Các dạng câu trả lời ngắn biểu thức tọa độ các phép toán vectơ lớp 12 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ
Câu 1. Cho $\vec a = \left( {5;4; – 1} \right)$, $\vec b = \left( {2; – 5;3} \right)$. Biết vectơ $\vec x = \left( {m;n;p} \right)$ thỏa mãn $\vec a + 2\vec x = \vec b$. Tính $2m + 2n + p$.
Lời giải
+ Gọi vectơ $\vec x$ có tọa độ: $\vec x = \left( {x;y;z} \right) \Rightarrow 2\vec x = \left( {2x;2y;2z} \right)$
+ Ta có: $\left\{ \begin{gathered}
\vec a + 2\vec x = \left( {5 + 2x;4 + 2y; – 1 + 2z} \right) \hfill \\
\vec b = \left( {2; – 5;3} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
+ Vì $\vec a + 2\vec x = \vec b$ nên: $\left\{ \begin{gathered}
5 + 2x = 2 \hfill \\
4 + 2y = – 5 \hfill \\
– 1 + 2z = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = \frac{3}{2} \hfill \\
y = – \frac{9}{2} \hfill \\
z = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \vec x = \left( {\frac{3}{2}; – \frac{9}{2};2} \right)$
Suy ra, $2m + 2n + p = 2.\frac{3}{2} + 2\left( { – \frac{9}{2}} \right) + 2 = – 4$.
Câu 2. Cho vectơ $\vec a = (1; – 1;0)$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow u = (2;2k – 1;0)$. Biết $k = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản và $n > 0$. Tính $m + n$.
Lời giải
$\vec a$ cùng phương với $\overrightarrow u $$ \Leftrightarrow \frac{2}{1} = \frac{{2k – 1}}{{ – 1}} \Leftrightarrow 2k – 1 = – 2 \Leftrightarrow k = \frac{{ – 1}}{2}$.
Suy ra, $m + n = – 1 + 2 = 1$.
Câu 3. Cho ba vectơ $\vec a = \left( {1; – 7;9} \right),\,\,\vec b = \left( {3; – 6;1} \right),\,\,\vec c = \left( {2;1; – 7} \right)$. Biểu diễn vectơ $\vec u = ( – 4;13; – 6)$ theo các vectơ $\vec a,\,\,\vec b,\,\,\vec c$ ta được $\overrightarrow u = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b + z\overrightarrow c $. Tính $x + y + z$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow u = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b + z\overrightarrow c $
$ \Leftrightarrow ( – 4;13; – 6) = \left( {x; – 7x;9x} \right) + \left( {3y; – 6y;y} \right) + \left( {2z;z; – 7z} \right)$
$ \Leftrightarrow ( – 4;13; – 6) = \left( {x + 3y + 2z; – 7x – 6y + z;9x + y – 7z} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x + 3y + 2z = – 4 \hfill \\
– 7x – 6y + z = 13 \hfill \\
9x + y – 7z = – 6 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = 3 \hfill \\
y = – 5 \hfill \\
z = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $x + y + z = 3 – 5 + 4 = 2$.
Câu 4. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho $ A\left( {2;\;5;\;3} \right), B\left( {3;7;\;4} \right), C\left( {x;y;\;6} \right)$. Biết ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Tính $x + y$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1;2;1} \right)$; $\overrightarrow {AC} = \left( {x – 2;y – 5;3} \right)$.
Ba điểm $A,B,C$thẳng hàng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ cùng phương
$ \Leftrightarrow \frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 5}}{2} = \frac{3}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{x – 2}}{1} = \frac{3}{1} \hfill \\
\frac{{y – 5}}{2} = \frac{3}{1} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x – 2 = 3 \hfill \\
y – 5 = 6 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = 5 \hfill \\
y = 11 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $x + y = 5 + 11 = 16$.
DẠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ
Câu 5. Trong hệ tọa độ $Oxyz$ cho $\vec a = (1; – 2;\frac{1}{4})$, $\vec b = ( – 2;1;1)$. Biết $\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = – \frac{{m\sqrt n }}{p}$ với $\frac{m}{p}$ tối giản, $n$ nguyên tố và $p > 0$. Tính $m + n + p$.
Lời giải
Ta có: $\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1.( – 2) + ( – 2).1 + \frac{1}{4}.1}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} .\sqrt {{{( – 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} }} = – \frac{{5\sqrt 6 }}{{18}}$.
Vậy $m + n + p = 5 + 6 + 18 = 29$.
Câu 6. Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec a = \left( {2;5;4} \right)$, $\vec b = \left( {6;0; – 3} \right)$. Tính góc giữa 2 vectơ $\vec a$ và $\vec b$.
Lời giải
Ta có: $\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2.6 + 5.0 + 4.( – 3)}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{6^2} + {0^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} }} = 0$.
Vậy $(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {90^0}$
Câu 7. Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho 3 vectơ $\vec a = \left( {3;2;2\sqrt 3 } \right),\, \vec b = \left( {\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ; – 1} \right)$. Biết $\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\sqrt m }}{n}$ với $\frac{m}{p}$ tối giản. Tính $m + n$.
Lời giải
Ta có: $\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}$
$ = \frac{{3.\sqrt 3 + 2.2\sqrt 3 + 2\sqrt 3 .( – 1)}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }}$
$ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$
Vậy $m + n = 3 + 4 = 7$.
Câu 8. Trong hệ tọa độ $Oxyz$ cho các vectơ $\vec a = (2;3; – 1)$,$\,\vec b = (1; – 2;3)$, $\vec c = (2; – 1;1)$, $\vec u = \left( {x;y;z} \right)$. Biết rằng: $\vec u \bot \vec a, \vec u \bot \vec b, \vec u.\vec c = – 6$. Tính $x + y + z$.
Lời giải
Ta có: $\vec u \bot \vec a, \vec u \bot \vec b, \vec u.\vec c = – 6$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\vec u.\vec a = 0 \hfill \\
\vec u.\vec b = 0 \hfill \\
\vec u.\vec c = – 6 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 3y – z = 0} \\
{x – 2y + 3z = 0} \\
{2x – y + z = – 6}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = – 3 \hfill \\
y = 3 \hfill \\
z = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra, $x + y + z = – 3 + 3 + 3 = 3$
Câu 9. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho 4 điểm $A(2;4; – 1)$,$B(1;4; – 1)$, $C(2;4;3)$ $D(2;2; – 1)$. Biết $M\left( {x;y;z} \right)$ là điểm sao cho $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính$x + y + z$.
Lời giải
Gọi $G$ là trọng tâm của $ABCD$ ta có: $G\left( {\frac{7}{3};\frac{{14}}{3};0} \right)$.
Ta có: $M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}$
$ = 4M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}$≥ $G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}$.
Dấu bằng xảy ra khi $M \equiv $$G\left( {\frac{7}{3};\frac{{14}}{3};0} \right) \Rightarrow x + y + z = 7$.
Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;1;1} \right)$,$B\left( { – 2;1;0} \right)$,$C\left( {2; – 3;1} \right)$. Điểm $S\left( {a;b;c} \right)$ sao cho $S{A^2} + 2S{B^2} + 3S{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Biết $a + b + c = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ tối giản và $n > 0$. Tính $m + n$.
Lời giải
Gọi $G$ là điểm sao cho $\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + 3\overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 $$ \Rightarrow G\left( {\frac{1}{2}; – 1;\frac{{ – 1}}{3}} \right)$
Ta có: $S{A^2} + 2S{B^2} + 3S{C^2} = {\overrightarrow {SA} ^2} + {\overrightarrow {2SB} ^2} + 3{\overrightarrow {SC} ^2}$
$ = {\left( {\overrightarrow {SG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {SG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {SG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}$
$ = 6S{G^2} + G{A^2} + 2G{B^2} + 3G{C^2}$
$S{A^2} + S{B^2} + S{C^2}$ nhỏ nhất khi $S \equiv G$ hay $S\left( {\frac{1}{2}; – 1;\frac{{ – 1}}{3}} \right)$.
Nên $T = a + b + c = – \frac{5}{6}$.
Vậy $m + n = – 5 + 6 = 1$.
Câu 11. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( {2;5;1} \right),\,B\left( { – 2; – 6;2} \right),\,C\left( {1;2; – 1} \right)$ và điểm $M\left( {m;m;m} \right)$, để $M{A^2} – M{B^2} – M{C^2}$ đạt giá trị lớn nhất thì $m$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$\overrightarrow {MA} = \left( {2 – m;5 – m;1 – m} \right)$, $\,\overrightarrow {MB} = \left( { – 2 – m; – 6 – m;2 – m} \right)$, $\overrightarrow {MC} = \left( {1 – m;2 – m; – 1 – m} \right)$
$M{A^2} – M{B^2} – M{C^2}$
$ = – 3{m^2} – 24m – 20 = 28 – 3{\left( {m – 4} \right)^2} \leqslant 28$
Để $M{A^2} – M{B^2} – M{C^2}$đạt giá trị lớn nhất thì $m = 4$
Câu 12. Trong không gian tọa độ $Oxyz$cho ba điểm $A\left( {2;5;1} \right)$, $\,B\left( { – 2; – 6;2} \right)$, $C\left( {1;2; – 1} \right)$ và điểm $M\left( {m;m;m} \right)$, để $\left| {\overrightarrow {MB} – 2\overrightarrow {AC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $m$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$\overrightarrow {AC} \left( { – 1; – 3; – 2} \right),\,\overrightarrow {MB} \left( { – 2 – m;\, – 6 – m;\,2 – m} \right)$
$\left| {\overrightarrow {MB} – 2\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{m^2} + {m^2} + {{\left( {m – 6} \right)}^2}} $
$ = \sqrt {3{m^2} – 12m + 36} = \sqrt {3{{\left( {m – 2} \right)}^2} + 24} $
Để $\left| {\overrightarrow {MB} – 2\overrightarrow {AC} } \right|$ nhỏ nhất thì $m = 2$
Câu 13. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A\left( {1;2;3} \right)$, $B\left( {2;2;1} \right)$, $M \in Ox$. Tìm điểm $M$ sao cho biểu thức $T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
$M \in Ox$$ \Rightarrow M\left( {x;0;0} \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm đoạn $AB$, ta có $I\left( {\frac{3}{2};2;2} \right)$ và $\overrightarrow {MI} = \left( {\frac{3}{2} – x;2;2} \right)$
$T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right|$
$ = 2\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2} – x} \right)}^2} + {2^2} + {2^2}} = 2\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2} – x} \right)}^2} + 8} \geqslant 2\sqrt {0 + 8} = 4\sqrt 2 $
Khi đó, $T$ nhỏ nhất $\frac{3}{2} – x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$.
Vậy $M\left( {\frac{3}{2};0;0} \right)$.
Câu 14. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A\left( { – 1;2; – 3} \right),B\left( {0;2;1} \right),C\left( { – 1;2;1} \right),M \in Oy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ để $T$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
$M \in Oy$$ \Rightarrow M\left( {0;y;0} \right)$.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ta có $G\left( { – \frac{2}{3};2; – \frac{1}{3}} \right)$ và $\overrightarrow {MG} = \left( { – \frac{2}{3};2 – y; – \frac{1}{3}} \right)$
$T = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|$
$ = 3\sqrt {{{\left( { – \frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {2 – y} \right)}^2} + {{\left( { – \frac{1}{3}} \right)}^2}} = 3\sqrt {{{\left( {2 – y} \right)}^2} + \frac{5}{9}} $
$ \geqslant 3\sqrt {0 + \frac{5}{9}} = \sqrt 5 $
Vậy ${T_{\min }} = \sqrt 5 $.
Câu 15. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A\left( {0;2;3} \right),B\left( {2;1;1} \right),C\left( {1;2;3} \right),M \in Oz$. Tìm điểm $M$ sao cho biểu thức $T = \left| {\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
$M \in Oy$$ \Rightarrow M\left( {0;0;z} \right)$.
$T = \left| {\overrightarrow {MA} – 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} + 2\overrightarrow {MC} – 2\overrightarrow {MB} } \right|$
Gọi $I$ là trung điểm $BC$, ta có $I\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};2} \right)$.
$\overrightarrow {MI} = \left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};2 – z} \right)$; $\overrightarrow {BC} = \left( { – 1;1;2} \right)$; $\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {BC} = \left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2};4 – z} \right)$.
Suy ra, $T = \left| {2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {BC} } \right|$
$ = 2\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {4 – z} \right)}^2}} = 2\sqrt {\frac{{13}}{2} + {{\left( {4 – z} \right)}^2}} \geqslant 2\sqrt {\frac{{13}}{2}} $
Do đó, $T$ đạt giá trị nhỏ nhất $ \Leftrightarrow {\left( {4 – z} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow z = 4$.
Vậy $M\left( {0;0;4} \right)$
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {2;2;0} \right),B\left( {2;0; – 2} \right)$ và điểm $M\left( {a,b,c} \right)$ với $a,b,c$ là các số thực thay đổi thỏa mãn $a + 2b – c – 1 = 0$. Biết $MA = MB$ và góc $\widehat {AMB}$ có số đo lớn nhất. Tính $S = a + 2b + 3c$.
Lời giải
Vì $MA = MB$ nên $M$ thuộc mặt phẳng trung trực $\left( P \right)$ của đoạn $AB$.
Ta có $\left( P \right):y + z = 0$ nên $\left\{ \begin{gathered}
b + c = 0 \hfill \\
a + 2b – c – 1 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
c = – b \hfill \\
a = 1 – 3b \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
$\overrightarrow {MA} = \left( {1 + 3b;2 – b;b} \right),\overrightarrow {MB} = \left( {1 + 3b; – b; – 2 + b} \right)$
$ \Rightarrow \cos \widehat {AMB} = \frac{{\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right|.\left| {\overrightarrow {MB} } \right|}}$
$ = \frac{{{{\left( {1 + 3b} \right)}^2} + 2b\left( {b – 2} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {1 + 3b} \right)}^2} + {{\left( {b – 2} \right)}^2} + {b^2}} .\sqrt {{{\left( {1 + 3b} \right)}^2} + {{\left( {b – 2} \right)}^2} + {b^2}} }}$
$ = \frac{{9{b^2} + 6b + 1 + 2{b^2} – 4b}}{{9{b^2} + 6b + 1 + 2{b^2} – 4b + 4}} = \frac{{11{b^2} + 2b + 1}}{{11{b^2} + 2b + 5}}$
Xét $f\left( b \right) = \frac{{11{b^2} + 2b + 1}}{{11{b^2} + 2b + 5}}$ có $f’\left( b \right) = \frac{{4\left( {22b + 2} \right)}}{{11{b^2} + 2b + 5}} = 0 \Rightarrow b = \frac{{ – 1}}{{11}}$.
Nhận thấy $f\left( b \right)$ nhỏ nhất tại $b = – \frac{1}{{11}} \Rightarrow a = \frac{{14}}{{11}},c = \frac{1}{{11}}$
Nên $a + 2b + 3c = \frac{{14}}{{11}} – \frac{2}{{11}} + \frac{3}{{11}} = \frac{{15}}{{11}}$
DẠNG 3: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG THẲNG-TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM
Câu 17. Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( {2; – 3;14} \right)$, $B\left( {2; – 3;2} \right)$. Biết $I\left( {x;y;z} \right)$ là trung điểm của đoạn $AB$. Tính $x + y + z$.
Lời giải
Ta có: $I\left( {x;y;z} \right)$ là trung điểm của đoạn $AB$ nên $I\left( {\frac{{2 + 2}}{2};\frac{{ – 3 + ( – 3)}}{2};\frac{{14 + 2}}{2}} \right)$ hay $I\left( {2; – 3;8} \right)$.
Vậy $x + y + z = 2 + ( – 3) + 8 = 7$.
Câu 18. Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( {4; – 1;8} \right)$, $B\left( {2; – 3;2} \right)$ và $I\left( {x;y;z} \right)$. Biết $A$ là trung điểm của đoạn $IB$. Tính $x + y + z$.
Lời giải
Ta có: $A$ là trung điểm của đoạn $IB$ nên $\left\{ \begin{gathered}
{x_A} = \frac{{{x_I} + {x_B}}}{2} \hfill \\
{y_A} = \frac{{{y_I} + {y_B}}}{2} \hfill \\
{z_A} = \frac{{{z_I} + {z_B}}}{2} \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_I} = 2{x_A} – {x_B} \hfill \\
{y_I} = 2{y_A} – {y_B} \hfill \\
{z_I} = 2{z_A} – {z_B} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_I} = 2.4 – 2 \hfill \\
{y_I} = 2.( – 1) – ( – 3) \hfill \\
{z_I} = 2.8 – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_I} = 6 \hfill \\
{y_I} = 1 \hfill \\
{z_I} = 14 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra $I\left( {6;1;14} \right)$.
Vậy $x + y + z = 6 + 1 + 14 = 21$.
Câu 19. Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {0; – 1;1} \right), B\left( {2; – 3;2} \right), C\left( {4; – 2;3} \right).$ Trọng tâm tam giác $ABC$ có tọa độ $\left( {x;y;z} \right)$. Tính $x + y + z$.
Lời giải
Ta có: $G\left( {x;y;z} \right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{gathered}
{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{0 + 2 + 4}}{3} = 2 \hfill \\
{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ – 1 + ( – 3) + ( – 2)}}{3} = – 2 \hfill \\
{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra $G\left( {2; – 2;2} \right)$.
Vậy $x + y + z = 2 + ( – 2) + 2 = 2$.
Câu 20. Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left( {0; – 1;1} \right), B\left( {2; – 3;2} \right), C\left( {4; – 2;3} \right)$. Gọi $K\left( {x;y;z} \right)$ là điểm sao cho $B$ là trọng tâm tam giác $ACK$. Tính $x + y + z$.
Lời giải
Ta có: $B$ là trọng tâm tam giác $ACK$ nên $\left\{ \begin{gathered}
{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_C} + {x_K}}}{3} \hfill \\
{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_C} + {y_K}}}{3} \hfill \\
{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_C} + {z_K}}}{3} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_K} = 3{x_B} – {x_A} – {x_C} \hfill \\
{y_K} = 3{y_B} – {y_A} – {y_C} \hfill \\
{z_K} = 3{z_B} – {z_A} – {z_C} \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_K} = 3.2 – 0 – 4 = 2 \hfill \\
{y_K} = 3.( – 3) – ( – 1) – ( – 2) = 10 \hfill \\
{z_K} = 3.2 – 1 – 3 = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra $K\left( {2;10;2} \right)$.
Vậy $x + y + z = 2 + 10 + 2 = 14$.
Câu 21. Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( {1; – 1;1} \right)$, $B\left( {2; – 3;2} \right)$. Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$ trên trục $Oy$ điểm cách đều hai điểm $AB$. Tính $x + 2y + z$.
Lời giải
Ta có: $M\left( {x;y;z} \right) \in Oy \Rightarrow M\left( {0;y;0} \right)$.
Khi đó, $M\left( {0;y;0} \right)$ cách đều hai điểm $AB$
$ \Leftrightarrow MA = MB \Leftrightarrow \sqrt {{1^2} + {{\left( { – 1 – y} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { – 3 – y} \right)}^2} + {2^2}} $
$ \Leftrightarrow 1 + 1 + 2y + {y^2} + 1 = 4 + 9 + 6y + {y^2} + 4$
$ \Leftrightarrow – 4y = 14 \Leftrightarrow y = – \frac{7}{2}$
Vậy $x + 2y + z = – 7$.
Câu 22. Trong hệ tọa độ $Oxyz$ cho $A(4; – 1;2) ; B(7;3;2)$. Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ là điểm trên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho tam giác $ABM$ vuông cân tại $A$. Tính $a + b + c$.
Lời giải
Ta có: $M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right) \Rightarrow M\left( {0;b;c} \right)$.
Tam giác $ABM$ vuông cân tại $A$ nên $\left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow {AB} \,\,\,(1) \hfill \\
AM = AB\,\,(2) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$\overrightarrow {AM} = \left( { – 4;b + 1;c – 2} \right)$; $\overrightarrow {AB} = \left( {3;4;0} \right)$
Ta có:
(1) $ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = 0$$ \Leftrightarrow – 4.3 + \left( {b + 1} \right).4 + (c – 2).0 = 0$
$ \Leftrightarrow – 12 + 4b + 4 = 0 \Leftrightarrow b = 2$.
(2)$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { – 4} \right)}^2} + {{\left( {b + 1} \right)}^2} + {{\left( {c – 2} \right)}^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} $
$ \Leftrightarrow 16 + {b^2} + 2b + 1 + {c^2} – 4c + 4 = 25$
$ \Leftrightarrow {b^2} + 2b + {c^2} – 4c = 4$$ \Leftrightarrow {2^2} + 2.2 + {c^2} – 4c = 4$
$ \Leftrightarrow {c^2} – 4c + 4 = 0 \Leftrightarrow c = 2$
Suy ra $M\left( {0;2;2} \right)$
Vậy $a + b + c = 4$.
Câu 23. Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(3; – 4;7),\,B( – 5;3; – 2),\,C(1;2; – 3)$. Biết $\cos \widehat {ABC} = \frac{m}{{\sqrt n }}$ với $\frac{m}{n}$ tối giản. Tính $m + n$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {BA} = \left( {8; – 7;9} \right)$; $\overrightarrow {BC} = \left( {6; – 1; – 1} \right)$.
$cos\widehat {ABC} = cos\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}}$
$ = \frac{{8.6 + ( – 7).( – 1) + 9.( – 1)}}{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { – 7} \right)}^2} + {9^2}} .\sqrt {{6^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }}$
$ = \frac{{46}}{{\sqrt {194} .\sqrt {38} }} = \frac{{23}}{{\sqrt {1843} }}$
Vậy $m + n = 23 + 1843 = 1866$.
Câu 24. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có $A\left( {1;2; – 1} \right)$, $B\left( { – 1;1;3} \right)$, $C\left( { – 1; – 1;2} \right)$, . Biết $A'(a;b;c)$. Tính $a + b + 10c$.
Lời giải
Gọi $D({x_D};{y_D};{z_D})$. Ta có: $\overrightarrow {DC} = \left( { – 1 – {x_D}; – 1 – {y_D};2 – {z_D}} \right)$; $\overrightarrow {AB} = \left( { – 2; – 1;4} \right)$
Do $ABCD$ là hình nên $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 – {x_D} = – 2 \hfill \\
– 1 – {y_D} = – 1 \hfill \\
2 – {z_D} = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{x_D} = 1 \hfill \\
{y_D} = 0 \hfill \\
{z_D} = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra, $D(1;0; – 2)$.
Ta có: $\overrightarrow {AA’} = \left( {a – 1;b – 2;c + 1} \right)$; $\overrightarrow {DD’} = \left( {1; – 2; – 1} \right)$
Do $A’ADD’$ là hình nên $\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {DD’} $
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a – 1 = 1 \hfill \\
b – 2 = – 2 \hfill \\
c + 1 = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 2 \hfill \\
b = 0 \hfill \\
c = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra, $A’\left( {2;0; – 2} \right)$
Vậy $a + b + 10c = – 18$.
