TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ VÀ HẰNG SỐ C
I. Bài Toán: Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn $F(a) = b$. Tìm $F(x)$.
Bước 1. Giả sử $F(x) = G(x) + {C_0}$.
Ta tìm G(x).
+ Chọn ${x_0}$ mà f(x) liên tục tại ${x_0}$.
+ Tính $f({x_0})$
+ Tính ${G^/}({x_0})$
– Nếu ${G^/}({x_0}) = f({x_0}) \Rightarrow $G(x) là một nguyên hàm của f(x).
– Nếu ${G^/}({x_0}) \ne f({x_0}) \Rightarrow $G(x) không là một nguyên hàm của f(x).
Bước 2. Tìm C.
Giả sử $F(x) = F(x;{C_0}) = G(x) + {C_0}$
Ta tính $F(a;{C_0})$
+ Nếu $F(a;{C_0}) = b$ thì $F(x) = G(x) + {C_0}$ là một nguyên hàm của f(x).
+ Nếu $F(a;{C_0}) \ne b$ thì $F(x) = G(x) + {C_0}$ không là một nguyên hàm của f(x).
II. CÁC VÍ DỤ
Câu 1. ( ĐỀ THPT QG 2017). Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^x} + 2x$ thỏa mãn $F(0) = \frac{3}{2}$. Tìm $F(x)$.
A. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \frac{3}{2}.$ B. $F(x) = 2{e^x} + {x^2} – \frac{1}{2}.$
C. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \frac{5}{2}.$ D. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}.$
Giải:
Bước 1. Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số f(x).
+ Tính $f(1) = 4,718281828$?
+ Tính ${G^/}(1)$
A. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \frac{3}{2}.$
Ghi vào màng hình $\frac{d}{{dx}}\left( {{e^x} + {x^2}} \right)\left| {_{x = 1} = 4,718281828} \right.$ bằng f(1).
Như vậy $F(x) = {e^x} + {x^2} + C$
Vậy ta có thể chọn phương án A, C hoặc D.
Bước 2. $F(x;C) = {e^x} + {x^2} + C$
Ghi vào màng hình ${e^x} + {x^2} + C$
A. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \frac{3}{2}.$ Tính $F(0;\frac{3}{2}) = \frac{5}{2}$$ \ne \frac{3}{2}$
C. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \frac{5}{2}.$ Tính $F(0;\frac{5}{2}) = \frac{7}{2}$$ \ne \frac{3}{2}$
D. $F(x) = {e^x} + {x^2} + \frac{1}{2}.$ Tính $F(0;\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 2. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = {\sin ^2}x$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{4}$. Tìm $F(x)$.
A. $F(x) = x – \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\pi }{8}.$ B. $F(x) = \frac{1}{2}x – \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{\pi }{8}.$
C. $F(x) = \frac{1}{2}x – \frac{1}{4}\sin 2x – \frac{\pi }{8}.$ D. $F(x) = \frac{1}{2}x – \frac{1}{4}{\rm{cos}}2x – \frac{\pi }{8}.$
Giải:
Bước 1. Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số f(x).
+ Tính $f(1) = 0,7080734183$?
+ Tính ${G^/}(1)$
A. $F(x) = x – \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\pi }{8}.$
Ghi vào màng hình $\frac{d}{{dx}}\left( {x – \frac{1}{2}\sin 2x} \right)\left| {_{x = 1} = 1,416146837} \right.$ khác f(1).
B. $F(x) = \frac{1}{2}x – \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{\pi }{8}.$
Ghi vào màng hình $\frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{2}x – \frac{1}{4}\sin 2x} \right)\left| {_{x = 1} = 0,7080734183} \right.$ bằng f(1).
Như vậy $G(x) = \frac{1}{2}x – \frac{1}{4}\sin 2x.$
Ta chọn phương án B hoặc phương án C
Bước 2. $F(x;C) = \frac{1}{2}x – \frac{1}{4}\sin 2x + C$
Ghi vào màng hình $\frac{1}{2}x – \frac{1}{4}\sin 2x + C$
B. Tính $F(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{8}) = 0,5353981634$ khác $ – \frac{1}{4}$
C. Tính $F(\frac{\pi }{4}; – \frac{\pi }{8}) = – \frac{1}{4}$
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 3. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x – 1){e^x}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 1$. Tìm $F(x)$.
A. $F(x) = (x – 1).{e^x}$ B. $F(x) = (x – 2).{e^x}$
C. $F(x) = (x + 1).{e^x} + 1$ D. $F(x) = (x – 2).{e^x} + 3$
Giải:
Bước 1. Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số f(x).
+ Tính $f(2) = 7,389056099$?
+ Tính ${G^/}(2)$
A. $F(x) = (x – 1).{e^x}$
Ghi vào màng hình $\frac{d}{{dx}}\left( {(x – 1).{e^x}} \right)\left| {_{x = 2} = 14,7781122} \right.$ khác f(2). (loại)
B. $F(x) = (x – 2).{e^x}$
Ghi vào màng hình $\frac{d}{{dx}}\left( {(x – 2).{e^x}} \right)\left| {_{x = 2} = 7,389056099} \right.$ bằng f(2).
Như vậy $G(x) = (x – 2).{e^x}.$
Chọn B hoặc D
Bước 2. $F(x;C) = (x – 2).{e^x} + C$
Ghi vào màng hình $(x – 2).{e^x} + C$
B. $F(x) = (x – 1).{e^x}.$ Tính $F(0;0) = – 2$ khác $1$ (loại)
D. $F(x) = (x – 2).{e^x} + 3.$ Tính $F(0;3) = 1$
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 4 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017). Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn ${f^/}(x) = 3 – 5\sin x$và $f(0) = 10$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?.
A. $f(x) = 3x + 5{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 5$ B. $f(x) = 3x + 5{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 2$
C. $f(x) = 3x – 5{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 2$ D. $f(x) = 3x – 5{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 15$
Giải:
Bài Toán trên tương đương với bài toán.
Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3 – 5\sin x$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 10$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?.
A. $F(x) = 3x + 5{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 5$ B. $F(x) = 3x + 5{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 2$
C. $F(x) = 3x – 5{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 2$ D. $F(x) = 3x – 5{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 15$
Bước 1. Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số f(x).
+ Tính $f(2) = – 1,546487134$?
+ Tính ${G^/}(2)$
A. $F(x) = 3x + 5{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + 5$
Ghi vào màng hình $\frac{d}{{dx}}\left( {3x + 5{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right)\left| {_{x = 2} = – 1,546487134} \right.$bằng f(2).
Như vậy ta chọn A hoặc B
Bước 2. $F(x;C) = 3x + 5{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + C$
Ghi vào màng hình $3x + 5{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + C$
A. Tính $F(0;5) = 10$ (Nhận)
Vậy ta chọn phương án A.
