PHƯƠNG PHÁP TÌM CÁC KHOẢNG ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ CHỨA THAM SỐ BẰNG MÁY TÍNH CASIO
I. Phương pháp:
– N ếu ${x_0} \in (a;b)$ và ${f^/}({x_0}) > 0$ thì hàm số $f(x)$không nghịch biến trên khoảng $(a;b).$
– N ếu ${x_0} \in (a;b)$ và ${f^/}({x_0}) < 0$ thì hàm số $f(x)$ không đồng biến trên khoảng $(a;b).$
– N ếu ${x_0} \in (a;b)$ và ${f^/}({x_0}) = 0$ thì không kết luận được hàm số $f(x)$đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng $(a;b).$
II. Các ví dụ:
Câu 1. (ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số $y = {x^3} + 3x + 2$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $( – \infty ;0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty )$.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $( – \infty ; + \infty )$.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $( – \infty ; + \infty )$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $( – \infty ;0)$ và đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$.
Giải:
A. Trên $( – \infty ;0)$ ta chọn ${x_0} = – 1$, ta tính đạo hàm của hàm số tại ${x_0} = – 1$. Nhập $\frac{d}{{dx}}{\left. {({x^3} + 3x + 2)} \right|_{x = – 1}} = 6 > 0$
Trên $(0; + \infty )$ ta chọn ${x_0} = 2$, ta tính đạo hàm của hàm số tại ${x_0} = 2$.
Nhập $\frac{d}{{dx}}{\left. {({x^3} + 3x + 2)} \right|_{x = 2}} = 15 > 0$
Vậy ta chọn phương án C.
Câu 2. (ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số $y = \sqrt {2{x^2} + 1} $. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $( – 1;1)$. (loại)
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $( – \infty ;0)$ .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty )$.(loại)
Giải:
+ Trên $( – 1;1)$ ta chọn ${x_0} = 0$, ta tính đạo hàm của hàm số tại ${x_0} = 0$.
Nhập $\frac{d}{{dx}}{\left. {(\sqrt {2{x^2} + 1} )} \right|_{x = 0}} = 0$ ta không kết luận được sự đồng biến và nghịch biến của hàm số.
+ Trên $( – 1;1)$ ta chọn ${x_0} = \frac{1}{2}$, ta tính đạo hàm của hàm số tại ${x_0} = \frac{1}{2}$.
$\frac{d}{{dx}}{\left. {(\sqrt {2{x^2} + 1} )} \right|_{x = 0}} = 0,8164965809$, suy ra hàm số không nghịch biến trên khoảng $( – 1;1)$.
Như vậy ta loại phương án A, C và D.
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 3. (ĐỀ THPT QG 2017 ) Hàm số $y = \frac{2}{{{x^2} + 1}}$nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. $(0; + \infty )$ B. $( – 1;1)$ C. $( – \infty ; + \infty )$ D. $( – \infty ;0)$
Giải:
Chọn phương án A
Câu 4. (ĐỀ THPT QG 2017) Cho hàm số $y = {x^4} – 2{x^2}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng $( – \infty ; – 2)$. (loại)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $( – \infty ; – 2)$.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $( – 1;1)$ .(loại)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $( – 1;1)$.(loại)
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 5. (ĐỀ THPT QG 2017) Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $( – \infty ; + \infty )$.
A. $y = \frac{{x + 1}}{{x + 3}}$.(loại) B. $y = {x^3} + x$. C. $y = \frac{{x – 1}}{{x – 2}}$.(loại) D. $y = – {x^3} – 3x$.(loại)
Vậy ta chọn phương án B.
Câu 6. Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên ?
A. $y = {\left( {x – 1} \right)^2} – 3x + 2$. (loại) B. $y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.
C. $y = \frac{x}{{x + 1}}$. (loại) D. $y = \tan x$.(loại)
Vậy ta chọn phương án B.
