Cách tìm tiệm cận đứng ngang xiên của đồ thị hàm số được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
I. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
1. Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$.
Bước 2: Sử dụng định nghĩa đường tiệm cận đứng.
Đường thẳng $x = {x_0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây thỏa mãn:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = – \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x) = + \infty $; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x) = – \infty $.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{3x – 5}}{{x – 4}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}$
Ta có:
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{3x – 5}}{{x – 4}} = + \infty $;
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} \frac{{3x – 5}}{{x – 4}} = – \infty $
Suy ra, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 4$.
Ví dụ 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{5x + 1}}{{x + 3}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3} \right\}$
Ta có:
*$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} \frac{{x + 1}}{{x + 3}} = – \infty $;
*$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} \frac{{x + 1}}{{x + 3}} = + \infty $
Suy ra, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = – 3$.
Ví dụ 3. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 4x – 2}}{{x – 1}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Ta có:
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 4x – 2}}{{x – 1}} = + \infty $;
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} + 4x – 2}}{{x – 1}} = – \infty $
Suy ra, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$.
Ví dụ 4. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{ – {x^2} + 2x – 7}}{{2x – 9}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{9}{2}} \right\}$
Ta có:
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{9}{2}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{9}{2}}^ + }} \frac{{ – {x^2} + 2x – 7}}{{2x – 9}} = – \infty $;
- $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{9}{2}}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{9}{2}}^ – }} \frac{{ – {x^2} + 2x – 7}}{{2x – 9}} = + \infty $
Suy ra, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = \frac{9}{2}$.
Ví dụ 5. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} – 9x + 8}}{{x – 8}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 8 \right\}$
Ta có:
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} \frac{{{x^2} – 9x + 8}}{{x – 8}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} \frac{{\left( {x – 8} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{x – 8}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} \left( {x – 1} \right) = 8 – 1 = 7$;
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ – }} \frac{{{x^2} – 9x + 8}}{{x – 8}}$
$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ – }} \frac{{\left( {x – 8} \right)\left( {x – 1} \right)}}{{x – 8}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ – }} \left( {x – 1} \right) = 8 – 1 = 7$
Suy ra, $x = 8$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy, đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Ví dụ 6. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 8}}{{{x^2} + 5x – 6}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 6;1} \right\}$
* Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {6^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {6^ + }} \frac{{x – 8}}{{{x^2} + 5x – 6}} = + \infty $;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to – {6^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {6^ – }} \frac{{x – 8}}{{{x^2} + 5x – 6}} = – \infty $
Suy ra, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = – 6$.
* Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x – 8}}{{{x^2} + 5x – 6}} = – \infty $;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x – 8}}{{{x^2} + 5x – 6}} = + \infty $.
Suy ra, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$.
Vậy, đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là $x = – 6$ và $x = 1$.
Ví dụ 7. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{{x^2} – 5x + 4}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;4} \right\}$
* Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x – 1}}{{{x^2} – 5x + 4}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x – 1}}{{\left( {x – 4} \right)\left( {x – 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{x – 4}} = – \frac{1}{3}$;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x – 1}}{{{x^2} – 5x + 4}}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x – 1}}{{\left( {x – 4} \right)\left( {x – 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{1}{{x – 4}} = – \frac{1}{3}$.
Suy ra, đường thẳng $x = 1$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
* Ta có:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{x – 1}}{{{x^2} – 5x + 4}} = + \infty $;
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} \frac{{x – 1}}{{{x^2} – 5x + 4}} = – \infty $
Suy ra, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 4$.
Vậy, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là $x = 4$.
II. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1. Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa: Đường thẳng $y = {y_0}$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = {y_0}$.
2. Các ví dụ
Ví dụ 8. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{ – 10x – 2}}{{2x – 3}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{2}} \right\}$
Ta có:
*$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 10x – 2}}{{2x – 3}} = \frac{{ – 10}}{2} = – 5$;
*$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 10x – 2}}{{2x – 3}} = \frac{{ – 10}}{2} = – 5$.
Suy ra, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = – 5$.
Ví dụ 9. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 10}}{{7x + 3}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{3}{7}} \right\}$
Ta có:
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x – 10}}{{7x + 3}} = \frac{1}{7}$;
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x – 10}}{{7x + 3}} = \frac{1}{7}$
Suy ra, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = \frac{1}{7}$.
III. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
1. Phương pháp:
Cách 1:
Bước 1: Thực hiện pháp chia đa thức cho đa thức ta được $y = ax + b + \frac{M}{{cx + d}}$.
Bước 2. Sử dụng định nghĩa
Đường thẳng $y = ax + b$ $(a \ne 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) – (ax + b)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f(x) – (ax + b)} \right] = 0$
Cách 2: Nếu đồ thị hàm số $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}$ có tiệm cận xiên là $y = Ax + B$ thì $A = \frac{a}{d}$ và $B = \frac{{b.d – a.e}}{{{d^2}}}$.
2. Các ví dụ
Ví dụ 10. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 4x – 7}}{{x – 2}}$.
Lời giải
Cách 1:
$y = \frac{{{x^2} + 4x – 7}}{{x – 2}} = x + 6 + \frac{5}{{x – 2}}$
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$
Ta có:
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y – \left( {x + 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{x – 2}} = 0$;
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {y – \left( {x + 6} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{5}{{x – 2}} = 0$.
Suy ra, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x + 6$.
Cách 2: Ta có
$A = \frac{a}{d} = \frac{1}{1} = 1$
$B = \frac{{b.d – a.e}}{{{d^2}}} = \frac{{4.1 – 1.( – 2)}}{{{1^2}}} = 6$
Suy ra, tiệm cận xiên là $y = x + 6$
Ví dụ 11. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{ – {x^2} + 4x – 1}}{{x + 3}}$.
Lời giải
Cách 1:
$y = \frac{{ – {x^2} + 4x – 1}}{{x + 3}} = – x + 7 – \frac{{22}}{{x + 3}}$
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 3} \right\}$
Ta có:
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y – \left( { – x + 7} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 22}}{{x + 3}} = 0$;
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {y – \left( { – x + 7} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 22}}{{x + 3}} = 0$.
Suy ra, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = – x + 7$.
Cách 2: Ta có
$A = \frac{a}{d} = \frac{{ – 1}}{1} = – 1$
$B = \frac{{b.d – a.e}}{{{d^2}}} = \frac{{4.1 – ( – 1).3}}{{{1^2}}} = 7$
Suy ra, tiệm cận xiên là $y = – x + 7$
Ví dụ 12. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{ – 3x + 7}}{{x – 6}}$.
Lời giải
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 6 \right\}$
Ta có:
*$\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ + }} \frac{{ – 3x + 7}}{{x – 6}} = – \infty $;
*$\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ – }} \frac{{ – 3x + 7}}{{x – 6}} = + \infty $
Suy ra, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 6$.
Ta có:
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 3x + 7}}{{x – 6}} = \frac{{ – 3}}{1} = – 3$;
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 3x + 7}}{{x – 6}} = \frac{{ – 3}}{1} = – 3$
Suy ra, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = – 3$.
Vậy
– Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 6$.
– Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = – 3$.
Ví dụ 13. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{{2{x^2} – 9x + 3}}{{x + 2}}$.
Lời giải
$y = \frac{{2{x^2} – 9x + 3}}{{x + 2}} = 2x – 13 + \frac{{29}}{{x + 2}}$
Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}$
Tìm tiệm cận đứng
Ta có:
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} \frac{{2{x^2} – 9x + 3}}{{x + 2}} = + \infty $;
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \frac{{2{x^2} – 9x + 3}}{{x + 2}} = – \infty $
Suy ra, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = – 2$.
Tìm tiệm cận xiên
Cách 1: Ta có:
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y – \left( {2x – 13} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{29}}{{x + 2}} = 0$;
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {y – \left( {2x – 13} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{29}}{{x + 2}} = 0$.
Suy ra, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = 2x – 13$.
Cách 2: Ta có
$A = \frac{a}{d} = \frac{2}{1} = 2$
$B = \frac{{b.d – a.e}}{{{d^2}}} = \frac{{ – 9.1 – 2.2}}{{{1^2}}} = – 13$
Suy ra, tiệm cận xiên là $y = 2x – 13$
Vậy
– Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = – 2$.
– Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = 2x – 13$.
