow – {m^2} + 8 – {m^2} = – 10$$ \Leftrightarrow {m^2} = 9 \Rightarrow m = \pm 3$
Vậy $m = \pm 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
