Các dạng bài tập về nguyên hàm giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Dạng 1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:
Chú ý:
$\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} + C$ với $\alpha \ne – 1$;
$\int {kdx = k} x + C$;
$\int {kf(x)dx = k} \int {f(x)dx} $;
$\int {\left( {f(x) + g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} $;
$\int {\left( {f(x) – g(x)} \right)dx = } \int {f(x)dx} – \int {g(x)dx} $.
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = {x^9}$; b) $f(x) = 5{x^3}$; c) $f(x) = {x^7} + 2025$;
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {{x^9}dx} = \frac{{{x^{9 + 1}}}}{{9 + 1}} + C = \frac{{{x^{10}}}}{{10}} + C$;
b) $\int {f(x)dx} = \int {5{x^3}dx} = 5\int {{x^3}dx} = 5.\frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} + C = \frac{{5{x^4}}}{4} + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {{x^7} + 2025} \right)dx} = \int {{x^7}dx} + \int {2025dx} $
$ = \frac{{{x^{7 + 1}}}}{{7 + 1}} + 2025x + C = \frac{{{x^8}}}{8} – 2025x + C$
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = {x^5} – {x^2}$; b) $f(x) = 4{x^3} – 3{x^4}$; c) $f(x) = {x^3} + 4x + 2$;
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {{x^5} – {x^2}} \right)dx} = \int {{x^5}dx – } \int {{x^2}dx} $
$ = \frac{{{x^{5 + 1}}}}{{5 + 1}} – \frac{{{x^{2 + 1}}}}{{2 + 1}} + C = \frac{{{x^6}}}{6} – \frac{{{x^3}}}{3} + C$;
b) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {4{x^3} – 3{x^4}} \right)dx} = \int {4{x^3}dx – } \int {3{x^4}dx} $
$ = 4\int {{x^3}dx – 3} \int {{x^4}dx} = 4.\frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} – 3.\frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C$
$ = {x^4} – \frac{{3{x^5}}}{5} + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {{x^3} + 4x + 2} \right)dx} = \int {{x^3}dx + } \int {4xdx} + \int {2dx} $
$ = \frac{{{x^{3 + 1}}}}{{3 + 1}} + 4.\frac{{{x^{1 + 1}}}}{{1 + 1}} + 2x + C = \frac{{{x^4}}}{4} + 2{x^2} + 2x + C$
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}$ b) $f(x) = \frac{5}{{{x^4}}}$ c) $f(x) = – \frac{6}{{{x^7}}}$
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \int {{x^{ – 3}}dx} = \frac{{{x^{ – 3 + 1}}}}{{ – 3 + 1}} + C$
$ = \frac{{{x^{ – 2}}}}{{ – 2}} + C = – \frac{1}{{2{x^2}}} + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{5}{{{x^4}}}dx} = \int {5{x^{ – 4}}dx} = 5\int {{x^{ – 4}}dx} $
$ = 5.\frac{{{x^{ – 4 + 1}}}}{{ – 4 + 1}} + C = 5.\frac{{{x^{ – 3}}}}{{ – 3}} + C = 5.\frac{{{x^{ – 3}}}}{{ – 3}} + C = – \frac{5}{{3{x^3}}} + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\left( { – \frac{6}{{{x^7}}}} \right)dx} = – 6\int {\frac{1}{{{x^7}}}dx} = – 6\int {{x^{ – 7}}dx} $
$ = – 6.\frac{{{x^{ – 7 + 1}}}}{{ – 7 + 1}} + C$$ = – 6.\frac{{{x^{ – 6}}}}{{ – 6}} + C = {x^{ – 6}} + C = \frac{1}{{{x^6}}} + C$
Ví dụ 4: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = \sqrt[3]{x}$ b) $f(x) = \sqrt x $ c) $f(x) = 3\sqrt[4]{x}$ d) $f(x) = \frac{1}{{\sqrt[7]{x}}}$
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {\sqrt[3]{x}dx} = \int {{x^{\frac{1}{3}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C$
$ = \frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} + C = \frac{{3{x^{\frac{4}{3}}}}}{4} + C = \frac{{3\sqrt[3]{{{x^4}}}}}{4} + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {\sqrt x dx} = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx} = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C$
$ = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{{2{x^{\frac{3}{2}}}}}{3} + C = \frac{{2\sqrt {{x^3}} }}{3} + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {3\sqrt[4]{x}dx} = 3\int {\sqrt[4]{x}dx} = 3\int {{x^{\frac{1}{4}}}dx} $
$ = 3.\frac{{{x^{\frac{1}{4} + 1}}}}{{^{\frac{1}{4} + 1}}} + C = 3.\frac{{{x^{\frac{5}{4}}}}}{{^{\frac{5}{4}}}} + C = \frac{{12{x^{\frac{5}{4}}}}}{{^5}} + C = \frac{{12\sqrt[4]{{{x^5}}}}}{{^5}} + C$
d) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{\sqrt[7]{x}}}dx} = \int {\frac{1}{{{x^{\frac{1}{7}}}}}dx} = \int {{x^{ – \frac{1}{7}}}dx} $
$ = \frac{{{x^{ – \frac{1}{7} + 1}}}}{{ – \frac{1}{7} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{6}{7}}}}}{{\frac{6}{7}}} + C = \frac{{7{x^{\frac{6}{7}}}}}{6} + C = \frac{{7\sqrt[7]{{{x^6}}}}}{6} + C$
Ví dụ 5: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = \frac{9}{x}$ b) $f(x) = \frac{1}{x} – 5$ c) $f(x) = \frac{1}{{3x + 2}}$ d) $f(x) = \frac{5}{{2x – 7}}$
Lời giải
Chú ý:
$\int {\frac{1}{x}dx = \ln } \left| x \right| + C$
$\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln } \left| {ax + b} \right| + C$
a) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{9}{x}dx} = 9\int {\frac{1}{x}dx} = 9.\ln \left| x \right| + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{1}{x} – 5} \right)dx} = \int {\frac{1}{x}dx} – \int {5dx} = \ln \left| x \right| – 5x + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{3x + 2}}dx} = \frac{1}{3}\ln \left| {3x + 2} \right| + C$
d $\int {f(x)dx} = \int {\frac{5}{{2x – 7}}dx} = 5\int {\frac{1}{{2x – 7}}dx} $
$ = 5.\frac{1}{2}\ln \left| {2x – 7} \right| + C = \frac{5}{2}\ln \left| {2x – 7} \right| + C$
Ví dụ 6: Tính nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = {x^3}$ biết $F(1) = \frac{3}{4}$.
Lời giải
Ta có: $F(x) = \int {f(x)dx} = \int {{x^3}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + C$.
Theo đề cho $F(1) = \frac{3}{4}$ nên $\frac{{{1^4}}}{4} + C = \frac{3}{4} \Leftrightarrow C = \frac{3}{4} – \frac{1}{4} \Leftrightarrow C = \frac{1}{2}$
Vậy $F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{1}{2}$
Ví dụ 7: Tính nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 3{x^{2025}}$ biết $F( – 1) = \frac{{2029}}{{2026}}$.
Lời giải
Ta có: $F(x) = \int {f(x)dx} = \int {3{x^{2025}}dx} $
$ = 3\int {{x^{2025}}dx} = 3.\frac{{{x^{2026}}}}{{2026}} + C = \frac{{3{x^{2026}}}}{{2026}} + C$.
Theo đề cho $F( – 1) = \frac{{2029}}{{2026}}$
nên $\frac{{3{{( – 1)}^{2026}}}}{{2026}} + C = \frac{{2029}}{{2026}} \Leftrightarrow \frac{3}{{2026}} + C = \frac{{2029}}{{2026}}$
$ \Leftrightarrow C = \frac{{2029}}{{2026}} – \frac{3}{{2026}} \Leftrightarrow C = 1$
Vậy $F(x) = \frac{{3{x^{2026}}}}{{2026}} + 1$
Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
Chú ý:
$\int {cosxdx = \sin x} + C$; $\int {cos\left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\sin xdx = – cosx} + C$; $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}cosx\left( {ax + b} \right)} + C$;
$\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx = \tan x} + C$;
$\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x} + C$;
Ví dụ 8: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = 7cosx$ b) $f(x) = 5\sin x$ c) $f(x) = \sin 3x$ d) $f(x) = cos\frac{x}{4}$ e) $f(x) = 2cosx – 3\sin x$
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {7cosxdx} = 7\int {cosxdx} = 7\sin x + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {5\sin xdx} = 5\int {\sin xdx} $
$ = 5\left( { – cosx} \right) + C = – 5cosx + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\sin 3xdx} = – \frac{1}{3}cosx + C$
d) $\int {f(x)dx} = \int {cos\frac{x}{4}dx} = \frac{1}{{\frac{1}{4}}}\sin x + C = 4\sin x + C$
e) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {2cosx – 3\sin x} \right)dx} = \int {2cosxdx} – \int {3\sin xdx} $
$ = 2\int {cosxdx} – 3\int {\sin xdx} = 2\sin x + 3cosx + C$
Ví dụ 9: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = \frac{{10}}{{co{s^2}x}}$ b) $f(x) = \frac{{2025}}{{{{\sin }^2}x}}$ c) $f(x) = \frac{{11}}{{co{s^2}x}} + \frac{3}{{si{n^2}x}}$
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{{10}}{{co{s^2}x}}dx} = 10\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx} = 10\tan x + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {\frac{{2025}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = 2025\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} $
$ = 2025\left( { – \cot x} \right) + C = – 2025\cot x + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{{11}}{{co{s^2}x}} + \frac{3}{{si{n^2}x}}} \right)dx} = \int {\frac{{11}}{{co{s^2}x}}dx} + \int {\frac{3}{{si{n^2}x}}dx} $
$ = 11\int {\frac{1}{{co{s^2}x}}dx} + 3\int {\frac{1}{{si{n^2}x}}dx} = 11\tan x – 3\cot x + C$
Dạng 3. Nguyên hàm của hàm số mũ
Chú ý:
$\int {{e^x}dx = {e^x}} + C$; $\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}}} + C$
$\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} + C$
Ví dụ 10: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = 15{e^x}$ b) $f(x) = {e^{9x}}$ c) $f(x) = {15^x} + {17^x}$ d) $f(x) = {2025^x} – 9{e^x}$
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {15{e^x}dx} = 15\int {{e^x}dx} = 15{e^x} + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {{e^{9x}}dx} = \frac{1}{9}{e^{9x}} + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {{{15}^x} + {{17}^x}} \right)dx} = \int {{{15}^x}dx} + \int {{{17}^x}dx} $
$ = \frac{{{{15}^x}}}{{\ln 15}} + \frac{{{{17}^x}}}{{\ln 17}} + C$
d) $\int {f(x)dx} = \int {\left( {{{2025}^x} – 9.{e^x}} \right)dx} = \int {{{2025}^x}dx} – \int {9.{e^x}dx} $
$ = \frac{{{{2025}^x}}}{{\ln 2025}} – 9{e^x} + C$
4. Nguyên hàm của hàm số tổng hợp đơn giản
Chú ý:
${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$
${\left( {a – b} \right)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}$
Ví dụ 11: Tính nguyên hàm các hàm số sau
a) $f(x) = {\left( {3x + \frac{1}{x}} \right)^2}$ b) $f(x) = {\left( {{e^x} – 3} \right)^2}$ c) $f(x) = {\left( {\sin \frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}} \right)^2}$ d) $f(x) = {\left( {{5^x} – {3^x}} \right)^2}$
Lời giải
a) $\int {f(x)dx} = \int {{{\left( {3x + \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \int {\left( {9{x^2} + 6 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} $
$ = \int {9{x^2}dx} + \int {6dx} + \int {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = 9.\frac{{{x^3}}}{3} + 6x – \frac{1}{x} + C$
$ = 3{x^3} + 6x – \frac{1}{x} + C$
b) $\int {f(x)dx} = \int {{{\left( {{e^x} – 3} \right)}^2}dx} = \int {\left( {{e^{2x}} – 6{e^x} + 9} \right)dx} $
$ = \int {{e^{2x}}dx} – \int {6{e^x}dx} + \int {9dx} = \frac{1}{2}{e^{2x}} – 6{e^x} + 9x + C$
c) $\int {f(x)dx} = \int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} + cos\frac{x}{2}} \right)}^2}dx} $
$ = \int {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}cos\frac{x}{2} + co{s^2}\frac{x}{2}} \right)dx} $
$ = \int {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + co{s^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}cos\frac{x}{2}} \right)dx} $
$ = \int {\left( {1 + \sin x} \right)dx} = x – cosx + C$
d) $\int {f(x)dx} = \int {{{\left( {{5^x} – {3^x}} \right)}^2}dx} = \int {\left( {{{\left( {{5^x}} \right)}^2} – {{2.5}^x}{{.3}^x} + {{\left( {{3^x}} \right)}^2}} \right)dx} $
$ = \int {\left( {{{25}^x} – {{2.15}^x} + {9^x}} \right)dx} $$ = \int {{{25}^x}dx} – \int {{{2.15}^x}dx} + \int {{9^x}dx} $
$ = \frac{{{{25}^x}}}{{\ln 25}} – 2.\frac{{{{15}^x}}}{{\ln 15}} + \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}}$
Ví dụ 12: Tính nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \frac{6}{x}$ biết $F(e) = 12$.
Lời giải
Ta có: $F(x) = \int {f(x)dx} = \int {\frac{6}{x}dx} $
$ = 6\int {\frac{1}{x}dx} = 6.\ln \left| x \right| + C$.
Theo đề cho $F(e) = 12$
nên $6.\ln \left| e \right| + C = 12 \Leftrightarrow 6 + C = 12 \Leftrightarrow C = 6$
Vậy $F(x) = 6.\ln \left| x \right| + 2$
