Các dạng trắc nghiệm đúng sai ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÁC DẠNG TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Dạng 1: Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong khi biết hàm số các đường cong
Chú ý: $\left\{ \begin{gathered}
y = f\left( x \right) \hfill \\
y = g\left( x \right) \hfill \\
x = a \hfill \\
x = b \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) – g\left( x \right)} \right|dx} $
Câu 1. Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường giới hạn bởi các đường $y = f(x) = {e^x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Diện tích của hình phẳng $(H)$ là $S = {e^2} + 1$.
b) Diện tích của hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số $y = f(x) – 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ là ${S_1} = {e^2} – 3$.
c) Diện tích của hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = {e^2}$ và trục tung là ${S_2} = {e^2} + 1$.
d) Diện tích của hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số $y = f(x) – e$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ là ${S_3} = {e^2} + 2e + 1$
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Sai | Đúng | Đúng | Sai |
a) Diện tích hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường$y = {e^x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$ là:
$S = \int\limits_0^2 {{e^x}dx} = {e^2} – 1$ nên a sai
b) Diện tích của hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số $y = f(x) – 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ là ${S_1} = {e^2} – 3$
${S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {f(x) – 1 – 0} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {{e^x} – 1} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {{e^x} – 1} \right)dx} $
$ = \left( {\left. {{e^x} – x} \right|} \right)_0^2 = {e^2} – 2 – 1 = {e^2} – 3$ nên b đúng.
c) Diện tích của hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = {e^2}$ và trục tung là ${S_2} = {e^2} + 1$
Phương trình hoành độ giao điểm $f(x) = {e^2} \Leftrightarrow {e^x} = {e^2} \Leftrightarrow x = 2$.
$ \Rightarrow {S_2} = \int\limits_0^2 {\left| {{e^x} – {e^2}} \right|dx} = – \int\limits_0^2 {\left( {{e^x} – {e^2}} \right)dx} $
$ = – \left. {\left( {{e^x} – {e^2}x} \right)} \right|_0^2 = – \left( {{e^2} – 2{e^2} – 1} \right) = {e^2} + 1$ nên c đúng.
d) Diện tích của hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số $y = f(x) – e$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ là ${S_3} = \frac{1}{{\ln 2}}$
Phương trình hoành độ giao điểm $f(x) – e = 0 \Leftrightarrow {e^x} – e = 0$$ \Leftrightarrow {e^x} = e \Leftrightarrow x = 1$.
$S = \int\limits_0^2 {\left| {{e^x} – e} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x} – e} \right|} dx + \int\limits_1^2 {\left| {{e^x} – e} \right|} dx$
$ = – \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} – e} \right)} dx + \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} – e} \right)} dx$
$ = – \left. {\left( {{e^x} – ex} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{e^x} – ex} \right)} \right|_1^2$
$ = 1 + {e^2} – 2e = {e^2} – 2e + 1$ nên d sai.
Câu 2. Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = f(x) = {2^x}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2$. Khi đó:
a) Diện tích của hình phẳng $(H)$ là $S = \frac{3}{{\ln 2}}$.
b) Diện tích của hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số $y = f(x) – 1$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ là ${S_1} = \frac{3}{{\ln 2}} – 2$
c) Diện tích của hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = 8$ và trục tung là ${S_2} = 24 + \frac{7}{{\ln 2}}$
d) Diện tích của hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số $y = f(x) – 2$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ là ${S_3} = \frac{1}{{\ln 2}}$
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Sai | Đúng |
a) $S = \int\limits_0^2 {\left| {{2^x} – 0} \right|dx} = \int\limits_0^2 {{2^x}dx} = \left. {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right|_0^2 = \frac{4}{{\ln 2}} – \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{3}{{\ln 2}}$ nên a đúng.
b) ${S_1} = \int\limits_0^2 {\left| {f(x) – 1 – 0} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {{2^x} – 1} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {{2^x} – 1} \right)dx} $
$ = \left( {\left. {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} – x} \right|} \right)_0^2 = \frac{4}{{\ln 2}} – 2 – \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{3}{{\ln 2}} – 2$ nên b đúng.
c) Diện tích của hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = 8$ và trục tung là ${S_2} = 24 + \frac{7}{{\ln 2}}$
Phương trình hoành độ giao điểm $f(x) = 8 \Leftrightarrow {2^x} = 8 \Leftrightarrow {2^x} = {2^3} \Leftrightarrow x = 3$.
$ \Rightarrow {S_2} = \int\limits_0^3 {\left| {{2^x} – 8} \right|dx} = – \int\limits_0^3 {\left( {{2^x} – 8} \right)dx} $
$ = – \left. {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} – 8x} \right)} \right|_0^3 = – \left( {\frac{8}{{\ln 2}} – 24 – \frac{1}{{\ln 2}}} \right) = 24 – \frac{7}{{\ln 2}}$ nên c sai
d) Diện tích của hình phẳng giới hạn của đồ thị hàm số $y = f(x) – 2$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ là ${S_3} = \frac{1}{{\ln 2}}$
Phương trình hoành độ giao điểm $f(x) – 2 = 0 \Leftrightarrow {2^x} – 2 = 0$$ \Leftrightarrow {2^x} = 2 \Leftrightarrow x = 1$.
$S = \int\limits_0^2 {\left| {{2^x} – 2} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {{2^x} – 2} \right|} dx + \int\limits_1^2 {\left| {{2^x} – 2} \right|} dx$ (
$ = – \int\limits_0^1 {\left( {{2^x} – 2} \right)} dx + \int\limits_1^2 {\left( {{2^x} – 2} \right)} dx$
$ = – \left. {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} – 2x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} – 2x} \right)} \right|_1^2$
$ = 2 – \frac{1}{{\ln 2}} + \frac{2}{{\ln 2}} – 2 = \frac{1}{{\ln 2}}$ nên d đúng.
Câu 3. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai.
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2}$, $y = 2x$, $x = 0,x = 1$ là $\frac{4}{3}$.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = – {x^2} + 2x + 1$, $y = 2{x^2} – 4x + 1$, $x = 0,x = 2$ là $5$.
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}$, trục hoành, $x = 0,x = 1$ là $2\ln 2 – 1$.
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = – {x^3} + 12x$, $y = – {x^2}$, $x = – 3,x = 4$ là $\frac{{937}}{{12}}$
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Đúng | Đúng |
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {x^2}$, $y = 2x$, $x = 0,x = 1$ là $S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} – x} \right|} dx = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} – x} \right)dx} } \right| = \frac{4}{3}$ nên a đúng.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = – {x^2} + 2x + 1$, $y = 2{x^2} – 4x + 1$, $x = 0,x = 2$ là
$\int_0^2 {\left| {2{x^2} – 4x + 1 – \left( { – {x^2} + 2x + 1} \right)} \right|dx} = \int_0^2 {\left| {3{x^2} – 6x} \right|dx} = \int_0^2 {\left( {6x – 3{x^2}} \right)dx} = \left( {3{x^2} – {x^3}} \right)\left| \begin{gathered}
2 \hfill \\
0 \hfill \\
\end{gathered} \right. = 4$ nên b sai.
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}$, trục hoành, $x = 0,x = 1$ là
$S = \int\limits_0^1 {\left| {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} \right|dx = } \left| {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} \right)dx} } \right| = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {1 – \frac{2}{{x + 1}}} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {x – 2\ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1} \right| = 2\ln 2 – 1$ nên c đúng.
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = – {x^3} + 12x$, $y = – {x^2}$
$S = \int\limits_{ – 3}^4 {\left| {{x^3} – {x^2} – 12x} \right|} \,dx = \int\limits_{ – 3}^0 {\left| {{x^3} – {x^2} – 12x} \right|} \,dx + \int\limits_0^4 {\left| {{x^3} – {x^2} – 12x} \right|} \,dx$
$ = \left| {\int\limits_{ – 3}^0 {\left( {{x^3} – {x^2} – 12x} \right)} \,dx} \right| + \left| {\int\limits_0^4 {\left( {{x^3} – {x^2} – 12x} \right)} \,dx} \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^3}}}{3} – 6{x^2}} \right)} \right|_{ – 3}^0} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{{x^3}}}{3} – 6{x^2}} \right)} \right|_0^4} \right|$
$ = \left| {\frac{{ – 99}}{4}} \right| + \left| {\frac{{ – 160}}{3}} \right| = \frac{{937}}{{12}}$ nên d đúng.
Dạng 2: Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong khi biết đồ thị hàm số của các đường cong
Chú ý:
– Nếu trên $\left( {a;b} \right)$ đồ thị hàm số $y = f(x)$ nằm phía trên trục hành $Ox$ thì $\int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} $
– Nếu trên $\left( {a;b} \right)$ đồ thị hàm số $y = f(x)$ nằm phía dưới trục hành $Ox$ thì $\int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} $
– Nếu trên $\left( {a;b} \right)$ đồ thị hàm số $y = f(x)$ nằm phía trên đồ thị hàm số $y = g(x)$ thì $\int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} = \int\limits_a^b {\left[ {f(x) – g(x)} \right]dx} $
– Nếu trên $\left( {a;b} \right)$ đồ thị hàm số $y = f(x)$ nằm phía dưới đồ thị hàm số $y = g(x)$ thì $\int\limits_a^b {\left| {f(x) – g(x)} \right|dx} = – \int\limits_a^b {\left[ {f(x) – g(x)} \right]dx} $
Câu 4. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ dưới. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = 0$ và hai đường thẳng $x = – 1$, $x = 0$ là
${S_1} = \int\limits_{ – 1}^0 {f\left( x \right)dx} $.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = 0$ và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 4$ là
${S_2} = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} $.
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = 0$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 4$ là
${S_3} = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} $.
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = 0$ và hai đường thẳng $x = – 1$, $x = 4$ là
${S_4} = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} – \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} $.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Sai | Đúng |
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = 0$ và hai đường thẳng $x = – 1$, $x = 0$ là
${S_1} = \int\limits_{ – 1}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ – 1}^0 {f\left( x \right)dx} $ nên a đúng.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = 0$ và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 4$ là
${S_2} = \int\limits_1^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = – \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} $ nên b sai.
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = 0$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 4$ là
${S_3} = \int\limits_0^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $
$ = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} – \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} $ nên c sai.
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = 0$ và hai đường thẳng $x = – 1$, $x = 4$ là
${S_4} = \int\limits_{ – 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $
$ = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} – \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} $ nên d đúng.
Câu 5. Cho hình phẳng được gạch chéo trong hình bên dưới.
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai
a) Hình phẳng được gạch chéo trong hình trên được giới hạn các đồ thị $y = {x^2} – 2x – 2$, $y = – {x^2} + 2$, $x = – 1,x = 2$.
b) Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là $S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {2{x^2} – 2x + 4} \right|} dx$.
c) Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là $S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – 2{x^2} – 2x + 4} \right)} dx$.
d) Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là $S = 9$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Sai | Đúng |
a) Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình trên được giới hạn các đồ thị $y = {x^2} – 2x – 2$, $y = – {x^2} + 2$, $x = – 1,x = 2$ nên a đúng.
b) Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là:
$S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {\left( { – {x^2} + 2} \right) – \left( {{x^2} – 2x – 2} \right)} \right|} dx$
$ = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| { – 2{x^2} + 2x + 4} \right|} dx = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| { – \left( { – 2{x^2} + 2x + 4} \right)} \right|} dx$
$ = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {2{x^2} – 2x – 4} \right|} dx$ nên b sai.
c) Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là:
$S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {\left( { – {x^2} + 2} \right) – \left( {{x^2} – 2x – 2} \right)} \right|} dx$
$ = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| { – 2{x^2} + 2x + 4} \right|} dx = \int\limits_{ – 1}^2 {\left( { – 2{x^2} + 2x + 4} \right)} dx$
nên c sai.
d) Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là:
$S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {\left( { – {x^2} + 2} \right) – \left( {{x^2} – 2x – 2} \right)} \right|} dx$
$ = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| { – 2{x^2} + 2x + 4} \right|} dx = 9$ nên d đúng.
Câu 6. Cho đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$ như hình vẽ.
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai
a) Diện tích hình phẳng được giới hạn các đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$, trục $Ot$ và hai đường thẳng là:$t = 0;t = 1$ là $S = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {tdt} = \frac{1}{4}$.
b) Diện tích hình phẳng được giới hạn các đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$, trục $Ot$ và hai đường thẳng là:$t = 1;t = 2$ là $S = \int\limits_1^2 {2dt} = 2$.
c) Tích phân $\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} $ biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn các đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$, trục $Ot$ và hai đường thẳng là:$t = 2;t = 3$.
d) Tích phân $\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} $ biểu thị cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn các đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$, trục $Ot$ và hai đường thẳng là:$t = 3;t = 5$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Đúng | Sai |
a) đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ là $y = \frac{1}{2}t$. Do đó diện tích hình phẳng được giới hạn các đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$, trục $Ot$ và hai đường thẳng là: $t = 0;t = 1$ là $S = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {tdt} = \frac{1}{4}$.
b) Diện tích hình phẳng được giới hạn các đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$, trục $Ot$ và hai đường thẳng là:$t = 1;t = 2$ là $y = 2,y = 0,t = 1;t = 2$ hay $S = \int\limits_1^2 {2dt} = 2$.
c) Tích phân $\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_2^3 {f\left( t \right)dt} $ nên $\int\limits_2^3 {f\left( t \right)dt} $ là cho phần diện tích của hình phẳng giới hạn các đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$, trục $Ot$ và hai đường thẳng là:$t = 2;t = 3$.
d) Tích phân $\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_3^5 {f\left( t \right)dt} $
Diện tích hình phẳng được giới hạn các đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$, trục $Ot$ và hai đường thẳng là:$t = 3;t = 5$ là $S = \int\limits_3^5 {\left| {f\left( t \right)} \right|dt} $.
