Các dạng trả lời ngắn các yếu tố liên quan đến đường thẳng trong không gian Oxyz giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN CÁC YẾU TỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng xác định điểm thuộc và không thuộc đường thẳng
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $B\left( {1;\;1;\;1} \right),C\left( {3;\;4;\;0} \right)$. Biết một vectơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ có tọa độ là $\left( {2;b;c} \right)$. Tính $b + c$.
Lời giải
Đường thẳng $BC$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {BC} = \left( {2;3; – 1} \right)$
Vậy $b + c = 3 + ( – 1) = 2$.
Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;\;3;\; – 2} \right)$, $B\left( {0;\;5;\;4} \right)$. Biết một vectơ chỉ phương của đường thẳng qua hai điểm $A$, $B$ có tọa độ là $\left( {1;b;c} \right)$. Tính $b + c$.
Lời giải
Đường thẳng qua hai điểm $A$, $B$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;\;2;\;6} \right) = – 1.\left( {1; – 2; – 6} \right)$ .
Suy ra nó cũng có một có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1; – 2; – 6} \right)$.
Vậy $b + c = – 2 + ( – 6) = – 8$.
Câu 3. Trong không gian $Oxyz,$cho mặt phẳng $\left( P \right):x – 3y + 2z + 1 = 0.$ Gọi $\Delta $ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$. Biết một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ có tọa độ là $\left( {3;b;c} \right)$. Tính $b + c$.
Lời giải
Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với $\left( P \right)$có vectơ chỉ phương $\vec u = {\vec n_P} = \left( {1; – 3;2} \right) = \frac{1}{3}.\left( {3; – 9;6} \right)$.
Suy ra nó cũng có một có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {3; – 9;6} \right)$.
Vậy $b + c = – 9 + 3 = – 3$.
Câu 4. Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):3x – 2y – z + 2024 = 0$, $\left( Q \right):x – 2y + 2025 = 0.$ Gọi $\Delta $ là đường thẳng song song với hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Biết một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ có tọa độ là $\left( {2;b;c} \right)$. Tính $b + c$.
Lời giải
Đường thẳng $\Delta $ song song với hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên có vectơ chỉ phương:
$\vec u = \left[ {{{\vec n}_P},{{\vec n}_Q}} \right] = \left( { – 2;1; – 4} \right) = – 1.\left( {2; – 1;4} \right)$.
Suy ra $\Delta $ cũng có một có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2; – 1;4} \right)$.
Vậy $b + c = – 1 + 4 = 3$.
Câu 5. Trong không gian $Oxyz,$cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 3y – 2z + 2025 = 0$, $\vec a = \left( {1;1;0} \right)$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ và vuông góc với giá của vectơ $\vec a$. Biết một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ có tọa độ là $\left( {2;b;c} \right)$. Tính $b + c$.
Lời giải
Đường thẳng $\Delta $ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ và song song vectơ $\vec a$ nên có vectơ chỉ phương:
$\vec u = \left[ {{{\vec n}_P},\vec a} \right] = \left( {2;2; – 2} \right)$.
Vậy $b + c = 2 + ( – 2) = 0$.
Câu 6. Trong không gian $Oxyz,$cho đường $\Delta :\frac{{x – 1}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$. Gọi $M$ là điểm thuộc $\Delta $. Biết $M$ có tọa độ $\left( {a;b;2} \right)$. Tính $a + b$.
Lời giải
Ta có: $M\left( {a;b;2} \right)$ thuộc $\Delta $ nên $\frac{{a – 1}}{3} = \frac{b}{2} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{a – 1}}{3} = \frac{2}{1} \hfill \\
\frac{b}{2} = \frac{2}{1} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 7 \hfill \\
b = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $a + b = 7 + 4 = 11$.
Dạng 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Câu 7. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered}
x = t \hfill \\
y = 1 – t \hfill \\
z = 2 + t \hfill \\
\end{gathered} \right.$ và ${\Delta _2}:\frac{{x – 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 4}}{{ – 1}}$. Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ là tọa độ giao điểm của ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$. Giá trị $a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Thay $x,\,y,\,z$ của ${\Delta _1}$ vào phương trình của ${\Delta _2}$ ta được $\frac{{t – 2}}{3} = \frac{{1 – t + 1}}{2} = \frac{{2 + t – 4}}{{ – 1}}$
$ \Leftrightarrow \frac{{t – 2}}{3} = \frac{{2 – t}}{2} = \frac{{t – 2}}{{ – 1}}$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{t – 2}}{3} = \frac{{2 – t}}{2} \hfill \\
\frac{{2 – t}}{2} = \frac{{t – 2}}{{ – 1}} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow t = 2$
Suy ra, $\left\{ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
y = – 1 \hfill \\
z = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Do đó, $M(2; – 1;4)$.
Vậy $a + b + c = 2 + ( – 1) + 4 = 5$
Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng: ${d_1}:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ – 2}} = \frac{{z – 1}}{1}$, ${d_2}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{1}$. Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ là tọa độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$. Giá trị $5a + 5b + 5c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{gathered}
\frac{x}{1} = \frac{y}{{ – 2}} = \frac{{z – 1}}{1} \hfill \\
\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{1} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 2x – y = 0 \hfill \\
x – z = – 1 \hfill \\
x – 2y = 3 \hfill \\
x – 2z = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = – \frac{1}{5} \hfill \\
y = \frac{2}{5} \hfill \\
z = \frac{4}{5} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra $M\left( { – \frac{1}{5};\frac{2}{5};\frac{4}{5}} \right)$
Vậy $5a + 5b + 5c = – 1 + 2 + 4 = 5$.
Dạng 3: Tính góc giữa hai đường thẳng-Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng-Tính góc giữa hai mặt phẳng
Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $H( 2;1;2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ xuống mặt phẳng $\left( P \right)$. Biết số đo góc giữa mặt $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right):x + y – 11 = 0$ là ${a^0}$. Giá trị $a$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$\left( P \right)$qua O và nhận $\overrightarrow {OH} = \left( {2;1;2} \right)$làm VTPT
$\left( Q \right):x – y – 11 = 0$ có VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)$
Ta có $\cos \left( {\widehat {\left( P \right),\left( Q \right)}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {OH} .\overrightarrow n } \right|}}{{OH.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$$ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)} = {45^0}$
Vậy $a = 45$.
Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$có phương trình $x – 2y + 2z – 5 = 0$. Xét mặt phẳng $(Q):x + (2m – 1)z + 7 = 0$, với $m$ là tham số thực. Gọi ${m_1}$ và ${m_2}$ là các giá trị để $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi }{4}$. Tính ${m_1} + {m_2}$.
Lời giải
Mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_p}} = \left( {1; – 2;2} \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0;2m – 1} \right)$
Vì $(P)$ tạo với $(Q)$ góc $\frac{\pi }{4}$ nên
$cos\frac{\pi }{4} = \left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_p}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {1 + 2(2m – 1)} \right|}}{{3.\sqrt {1 + {{(2m – 1)}^2}} }}$
$ \Leftrightarrow 2{\left( {4m – 1} \right)^2} = 9\left( {4{m^2} – 4m + 2} \right)$
$ \Leftrightarrow 4{m^2} – 20m + 16 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 1 \hfill \\
m = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy ${m_1} + {m_2} = 1 + 4 = 5$.
Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):\left( {2m – 1} \right)x – 3my + 2z + 3 = 0$ và $\left( \beta \right):mx + \left( {m – 1} \right)y + 4z – 5 = 0$. Gọi ${m_1}$ và ${m_2}$ là các giá trị để $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ vuông góc với nhau. Tính ${m_1} + {m_2}$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2m – 1; – 3m;2} \right)$; $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {m;m – 1;4} \right)$.
Khi đó, $\left( \alpha \right) \bot (\beta ) \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} \bot \overrightarrow {{n_\beta }} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\beta }} = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {2m – 1} \right).m – 3m\left( {m – 1} \right) + 2.4 = 0$
$ \Leftrightarrow 2{m^2} – m – 3{m^2} + 3m + 8 = 0$
$ \Leftrightarrow – {m^2} + 2m + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 4 \hfill \\
m = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy ${m_1} + {m_2} = 4 + ( – 2) = 2$.
Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + 2t \hfill \\
y = 3 – mt \hfill \\
z = – 4 + 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{z}{{ – 1}}$. Gọi $m$ là giá trị của tham số để ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$. Tìm $m$ (quy tròn đến hàng phần trăm)
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \left( {2; – m;3} \right)$; $\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} = \left( {2;3; – 1} \right)$.
Khi đó, ${\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} \bot \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} .\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} \, = 0$
$ \Leftrightarrow 2.2 + ( – m).3 + 3.( – 1) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3} \approx 0,33$.
Vậy $m = 0,33$.
