Các dạng bài tập trả lời ngắn phương trình mặt phẳng trong không gian oxyz giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
Dạng 1: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng khi biết một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phương
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, phương trình tổng quát mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(3; – 1;4)$ đồng thời vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow a = \left( {1; – 1;2} \right)$ có dạng $x + by + cz + d = 0$. Tính $b + c + d$.
Lời giải
Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(3; – 1;4)$ đồng thời vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow a = \left( {1; – 1;2} \right)$ nên nhận $\overrightarrow a = \left( {1; – 1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
Do đó, $(P)$ có phương trình là
$1\left( {x – 3} \right) – 1\left( {y + 1} \right) + 2\left( {z – 4} \right) = 0$$ \Leftrightarrow x – 3 – y – 1 + 2z – 8 = 0$
$ \Leftrightarrow x – y + 2z – 12 = 0$.
Vậy $b + c + d = – 1 + 2 + ( – 12) = – 11$.
Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $M\left( {0; – 2;1} \right)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( { – 2; – 3;8} \right)$, $\overrightarrow b = \left( { – 1;0;6} \right)$. Biết phương trình của $(P)$ có dạng: $18x + by + cz + d = 0$. Tính $b + c + d$.
Lời giải
Ta có $\vec n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = ( – 18;4; – 3)$.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M\left( {0; – 2;1} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n = ( – 18;4; – 3)$ nên có phương trình
$ – 18\left( {x – 0} \right) + 4\left( {y + 2} \right) – 3\left( {z – 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 18x – 4y + 3z – 12 = 0$.
Suy ra mặt phẳng có phương trình: $18x – 4y + 3z – 12 = 0$.
Vậy $b + c + d = – 4 + 3 + ( – 12) = – 13$.
Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left( {1;1;0} \right)$, $B\left( {0;2;1} \right)$, $C\left( {1;0;2} \right)$, $D\left( {1;1;1} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $A\left( {1;1;0} \right)$, $B\left( {0;2;1} \right)$, $\left( \alpha \right)$ song song với đường thẳng $CD$. Biết phương trình của $(P)$ có dạng: $2x + by + cz + d = 0$. Tính $b + c + d$.
Lời giải
$\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;1;1} \right)$, $\overrightarrow {CD} = \left( {0;1; – 1} \right)$ $ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { – 2; – 1; – 1} \right)$.
$\left( \alpha \right)$ đi qua $A\left( {1;1;0} \right)$ và có một VTPT là $\overrightarrow n \left( {2;1;1} \right)$
$ \Rightarrow \left( \alpha \right):2x + y + z – 3 = 0$.
Vậy $b + c + d = 1 + 1 + ( – 3) = – 1$.
Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;1; – 3)$ và mặt phẳng $(P):3x – 2y + z – 3 = 0$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với $(P)$. Biết phương trình của $(Q)$ có dạng: $3x + by + cz + d = 0$. Tính $b + c + d$.
Lời giải
Mặt phẳng $(Q)$ cần tìm song song với mặt phẳng $(P):3x – 2y + z – 3 = 0$ nên có phương trình dạng
$(Q):3x – 2y + z + m = 0$, $m \ne – 3$
Vì $M \in (Q)$ nên $(Q):3.2 – 2.1 + ( – 3) + m = 0$$ \Leftrightarrow m = – 1$
Suy ra $(Q):3x – 2y + z – 1 = 0$.
Vậy $b + c + d = – 2 + 1 + ( – 1) = – 2$.
Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3; – 2; – 2)$, $B(3;2;0)$, $C(0;2;1)$. Biết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ có dạng: $2x + by + cz + d = 0$. Tính $b + c + d$.
Lời giải
Ta có:
$\overrightarrow {AB} = (0;4;2),\overrightarrow {AC} = ( – 3;4;3)$,
$\vec n = [\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = (4; – 6;12)$.
Ta có $\vec n = (4; – 6;12)$ cùng phương ${\vec n_1} = (2; – 3;6)$
Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm $C(0;2;1)$ và có một vectơ pháp tuyến ${\vec n_1} = (2; – 3;6)$ nên $(ABC)$ có phương trình là:
$2(x – 0) – 3(y – 2) + 6(z – 1) = 0 \Leftrightarrow 2x – 3y + 6z = 0$.
Suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm là: $2x – 3y + 6z = 0$.
Vậy $b + c + d = – 3 + 6 + 0 = 3$.
Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0;0;1} \right)$ và $B\left( {2;1;3} \right)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AB$. Biết phương trình của $(P)$ có dạng: $ax + y + cz + d = 0$. Tính $a + c + d$.
Lời giải
Mặt phẳng đi qua $A\left( {0;0;1} \right)$ và nhận vecto $\overrightarrow {AB} = \left( {2;1;2} \right)$ làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là: $2\left( {x – 0} \right) + \left( {y – 0} \right) + 2\left( {z – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 2z – 2 = 0$
Vậy $a + c + d = 2 + 2 + ( – 2) = 2$.
Câu 7. Trong không gian $Oxyz$, cho hai diểm $A(2;4;1),B( – 1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):x – 3y + 2z – 5 = 0$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A,\,B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Biết phương trình của $(Q)$ có dạng: $ax + 2y + cz + d = 0$. Tính $a + c + d$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {AB} = ( – 3; – 3;2)$, vectơ pháp tuyến của $mp(P)$ là $\overrightarrow {{n_P}} = (1; – 3;2)$.
Từ giả thiết suy ra $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = (0;8;12)$ là vectơ pháp tuyến của $mp(Q)$.
$Mp(Q)$ đi qua điểm $A(2;4;1)$ suy ra phương trình tổng quát của $mp(Q)$ là:
$0(x – 2) + 8(y – 4) + 12(z – 1) = 0$$ \Leftrightarrow 2y + 3z – 11 = 0$.
Vậy $a + c + d = 0 + 3 + ( – 11) = – 8$.
Câu 8. Trong không gian $Oxyz$, gọi $M, N, P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A(2; – 3;1)$ lên các mặt phẳng tọa độ. Biết phương trình của $(MNP)$ có dạng: $3x + by + cz + d = 0$. Tính $b + c + d$.
Lời giải
Gọi $M, N, P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A(2; – 3;1)$ lên các mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$,$(Oxz)$, $(Oyz)$.
Khi đó, $M(2; – 3;0),N(2;0;1)$ và $P(0; – 3;1)$
$\overrightarrow {MN} = (0;3;1)$ và $\overrightarrow {MP} = ( – 2;0;1)$.
Ta có, $\overrightarrow {MN} $ và $\overrightarrow {MP} $ là cặp vectơ không cùng phương và có giá nằm trong (MNP)
Do đó, $(MNP)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = [\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ] = (3; – 2;6)$.
Mặt khác, $(MNP)$ đi qua $M(2; – 3;0)$ nên có phương trình là:
$3(x – 2) – 2(y + 3) + 6(z – 0) = 0 \Leftrightarrow 3x – 2y + 6z – 12 = 0$.
Vậy $b + c + d = – 2 + 6 + ( – 12) = – 8$.
Dạng 2: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng khi biết một vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phương mà không biết điểm thuộc mặt phẳng
Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( \beta \right):x + y – z = 0$ và cách $\left( \beta \right)$ một khoảng bằng $\sqrt 3 $. Biết phương trình của $(\alpha )$ có dạng$x + by + cz + d = 0$. Tính $b + c + d$.
Lời giải
Vì $\left( \alpha \right)//\left( \beta \right)$ nên phương trình $\left( \alpha \right)$ có dạng : $x + y – z + d = 0$ với $d \ne 0$.
Lấy điểm $I\left( { – 1; – 1;1} \right) \in \left( \beta \right)$.
Vì khoảng cách từ $\left( \alpha \right)$ đến $\left( \beta \right)$ bằng $\sqrt 3 $ nên ta có :
$d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 1 – 1 – 1 + d} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 $$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {d – 3} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 $$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
d = 0\,\,(loại) \hfill \\
d = 6 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Suy ra phương trình $\left( \alpha \right)$ là: $x + y – z + 6 = 0$.
Vậy $b + c + d = 1 + ( – 1) + 6 = 6$.
Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( {{Q_1}} \right):3x – y + 4z + 2 = 0$ và $\left( {{Q_2}} \right):3x – y + 4z + 8 = 0$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng song song với $\left( {{Q_1}} \right)$ và cách đều hai mặt phẳng $\left( {{Q_1}} \right)$ và $\left( {{Q_2}} \right)$. Biết phương trình của $(P)$ có dạng: $3x + by + cz + d = 0$. Tính $b + c + d$.
Lời giải
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có dạng $3x – y + 4z + D = 0$.
Lấy $M\left( {0;2;0} \right) \in \left( {{Q_1}} \right)$ và $N\left( {0;8;0} \right) \in \left( {{Q_2}} \right)$.
Do $\left( {{Q_1}} \right)//\left( {{Q_2}} \right)$ nên trung điểm $I\left( {0;5;0} \right)$ của $MN$ phải thuộc vào $\left( P \right)$ nên $3.0 – 5 + 4.0 + D = 0 \Leftrightarrow D = 5$.
Suy ra $\left( P \right):3x – y + 4z + 5 = 0$.
Vậy $b + c + d = – 1 + 4 + 5 = 8$.
Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, gọi $\left( \gamma \right)$ là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng $4x – y – 2z – 3 = 0$, $4x – y – 2z – 5 = 0$. Biết phương trình của $\left( \gamma \right)$ có dạng: $4x + by + cz + d = 0$. Tính $b + c + d$.
Lời giải
Gọi điểm $A\left( {0; – 3;0} \right) \in 4x – y – 2z – 3 = 0 \left( \alpha \right)$ và $B\left( {0; – 5;0} \right) \in 4x – y – 2z – 5 = 0 \left( \beta \right)$.
Mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng trên có dạng: $4x – y – 2z + m = 0 \left( \gamma \right)$.
Để mặt phẳng $\left( \gamma \right)$ cách đều hai mặt phẳng trên thì $d\left( {A;\left( \beta \right)} \right) = 2d\left( {A;\left( \gamma \right)} \right)$$ \Leftrightarrow \left| {m + 3} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = – 2 \hfill \\
m = – 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Mặt khác điểm hai điểm $A$, $B$ phải nằm về hai phía của mặt phẳng $\left( \gamma \right)$.
Do đó:
+ Với $m = – 2$ ta có: $\left( {4.0 + 3 – 2.0 – 2} \right)\left( {4.0 + 5 – 2.0 – 2} \right) > 0$ nên $A;B$ cùng phía.
+ Với $m = – 4$ ta có: $\left( {4.0 + 3 – 2.0 – 4} \right)\left( {4.0 + 5 – 2.0 – 4} \right) < 0$ nên $A;B$ khác phía.
Suy ra $\left( \gamma \right):\,4x – y – 2z – 4 = 0$.
Vậy $b + c + d = – 1 + ( – 2) + ( – 4) = – 7$.
Câu 12. Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(2;0;0)$, $B(0;4;0)$, , $C(0;0;6)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng song song với mặt phẳng $(ABC)$, $(P)$ cách đều $D$ và mặt phẳng $(ABC)$. Biết phương trình của $\left( P \right)$ có dạng: $6x + by + cz + d = 0$. Tính $b + c + d$.
Lời giải
Đáp án: $(P):6x + 3y + 2z – 24 = 0$
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z – 12 = 0$
$ + (P)$ song song với mặt phẳng $(ABC)$ nên $(P)$ có dạng: $6x + 3y + 2z + D = 0$ $(D \ne – 12)$
$ + d(D;(P)) = d((ABC),(P)) \Leftrightarrow d(D;(P)) = d(A,(P)) $
$\Leftrightarrow |36 + D| = |12 + D| \Leftrightarrow D = – 24$.
Suy ra $(P)$ là: $6x + 3y + 2z – 24 = 0$.
Vậy $b + c + d = 3 + 2 + ( – 24) = – 19$.
Dạng 3: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng khi biết điểm thuộc mặt phẳng và không biết vectơ pháp tuyến hoặc không biết hai vectơ chỉ phương
Câu 13. Trong không gian Oxyz, Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): $x + y + z = 0$ và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng $\sqrt 2 $. Biết $\left( P \right)$ có hai phương trình dạng $x + by + cz + d = 0$ và dạng $5x + ey + fz + g = 0$. Tính $b + c + d + e + f + g$.
Lời giải
• PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: $Ax + By + Cz = 0$ (với ${A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0$).
• Vì (P) ⊥ (Q) nên: $1.A + 1.B + 1.C = 0$ ⇔ $C = – A – B$ (1)
• $d(M,(P)) = \sqrt 2 $ ⇔ $\frac{{\left| {A + 2B – C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \sqrt 2 $
⇔ ${(A + 2B – C)^2} = 2({A^2} + {B^2} + {C^2})$ (2)
Từ (1) và (2) ta được: $8AB + 5{B^2} = 0$ ⇔ $\left[ \begin{gathered}
B = 0 & & (3) \hfill \\
8A + 5B = 0 & (4) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
• Từ (3): B = 0 ⇒ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 ⇒ (P): $x – z = 0$
• Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 ⇒ C = 3 ⇒ (P): $5x – 8y + 3z = 0$.
Vậy $b + c + d + e + f + g = 0 + ( – 1) + 0 + ( – 8) + 3 + 0 = – 6$.
Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho các điểm $M( – 1;1;0),\,N(0;0; – 2),\,I(1;1;1)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng $\sqrt 3 $. Biết $\left( P \right)$ có hai phương trình dạng $x + by + cz + d = 0$ và dạng $7x + ey + fz + g = 0$. Tính $b + c + d + e + f + g$.
Lời giải
• PT mặt phẳng (P) có dạng: $ax + by + cz + d = 0\,\,({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0)$.
Ta có: $\left\{ \begin{gathered}
M \in (P) \hfill \\
N \in (P) \hfill \\
d(I,(P)) = \sqrt 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
⇔ $\left[ \begin{gathered}
a = – b,\,2c = a – b,\,d = a – b & (1) \hfill \\
5a = 7b,\,2c = a – b,\,d = a – b & (2) \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
+ Với (1) PT mặt phẳng (P): $x – y + z + 2 = 0$
+ Với (2) PT mặt phẳng (P): $7x + 5y + z + 2 = 0$.
Vậy $b + c + d + e + f + g = ( – 1) + 1 + 2 + 5 + 1 + 2 = 10$.
Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với $A(1; – 1;2)$, $B(1;3;0)$, $C( – 3;4;1)$, $D(1;2;1)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). Biết $\left( P \right)$ có hai phương trình dạng $x + by + cz + d = 0$ và dạng $x + ey + fz + g = 0$. Tính $b + c + d + e + f + g$.
Lời giải
PT mặt phẳng (P) có dạng: $ax + by + cz + d = 0\,\,\,({a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0)$.
Ta có: $\left\{ \begin{gathered}
A \in (P) \hfill \\
B \in (P) \hfill \\
d(C,(P)) = d(D,(P)) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
⇔$\left\{ \begin{gathered}
a – b + 2c + d = 0 \hfill \\
a + 3b + d = 0 \hfill \\
\frac{{\left| { – 3a + 4b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {a + 2b + c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
⇔$\left[ \begin{gathered}
b = 2a,\,c = 4a,\,d = – 7a \hfill \\
c = 2a,\,b = a,\,d = – 4a \hfill \\
\end{gathered} \right.$
+ Với $b = 2a,\,c = 4a,\,d = – 7a$ (P): $x + 2y + 4z – 7 = 0$.
+ Với $c = 2a,\,b = a,\,d = – 4a$ (P): $x + y + 2z – 4 = 0$.
Vậy $b + c + d + e + f + g = 2 + 4 + ( – 7) + 1 + 2 + ( – 4) = – 2$.
Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;2;3)$, $B(0; – 1;2)$, $C(1;1;1)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và gốc tọa độ $O$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $C$ đến $(P)$. Biết $\left( P \right)$ có hai phương trình dạng $3x + by + cz + d = 0$ và dạng $2x + ey + fz + g = 0$. Tính $b + c + d + e + f + g$.
Lời giải
Vì O (P) nên $(P):ax + by + cz = 0$, với ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0$.
Do A (P) $a + 2b + 3c = 0$(1)
và $d(B,(P)) = d(C,(P)) \Leftrightarrow \left| { – b + 2c} \right| = \left| {a + b + c} \right|$ (2)
Từ (1) và (2) $b = 0$ hoặc $c = 0$.
Với $b = 0$ thì $a = – 3c$ ⇒$(P):3x – z = 0$
Với $c = 0$ thì $a = – 2b$ ⇒$(P):2x – y = 0$
Vậy $b + c + d + e + f + g = – 2$.
Câu 17. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;\,1; – 1)$, $B(1;\,1;\,2)$, $\,C( – 1;\,2; – 2)$ và mặt phẳng (P): $x – 2y + 2z + 1 = 0$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho $IB = 2IC$. Biết $(\alpha )$ có hai phương trình dạng $2x + by + cz + d = 0$ và dạng $2x + ey + fz + g = 0$. Tính $b + c + d + e + f + g$.
Lời giải
PT $(\alpha )$có dạng: $ax + by + cz + d = 0$, với ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0$
Do $A(1;\,1; – 1) \in (\alpha )$nên: $a + b – c + d = 0$ (1);
$(\alpha ) \bot (P)$ nên $a – 2b + 2c = 0$ (2)
$IB = 2IC$ $d(B,(\alpha )) = 2d(C;(\alpha ))$ ⇔$\frac{{\left| {a + b + 2c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 2\frac{{\left| { – a + 2b – 2c + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
3a – 3b + 6c – d = 0 \hfill \\
– a + 5b – 2c + 3d = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,\,\,\,\,(3)$
Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :
TH1 : $\left\{ \begin{gathered}
a + b – c + d = 0 \hfill \\
a – 2b + 2c = 0 \hfill \\
3a – 3b + 6c – d = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow b = \frac{{ – 1}}{2}a;\,\,c = – a;\,\,d = \frac{{ – 3}}{2}a$.
Chọn $a = 2 \Rightarrow b = – 1;\,c = – 2;\,d = – 3$ ⇒$(\alpha )$: $2x – y – 2z – 3 = 0$
TH2 : $\left\{ \begin{gathered}
a + b – c + d = 0 \hfill \\
a – 2b + 2c = 0 \hfill \\
– a + 5b – 2c + 3d = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow b = \frac{3}{2}a;\,c = a;\,d = \frac{{ – 3}}{2}a$.
Chọn $a = 2 \Rightarrow b = 3;\,c = 2;\,d = – 3$ ⇒$(\alpha )$: $2x + 3y + 2z – 3 = 0$
Suy ra $(\alpha )$: $2x – y – 2z – 3 = 0$ hoặc $(\alpha )$: $2x + 3y + 2z – 3 = 0$
Vậy $b + c + d + e + f + g = – 4$.
Dạng 4: Một số dạng khác
Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {3\,;\,1\,;\,7} \right)$, $B\left( {5\,;\,5\,;\,1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x – y – z + 4 = 0$. Điểm $M$ thuộc $\left( P \right)$ sao cho $MA = MB = \sqrt {35} $ và $M$ có hoành độ nguyên. Biết $OM = a\sqrt b $. Tính $a + b$ với $b$ là số nguyên tố và $a$ là số nguyên.
Lời giải
Gọi $M\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$ với $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{R}$, $c \in \mathbb{R}$.
Ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( {a – 3\,;\,b – 1\,;\,c – 7} \right)$ và $\overrightarrow {BM} = \left( {a – 5\,;\,b – 5\,;\,c – 1} \right)$.
Vì $\left\{ \begin{gathered}
M \in \left( P \right) \hfill \\
MA = MB = \sqrt {35} \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
M \in \left( P \right) \hfill \\
M{A^2} = M{B^2} \hfill \\
M{A^2} = 35 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ nên ta có hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{gathered}
2a – b – c + 4 = 0 \hfill \\
{\left( {a – 3} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} + {\left( {c – 7} \right)^2} = {\left( {a – 5} \right)^2} + {\left( {b – 5} \right)^2} + {\left( {c – 1} \right)^2} \hfill \\
{\left( {a – 3} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} + {\left( {c – 7} \right)^2} = 35 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
2a – b – c = – 4 \hfill \\
4a + 8b – 12c = – 8 \hfill \\
{\left( {a – 3} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} + {\left( {c – 7} \right)^2} = 35 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
b = c \hfill \\
c = a + 2 \hfill \\
{\left( {a – 3} \right)^2} + {\left( {b – 1} \right)^2} + {\left( {c – 7} \right)^2} = 35 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
b = a + 2 \hfill \\
c = a + 2 \hfill \\
3{a^2} – 14a = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 0 \hfill \\
b = 2 \hfill \\
c = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$, (do $a \in \mathbb{Z}$).
Ta có $M\left( {2\,;\,2\,;\,0} \right)$. Suy ra $OM = 2\sqrt 2 $.
Vậy $a + b = 2 + 2 = 4$
Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa điểm $M(1;3; – 2)$, cắt các tia $Ox,\,Oy,\,Oz$ lần lượt tại $A,\,B,\,C$ sao cho $\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4}$. Biết phương trình của $\left( P \right)$ có dạng: $4x + by + cz + d = 0$. Tính $b + c + d$.
Lời giải
Phương trình mặt chắn cắt tia $Ox$ tại $A(a;0;0)$, cắt tia $Oy$ tại $B(0;b;0)$, cắt tia $Oz$ tại $C(0;0;c)$ có dạng là $(P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (với $a > 0,b > 0,c > 0$ ).
Theo đề: $\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4}$$ \Leftrightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{4}$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = \frac{b}{2}} \\
{c = 2b}
\end{array}} \right.$.
Vi $M(1;3; – 2)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ nên ta có: $\frac{1}{{\frac{b}{2}}} + \frac{3}{b} + \frac{{ – 2}}{{2b}} = 1$$ \Leftrightarrow \frac{4}{b} = 1 \Leftrightarrow b = 4$.
Khi đó $a = 2,c = 8$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{8} = 1$$ \Leftrightarrow 4x + 2y + z – 8 = 0$.
Vậy $b + c + d = 2 + 1 + ( – 8) = – 5$.
Câu 20. Trong không $Oxyz$cho mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(9;1;1)$ cắt các tia $Ox,\,Oy,\,Oz$ lần lượt tại $A,\,B,\,C$ ($A,\,B,\,C$ không trùng với gốc tọa độ ). Biết thể tích tứ diện $OABC$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Tính $a + b$.
Lời giải
Giả sử $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c > 0$.
Mặt phẳng $(P)$ có phương trình ( theo đoạn chắn): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.
Vì mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(9;1;1)$ nên $\frac{9}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$.
Ta có $1 = \frac{9}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geqslant 3\sqrt[3]{{\frac{9}{{ a.b.c }}}} \Rightarrow $ a.b.c $ \geqslant 243$.
${V_{OABC}} = \frac{1}{6}$ a.b.c $ \geqslant \frac{{243}}{6} = \frac{{81}}{2}$.
Suy ra thể tích tứ diện $OABC$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{{81}}{2}$.
Vậy $a + b = 81 + 2 = 83$.
