Các dạng bài tập trắc nghiệm tích phân có điều kiện giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN CÓ ĐIỀU KIỆN
Chú ý :
$\int\limits_a^b {f(x)dx} = \left. {F(x)} \right|_a^b = F(b) – F(a)$ trong đó $\left. {F(x)} \right|$ là một nguyên hàm của $f(x)$
$\int\limits_a^b {f'(x)dx} = \left. {f(x)} \right|_a^b = f(b) – f(a)$
Câu 1. Nếu $F’\left( x \right) = 2 – \sin x$ và $F\left( 0 \right) = – 2$ thì giá trị của $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ bằng
A. $\pi $ B. $\pi – 1$ C. $\pi – 2$ D. $\pi – 3$
Lời giải
Ta có: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {F’\,\left( x \right)} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 – \sin x} \right)} dx = \left. {\left( {2x + cosx} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi – 1$.
Lại có: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {F’\,\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) – F\left( 0 \right)$.
Chú ý : $\int\limits_a^b {f(x)dx} = \left. {F(x)} \right|_a^b = F(b) – F(a)$
Suy ra $F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) – F\left( 0 \right) = \pi – 1$.
$ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \pi – 1 + F\left( 0 \right) = \pi – 1 + ( – 2) = \pi – 3$
Chọn B.
Câu 2. Nếu $F’\left( x \right) = 3{e^x}$ và $F\left( {\ln 7} \right) = 10$ thì giá trị của $F\left( 0 \right)$ bằng
A. $18$ B. $ – 5$ C. $ – 8$ D. $ – 9$
Lời giải
Chọn C.
Ta có: $\int\limits_0^{\ln 7} {F’\,\left( x \right)} dx = \int\limits_0^{\ln 7} {3{e^x}} dx = \left. {3{e^x}} \right|_0^{\ln 7} = 18$.
Lại có: $\int\limits_0^{\ln 7} {F’\,\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^{\ln 7} = F\left( {\ln 7} \right) – F\left( 0 \right)$.
Suy ra $F\left( {\ln 7} \right) – F\left( 0 \right) = 18$.
$ \Rightarrow F\left( 0 \right) = F\left( {\ln 7} \right) – 18 = 10 – 18 = – 8$
Câu 3. Nếu $F’\left( x \right) = 2x + 7$ và $F\left( 2 \right) = 5$ thì giá trị của $F\left( 1 \right)$ bằng
A. $1$ B. $ – 5$ C. $10$ D. $15$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\int\limits_1^2 {F’\,\left( x \right)} dx = \int\limits_1^2 {\left( {2x + 7} \right)} dx = \left. {\left( {{x^2} + 7x} \right)} \right|_1^2 = 10$.
Lại có: $\int\limits_1^2 {F’\,\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^2 = F\left( 2 \right) – F\left( 1 \right)$.
Suy ra $F\left( 2 \right) – F\left( 1 \right) = 10$.
$ \Rightarrow F(1) = F(2) – 10 = 5 – 10 = – 5$
Câu 4. Nếu $F’\left( x \right) = \frac{1}{{2x}}$ và $F\left( 1 \right) = 1$ thì giá trị của $F\left( 4 \right)$ bằng
A. $\ln 2.$ B. $1 + \ln 2$ C. $1 + \frac{1}{2}\ln 2$ D. $\frac{1}{2}\ln 2$
Lời giải
Chọn B.
Ta có: $\int\limits_1^4 {F’\,\left( x \right)} dx = \int\limits_1^4 {\frac{1}{{2x}}} dx = \left. {\frac{1}{2}\ln |x|} \right|_1^4 = \ln 2$.
Lại có: $\int\limits_1^4 {F’\,\left( x \right)} dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_1^4 = F\left( 4 \right) – F\left( 1 \right)$.
Suy ra $F\left( 4 \right) – F\left( 1 \right) = \ln 2$.
Do đó $F\left( 4 \right) = F\left( 1 \right) + \ln 2 = 1 + \ln 2$.
Câu 5. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{2}{x}$. Biết $F\left( { – 1} \right) = 0$. Tính $F\left( { – 2} \right)$.
A. $2\ln 2 + 1$. B. $\ln 2$. C. $2\ln 3 + 2$. D. $2\ln 2$.
Lời giải
Chọn D.
Ta có: $\int\limits_{ – 2}^{ – 1} {f(x)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_{ – 2}^{ – 1} = F\left( { – 1} \right) – F\left( { – 2} \right)} $
$\int\limits_{ – 2}^{ – 1} {f(x)dx = } \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\frac{2}{x}} = \left. {2\ln \left| x \right|} \right|_{ – 2}^{ – 1} = – 2\ln 2$
$ \Rightarrow F\left( { – 1} \right) – F\left( { – 2} \right) = – 2\ln 2$
$ \Rightarrow F\left( { – 2} \right) = F\left( { – 1} \right) + 2\ln 2 = 0 + 2\ln 2 = 2\ln 2$
Câu 6. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, có đạo hàm trên $\left[ {0;2025} \right]$, $f\left( 0 \right) = 2030$; $f\left( {2025} \right) = 4$. Tích phân $\int\limits_0^{2025} {f’\left( x \right)} dx$ bằng
A. $2026.$ B. $2027.$ C. $2024.$ D. $2025.$
Lời giải
Chú ý : $\int\limits_a^b {f'(x)dx} = \left. {f(x)} \right|_a^b = f(b) – f(a)$
Ta có $\int\limits_0^{2025} {f’\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^{2025} = f\left( {2025} \right) – f\left( 0 \right)$
$ = 2030 – 4 = 2026$
Chọn A.
Câu 7. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, có đạo hàm trên $\left[ { – 1;2} \right]$, $f\left( { – 1} \right) = 8$; $f\left( 2 \right) = – 1$. Tích phân $\int\limits_{ – 1}^2 {f’\left( x \right)} dx$ bằng
A. $1.$ B. $7.$ C. $ – 9.$ D. $9.$
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\int\limits_{ – 1}^2 {f’\left( x \right)} dx = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ – 1}^2 = f\left( 2 \right) – f\left( { – 1} \right)$
$ = – 1 – 8 = – 9$
Câu 8. Biết $F\left( x \right) = {x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]dx} $ bằng
A. $10$. B. $8$. C. $\frac{{26}}{3}$. D. $\frac{{32}}{3}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]dx} = \left. {\left( {x + F\left( x \right)} \right)} \right|_1^3 = \left. {\left( {x + {x^2}} \right)} \right|_1^3 = 12 – 2 = 10.$
Câu 9. Biết $F(x) = {x^3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^3 {(1 + f(x))dx} $bằng
A. 20. B. 22. C. 26. D. 28.
Lời giải
Chọn D.
Ta có $\int\limits_1^3 {\left[ {1 + f(x)} \right]} dx = \left[ {x + F(x)} \right]\left| {\mathop {}\limits_1^3 } \right. = \left[ {x + {x^3})} \right]\left| {\mathop {}\limits_1^3 } \right. = 30 – 2 = 28$.
Câu 10. Biết $F\left( x \right) = {x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^2 {\left[ {2 + f\left( x \right)} \right]dx} $ bằng
A. $5$. B. $3$. C. $\frac{{13}}{3}$. D. $\frac{7}{3}$.
Lời giải
Chọn A.
Ta có: $\int\limits_1^2 {\left[ {2 + f\left( x \right)} \right]dx} = \left( {2x + {x^2}} \right)\left| \begin{gathered}
2 \hfill \\
1 \hfill \\
\end{gathered} \right. = 8 – 3 = 5$
Câu 11. Biết $F(x) = {x^3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)} dx$ bằng
A. $\frac{{23}}{4}$. B. $7$. C. $9$. D. $\frac{{15}}{4}$.
Lời giải
Chọn C.
Ta có $\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)} dx = \int\limits_1^2 {2dx} + \int\limits_1^2 {f(x)dx} $
$ = \left. {2x} \right|_1^2 + \left. {F(x)} \right|_1^2 = 2 + \left. {{x^3}} \right|_1^2 = 2 + 7 = 9$
Câu 12. Cho hàm số $f\left( x \right)$. Biết $f\left( 0 \right) = 1$ và $f’\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{3}, \forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} $ bằng
A. $\frac{{93}}{4}$ B. $\frac{{47}}{2}$ C. $23$ D. $\frac{{91}}{4}$
Lời giải
Chọn A.
Ta có $f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx = \int {\frac{{{x^2}}}{3}} } dx = {x^3} + C.$
Do $f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1$
Suy ra $f\left( x \right) = {x^3} + 1$
Suy ra $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {\left( {{x^3} + 1} \right)dx} $$ = \left( {\frac{{{x^4}}}{4} + x} \right)\left| \begin{gathered}
3 \hfill \\
0 \hfill \\
\end{gathered} \right. = \frac{{93}}{4}$
Câu 13. Cho hàm số $f\left( x \right)$. Biết $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5$ và $f’\left( x \right) = 3cosx, \forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} $ bằng
A. $\frac{{93}}{4}$ B. $\frac{{47}}{2}$
C. $23$ D. $\frac{{91}}{4}$
Lời giải
Chọn A.
Ta có $f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx = \int {3cosx} } dx = 3\sin x + C.$
Do $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5 \Leftrightarrow 3\sin \frac{\pi }{2} + C = 5 \Rightarrow C = 2$
Suy ra $f\left( x \right) = 3\sin x + 2$
Vậy $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x + 2} \right)dx} $
$ = \left. {\left( { – 3cosx + 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \pi + 3$
Câu 14. Cho hàm số $f\left( x \right)$. Biết $f\left( 0 \right) = 4$ và $f’\left( x \right) = 2{\sin ^2}\frac{x}{2} + 1, \forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} $ bằng
A. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 8\sqrt 2 – 16}}{{16}}$ B. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 2\sqrt 2 – 4}}{{16}}$
C. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 8\sqrt 2 }}{{16}}$ D. $\frac{{{\pi ^2} + 16\pi – 16}}{{16}}.$
Lời giải
Chọn A.
Ta có $f\left( x \right) = \int {\left( {2{{\sin }^2}\frac{x}{2} + 1} \right)dx = \int {\left( {2 – \cos x} \right)} } dx$
$ = 2x – \sin x + C$
Vì $f\left( 0 \right) = 4 \Rightarrow C = 4$
Hay $f\left( x \right) = 2x – \sin x + 4.$
Suy ra $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2x – \sin x + 4} \right)dx} $
$ = \left( {{x^2} + \cos x + 4x} \right)\left| \begin{gathered}
\frac{\pi }{4} \hfill \\
0 \hfill \\
\end{gathered} \right. = \frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \pi – 1$
$ = \frac{{{\pi ^2} + 16\pi + 8\sqrt 2 – 16}}{{16}}.$
Câu 15. Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0) = 4$ và $f'(x) = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} + 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$, khi đó $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} $ bằng?
A. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 8 – \sqrt 2 }}{8}$. B. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 8 – 4\sqrt 2 }}{8}$.
C. $\frac{{{\pi ^2} + 6\pi + 8}}{8}$. D. $\frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 4\sqrt 2 }}{8}$.
Lời giải
Chọn B.
Ta có $f(x) = \int {{f^{^,}}(x)dx} = \int {(2{{\cos }^2}\frac{x}{2} + 3)dx} $$ = \int {(2.\frac{{1 + \cos x}}{2} + 3)dx} $$ = \int {(\cos x + 4)dx} = \sin x + 4x + C$
$ \Rightarrow f(x) = \sin x + 4x + C$
do$f(0) = 4 \Rightarrow C = 4$.
Vậy $f(x) = \sin x + 4x + 4$ nên $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(\sin x + 4x + 4} )dx$
$ = \left. {( – \cos x + 2{x^2} + 4x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{{\pi ^2} + 8\pi – 8 – 4\sqrt 2 }}{8}$.
Câu 16. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{e^{2x}}}&{ khi x \geqslant 0} \\
{{x^2} + x + 1}&{ khi x < 0}
\end{array}} \right.$. Biết tích phân $\int\limits_{ – 1}^1 {f(x)\;dx} = \frac{a}{b} + \frac{{{e^2}}}{c}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị $a + b + c$ bằng
A. $7$. B. $8$. C. $6$. D. $10$.
Lời giải
Chọn C
Ta có: $I = \int\limits_{ – 1}^1 {f(x)dx} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left( {{x^2} + x + 1} \right)dx} + \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = \frac{5}{6} + \frac{{{e^2}}}{2} – \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{{{e^2}}}{2}$.
Vậy $a + b + c = 6$.
Câu 17. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 1}&{ khi x \geqslant 2} \\
{{x^2} – 2x + 3}&{ khi x < 2}
\end{array}} \right.$. Tích phân $I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {f(x)d} x$ bằng:
A. $\frac{{23}}{3}$. B. $\frac{{23}}{6}$. C. $\frac{{17}}{6}$. D. $\frac{{17}}{3}$.
Lời giải
Chọn B
$I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {f(x)d} x = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} – 2x + 3} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} – 1} \right)dx} } \right] = \frac{{23}}{6}$.
Câu 18. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x\left( {1 + {x^2}} \right)}&{ khi x \geqslant 3} \\
{\frac{1}{{x – 4}}}&{ khi x < 3}
\end{array}} \right.$. Tích phân $I = \int\limits_2^4 {f(t)dt} $ bằng:
A. $\frac{{40}}{3} – \ln 2$. B. $\frac{{95}}{6} + \ln 2$. C. $\frac{{189}}{4} + \ln 2$. D. $\frac{{189}}{4} – \ln 2$.
Lời giải
Chọn D
$I = \int\limits_2^4 {f(t)dt} = \int\limits_2^4 {f(x)d} x = \int\limits_2^3 {\frac{1}{{x – 4}}d} x + \int\limits_3^4 {x\left( {1 + {x^2}} \right)d} x = \frac{{189}}{4} – \ln 2$.
Câu 19. Cho số thực $a$ và hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
6x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \leqslant 1 \hfill \\
ax + 2\,\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Biết hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Tích phân $\int_0^2 {f\left( x \right)dx} $ bằng:
A. $11$. B. $12$. C. $13$. D. $14$.
Lời giải
Chọn A
Do hàm số $f(x)$liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $f(x)$ liên tục tại $x = 1$
Suy ra, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = f(1)$
$ \Leftrightarrow a + 2 = 6 = 6 \Rightarrow a = 4$
Do đó $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
6x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \leqslant 1 \hfill \\
4x + 2\,\,\,\,khi\,\,x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $\int_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int_1^2 {f\left( x \right)dx} $
$ = \int_0^1 {6xdx} + \int_1^2 {\left( {4x + 2} \right)dx} $$ = \left. {3{x^2}} \right|_0^1 + \left. {\left( {2{x^2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = 11$
Câu 20. Cho số thực $a$ và hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \leqslant 0 \hfill \\
a\left( {x – {x^2}} \right)\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Tính tích phân $\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} $ bằng:
A. $\frac{a}{6} – 1.$ B. $\frac{{2a}}{3} + 1.$ C. $\frac{a}{6} + 1.$ D. $\frac{{2a}}{3} – 1.$
Lời giải
Chọn A
Ta có, $\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \int_{ – 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( x \right)dx} $
$ = \int_{ – 1}^0 {2xdx} + \int_0^1 {a\left( {x – {x^2}} \right)dx} $
$ = \left. {\left( {{x^2}} \right)} \right|_{ – 1}^0 + \left. {a\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = – 1 + a\left( {\frac{1}{6}} \right) = \frac{a}{6} – 1$.
Câu 21. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 5,}&{x \geqslant 1} \\
{3{x^2} + 4,}&{x < 1}
\end{array}.} \right.$ Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn
$F(0) = 2$. Giá trị của $F( – 1) + 2F(2)$ bằng
A. 27 . B. 29 . C. 12 . D. 33 .
Lời giải
Ta có $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 5}&{ khi x \geqslant 1} \\
{3{x^2} + 4}&{ khi x < 1}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) = {x^2} + 5x + {C_1}}&{x \geqslant 1} \\
{F(x) = {x^3} + 4x + {C_2}}&{x < 1}
\end{array}} \right.$
Vì $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0) = 2$ nên ${C_2} = 2 \Rightarrow F(x) = {x^3} + 4x + 2$.
Vì $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $F(x)$ liên tục tại $x = 1$ nên:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} F(x) = F(1) \Rightarrow 6 + {C_1} = 7 \Rightarrow {C_1} = 1$
Vậy ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) = {x^2} + 5x + 2}&{x \geqslant 1} \\
{F(x) = {x^3} + 4x + 1}&{x < 1}
\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow F( – 1) + 2F(2) = – 3 + 2.15 = 27$
Câu 22. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 1 khi \,\,x \geqslant 1} \\
{3{x^2} – 2 khi \,\, x < 1}
\end{array}} \right.$. Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn
$F(0) = 2$. Giá trị của $F( – 1) + 2\;F(2)$ bằng
A. $9$. B. 15 . C. 11 D. 6
Lời giải
Hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
Với $x \geqslant 1$ thì $\int f (x)dx = \int {(2x – 1)} dx = {x^2} – x + {C_1}$
Với $x < 1$ thì $\int f (x)dx = \int {\left( {3{x^2} – 2} \right)} dx = {x^3} – 2x + {C_2}$
Mà $F(0) = 2$ nên ${C_2} = 2$.
Khi đó $F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – x + {C_1}}&{ khi x \geqslant 1} \\
{{x^3} – 2x + 2}&{ khi x < 1}
\end{array}} \right.$
Đồng thời $F(x)$ cũng liên tục trên $\mathbb{R}$ nên: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = F(1) = 1 \Leftrightarrow {C_1} = 1$
Do đó $F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – x + 1\quad khi x \geqslant 1} \\
{{x^3} – 2x + 2 khi x < 1}
\end{array}} \right.$
Do đó $F(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} – x + 1\;\,\,\,khi\;x \geqslant 1} \\
{{x^3} – 2x + 2\,\,\;khi\;x < 1}
\end{array}} \right.$
Vậy: $F( – 1) + 2\;F(2) = 3 + 2.3 = 9$.
