30 câu trắc nghiệm ứng dụng đạo hàm để giải quyết vấn đề thực tiễn giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1: Công suất $P$ (đơn vị $W$ ) của một mạch điện được cung cấp bởi một nguồn pin $12V$ được cho bởi công thức $P = 24I – {I^2}$ với $I$ (đơn vị $A$ ) là cường độ dòng điện. Tìm công suất tối đa của mạch điện.
A. $144$.
B. $24$ .
C. $72$.
D. $12$.
Lời giải
Xét hàm số $P = 24I – {I^2}$ với $I \geqslant 0$.
$P’ = 24 – 2.I = 0 \Leftrightarrow I = 12.\;$
Bảng biến thiên:
Vậy, công suất tối đa của mạch điện là $144\,\left( W \right)$ đạt được khi cường độ dòng điện là $12\left( A \right)$.
Chọn A
Câu 2: Khi nuối cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã nhận thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là $P\left( n \right) = 480 – 20n\left( g \right)$. Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
A. 14
B. 13
C. 12
D. 11
Lời giải
Gọi $F\left( n \right)$ là hàm cân nặng của n con cá sau vụ thu hoạch trên một đơn vị diện tích
Ta có: $F\left( n \right) = \left( {480 – 20n} \right) \cdot n = 480n – 20{n^2}$
Để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất thì cân nặng của n con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ là lớn nhất.
Bài toán trở thành tìm $n \in {\mathbb{N}^*}$ sao cho $F\left( x \right)$ đạt GTLN.
$F’\left( n \right) = 480 – 40n$
$F’\left( n \right) = 0 \Leftrightarrow 480 – 40n = 0 \Leftrightarrow n = 12$
Bảng biến thiên:
Vậy phải thả 12 con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.
Chọn C
Câu 3: Để giảm nhiệt độ trong phòng từ ${28^ \circ }C$, một hệ thống làm mát được phép hoạt động trong 10 phút. Gọi $T$ (đơn vị ${\;^0}C$ ) là nhiệt độ phòng ở phút thứ $t$ được cho bởi công thức $T = – 0,008{t^3} – 0,16t + 28$ với $t \in \left[ {1;10} \right]$. Tìm nhiệt độ thấp nhất trong phòng đạt được trong thời gian 10 phút kể từ khi hệ thống làm mát bắt đầu hoạt động.
A. $27,{832^ \circ }C$.
B. $18,{4^0}C$.
C. $26,{2^0}C$.
D. $25,{312^ \circ }C$.
Lời giải
Xét hàm số $T = – 0,008{t^3} – 0,16t + 28$ với $t \in \left[ {1;10} \right]$.
$T’ = – 0,024{t^2} – 0,16 < 0,\forall t \in \left[ {1;10} \right]$.
Suy ra hàm số $T$ nghịch biến trên đoạn $\left[ {1;10} \right]$.
Nhiệt độ thấp nhất trong phong đạt được là ${T_{min}} = T\left( {10} \right) = 18,{4^ \circ }C$.
Chọn B
Câu 4: Sự ảnh hưởng khi sử dụng một loại độc tố với vi khuẩn $X$ được một nhà sinh học mô tả bời hàm số $P(t) = \frac{{t + 1}}{{{t^2} + t + 4}}$, trong đó $P(t)$ là số lượng vi khuẩn sau $t$ sử dụng độc tố. Vào thời điểm nào thì số lượng vi khuẩn $X$ bắt đầu giàm?
A. Ngay từ lúc bắt đầu sử dụng độc tố.
B. Sau 0,5 giờ.
C. Sau 2 giờ.
D. Sau 1 giờ.
Lời giải
– Xét ${P^\prime }(t) = \frac{{ – {t^2} – 2t + 3}}{{{{\left( {{t^2} + t + 4} \right)}^2}}} = \frac{{(t – 1)( – t – 3)}}{{{{\left( {{t^2} + t + 4} \right)}^2}}}$ với $t \geqslant 0$.
$P'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 3\,\,(loại)} \\
{t = 1}
\end{array}.} \right.$
Ta thấy hàm số đạt cực đại tại $t = 1$ và ${P^\prime }(t) < 0,\forall t \in (1; + \infty )$ nên sau $1\,\,(h)$ thì vi khuẩn bắt đầu giảm.
Chọn D
Câu 5: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu?
A. 2.250 .000
B. 2.350 .000
C. 2.450 .000
D. 2.550 .000
Lời giải
Gọi x là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ, $(x$ : đồng; $x \geqslant 2000.000$ đồng $)$
Ta có thể lập luận như sau:
Tăng giá 100.000 đồng thì có 2 căn hộ bị bỏ trống.
Tăng giá $x – 2.000.000$ đồng thì có bao nhiêu căn hộ bị bỏ trống.
Theo quy tắc tam suất ta có số căn hộ bị bỏ trống là:
$\frac{{2\left( {x – 2.000.000} \right)}}{{100.000}} = \frac{{x – 2.000.000}}{{50.000}}$
Do đó khi cho thuê với giá x đồng thì số căn hộ cho thuê là:
$50 – \frac{{x – 2.000.000}}{{50.000}} = – \frac{x}{{50.000}} + 90$
Gọi $F\left( x \right)$ là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, $(F\left( x \right)$ : đồng).
Ta có: $F\left( x \right) = \left( { – \frac{x}{{50.000}} + 90} \right)x = – \frac{1}{{50.000}}{x^2} + 90x$ ( bằng số căn hộ cho thuê nhân với giá cho thuê mỗi căn hộ).
Bài toán trở thành tìm GTLN của $F\left( x \right) = – \frac{1}{{50.000}}{x^2} + 90x$, ĐK: $x \geqslant 2.000.000$
$F’\left( x \right) = – \frac{1}{{25.000}}x + 90$
$F’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – \frac{1}{{25.000}}x + 90 = 0$
$ \Leftrightarrow x = 2.250.000$
Bảng biến thiên:
Suy ra $F\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = 2.250.000$
Vậy công ty phải cho thuê với giá 2.250 .000 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất.
Chọn A
Nhận xét:
Sau khi tìm được hàm $F\left( x \right) = – \frac{1}{{50.000}}{x^2} + 90x$. Ta không cần phải đi khảo sát và vẽ bảng biến thiên như trên. Đề đã cho bốn đáp án x , ta dùng phím CALC của MTCT để thay lần lượt các giá trị vào, cái nào làm cho $F\left( x \right)$ lớn nhất chính là giá trị cần tìm.
Câu 6: Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50.000 đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000 đồng.
A. 44.000 d
B. 43.000 d
C. 42.000 d
D. 41.000 d
Lời giải
Chọn C
Gọi x là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng, (x: đồng; $30.000 \leqslant x \leqslant 50.000$ đồng).
Ta có thể lập luận như sau:
Giá 50.000 đồng thì bán được 40 quả bưởi
Giảm giá 5.000 đồng thì bán được thêm 50 quả.
Giảm giá $50.000 – x$ thì bán được thêm bao nhiêu quả?
Theo quy tắc tam xuất số quả bán thêm được là:
$\left( {50000 – x} \right) \cdot \frac{{50}}{{5000}} = \frac{1}{{100}}\left( {50000 – x} \right)$.
Do đó Số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán x :
$40 + \frac{1}{{100}}\left( {50000 – x} \right) = – \frac{1}{{100}}x + 540$
Gọi $F\left( x \right)$ là hàm lợi nhuận thu được $(F\left( x \right)$ : đồng).
Ta có: $F\left( x \right) = \left( { – \frac{1}{{100}}x + 540} \right) \cdot \left( {x – 30.000} \right)$
$ = – \frac{1}{{100}}{x^2} + 840x – 16.200.000$
Bài toán trở thành tìm GTLN của
$F\left( x \right) = – \frac{1}{{100}}{x^2} + 840x – 16.200.000$ với $30.000 \leqslant x \leqslant 50.000$
$F’\left( x \right) = – \frac{1}{{50}}x + 840$
$F’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – \frac{1}{{50}}x + 840 = 0 \Leftrightarrow x = 42.000$
Vì hàm $F\left( x \right)$ liên tục trên $30.000 \leqslant x \leqslant 50.000$ nên ta có:
$F\left( {30.000} \right) = 0$
$F\left( {42.000} \right) = 1.440.000$
$F\left( {50.000} \right) = 800.000$
Vậy với $x = 42.000$ thì $F\left( x \right)$ đạt GTLN.
Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là 42.000 đồng.
Câu 7: Ông A dự định sử dụng hết $5,5\;{m^2}$ kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) ?:
A. $1,17\;{m^3}$.
B. $1,01\;{m^3}$.
C. $1,51\;{m^3}$.
D. $1,40\;{m^3}$.
Lời giải
Gọi x, 2 x, h lần lượt là chiều rộng, dài, cao của bể cá.
Ta có $2{x^2} + 2(xh + 2xh) = 5,5 \Leftrightarrow h = \frac{{5,5 – 2{x^2}}}{{6x}}$ ( Điều kiện $0 < x < \sqrt {\frac{{5,5}}{2}} $ ).
Thể tích bể cá $V = 2{x^2} \cdot \frac{{5,5 – 2{x^2}}}{{6x}} = \frac{1}{3}\left( {5,5x – 2{x^3}} \right)$.
$V’ = \frac{1}{3}\left( {5,5 – 6{x^2}} \right)$;
$V’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \sqrt {\frac{{5,5}}{6}} \hfill \\
x = – \sqrt {\frac{{5,5}}{6}} \,\,(loai) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Bảng biến thiên:
Suy ra ${V_{\max }} = \frac{{11\sqrt {33} }}{{54}} \approx 1,17\;{m^3}$.
Câu 8: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức $G\left( x \right) = 0,25{x^2}\left( {30 – x} \right)$ trong đó $x\left( {mg} \right)$ và $x > 0$ là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu:
A. 15 mg
B. 30 mg
C. 40 mg
D. 20 mg
Lời giải
Chọn D
Ta có: $G\left( x \right) = 0,25{x^2}\left( {30 – x} \right) = \frac{3}{4}{x^2} – \frac{1}{{40}}{x^3}$
$G’\left( x \right) = \frac{3}{2}x – \frac{3}{{40}}{x^2}$
$G’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2}x – \frac{3}{{40}}{x^2}$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0\;(loại)\;} \\
{x = 20\left( {nhận} \right)}
\end{array}} \right.$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên thì bênh nhân cần tiêm một lượng thuốc 20 mg
Câu 9: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $G\left( t \right):45{t^2} – {t^3}$, (kết quả khảo sát được trong 10 tháng vừa qua). Nếu xem $G’\left( t \right)$ là tốc độ truyền bệnh (người / ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ:
A. 25
B. 30
C. 20
D. 15
Lời giải
Chọn D
Ta có:
$G’\left( t \right) = 90t – 3{t^2}$
$G”\left( t \right) = 90 – 6t$
$G”\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 90 – 6t = 0 \Leftrightarrow t = 15$
Bảng biến thiên:
Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ 15 .
Câu 10: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. độ sâu $h\left( m \right)$ của mực nước trong kênh tính theo thời gian $t\left( h \right)$ trong ngày cho bởi công thức $h = 3cos\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12$. Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
A. $t = 10\left( h \right)$
B. $t = 14\left( h \right)$
C. $t = 15\left( h \right)$
D. $t = 22\left( h \right)$
Lời giải
Chọn A
Ta có:
$h’ = – 3\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right)sin\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = – \frac{\pi }{2}sin\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right)$
$h’ = 0 \Leftrightarrow – \frac{\pi }{2}sin\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow t = – 2 + 6k,\left( {k \in {Z_{\left( + \right)}}} \right)$
ở đây ta chỉ cần xét một số giá trị
| k | 1 | 2 | 3 | 4 |
| t | 4 | 10 | 16 | 22 |
Bảng biến thiên:
Ta suy ra được $h$ đạt GTLN khi $t = 10\left( h \right)$
Lưu ý: Ngoài cách trên ta có thể làm như sau
Vì $ – 1 \leqslant cos\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) \leqslant 1 \Rightarrow 9 \leqslant 3cos\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12 \leqslant 15$.
Vậy để h lớn nhất thì $cos\left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow t = – 2 + 12k,\left( {k \in {Z_{\left( + \right)}}} \right)$
Vậy h đạt GTLN khi $t = 10\left( h \right)$
Câu 11: Thể tích nước của một bề bơi sau t phút bơm tính theo công thức $V\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {30{t^3} – \frac{{{t^4}}}{4}} \right)$ $\left( {0 \leqslant t \leqslant 90} \right)$
Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi $v\left( t \right) = V’\left( t \right)$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.
A. Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút thứ 90 .
B. Tốc độ bơm luôn giảm.
C. Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75 .
D. Cả A, B, C đều sai.
Lời giải
Chọn A
Xét hàm $V’ = \frac{9}{{10}}{t^2} – \frac{1}{{100}}{t^3}\;\left( {0 \leqslant t \leqslant 90} \right)$
$V” = \frac{9}{5}t – \frac{3}{{100}}{t^2} \Rightarrow V” = 0$ khi $t = 0,t = 60$
Dựa vào bảng biến thiên, Ta có hàm số $V’$ đồng biến trên $\left( {0;60} \right)$, nghịch biến trên $\left( {60;90} \right)$.
Câu 12: Một xe khách đi từ Việt Trì về Hà Nội chở tối đa được là 60 hành khách một chuyến. Nếu một chuyến chở được m hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách được tính là ${\left( {30 – \frac{{5m}}{2}} \right)^2}$ đồng. Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận mỗi chuyến xe là lớn nhất.?
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
Lời giải
Chọn B
Gọi x là số hành khách trên mỗi chuyến xe để số tiền thu được là lớn nhất, $(0 < x \leqslant 60)$
Gọi $F\left( x \right)$ là hàm lợi nhuận thu được $(F\left( x \right)$ : đồng)
Số tiền thu được:
$F\left( x \right) = {\left( {300 – \frac{{5x}}{2}} \right)^2} \cdot x = 90.000x – 1500{x^2} + \frac{{25}}{4}{x^3}$
Bài toán trở thành tìm x để $F\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất.
$F’\left( x \right) = 90000 – 3000x + \frac{{75}}{4}{x^2}$
$F’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 90000 – 3000x + \frac{{75}}{4}{x^2} = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 120\left( {\;loại\;} \right)} \\
{x = 40\left( {nhận} \right)}
\end{array}} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy để thu được số tiền lớn nhất thì trên mỗi chuyến xe khách đó phải chở 40 người.
Câu 13: Gia đình ông Thanh nuôi tôm với diện tích ao nuôi là $100\;{m^2}$. Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật độ là $1\left( {\;kg/{m^2}} \right)$ tôm giống và sản lượng tôm khi thu hoạch được khoảng 2 tấn tôm. Với kinh nghiệm nuôi tôm nhiều năm, ông cho biết cứ thả giảm đi $\left( {200\;g/{m^2}} \right)$ tôm giống thì sản lượng tôm thu hoạch được 2,2 tấn tôm. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu kg tôm giống để đạt sản lượng tôm cho thu hoạch là lớn nhất? (Giả sử không có dịch bệnh, hao hụt khi nuôi tôm giống).
A. $\frac{{230}}{3}\;kg$
B. 70 kg
C. 72 kg
D. 69 kg
Lời giải
Chọn A
Số Kg tôm giống mà ông Thanh thả vụ vừa qua: $100.1 = 100\left( {\;kg} \right)$.
Gọi $x(0 < x < 100)$ là số kg tôm cần thả ít đi trong vụ tôm tới.
Khối lượng trung bình $1\left( {\;kg/{m^2}} \right)$ tôm giống thu hoạch được: $2000:100 = 20\left( {\;kg} \right)$
Khi giảm $0,2\;kg$ tôm giống thì thì sản lượng tôm thu hoạch tăng thêm là $2\left( {\;kg/{m^2}} \right)$
Gọi $F\left( x \right)$ là hàm sản lượng tôm thu được vụ tới $\left( {F\left( x \right):kg} \right)$
Vậy sản lượng tôm thu hoạch được trong vụ tới có pt tổng quát là:
$F\left( x \right) = \left( {100 – x} \right)\left( {20 + \frac{3}{8}x} \right) = 2000 + \frac{{35}}{2}x – \frac{3}{8}{x^2}$
Bài toán trở thành tìm x để $F\left( x \right)$ lớn nhất.
Ta có:
$F’\left( x \right) = \frac{{25}}{2} – \frac{3}{4}x$
$F’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{25}}{2} – \frac{3}{4}x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{70}}{3}$
Bảng biến thiên
Vậy vụ tới ông Thanh phải thả số kg tôm giống là:
$100 – \frac{{70}}{3} = \frac{{230}}{3} \approx 76,67\left( {\;kg} \right)$
Nhận xét:
Làm sao ta có thể tìm được hàm $F\left( x \right)$ và tìm được hệ số $\frac{3}{8}$
Ta có thể hiểu đơn giản như sau: nếu ta không giảm số lượng tôm giống thì sản lượng tôm thu hoạch được là: $100.20 = 2000\left( {\;kg} \right)$ tôm.
Nếu ta giảm số $x\left( {\;kg} \right)$ tôm giống thì số tôm giống cần thả là $100 – x$ và số kg tôm thu hoạch được là: $\left( {100 – x} \right)\left( {20 + mx} \right)kg$
Theo giả thiết tôm giống giảm $0,2\left( {\;kg/{m^2}} \right)$ thì $100\;{m^2}$ giảm $x = 20\;kg$, sản lượng thu được là 2200 kg .
Ta có: $\left( {100 – 20} \right)\left( {20 + m20} \right) = 2200 \Leftrightarrow m = \frac{3}{8}$
Câu 14: Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất.
A. 480 ngàn.
B. 50 ngàn.
C. 450 ngàn.
D. 80 ngàn.
Lời giải
Chọn C
Gọi $x$ (ngàn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra, $x > 400$ (đơn vị: ngàn đồng).
Giá chênh lệch sau khi tăng $x – 400$.
Số phòng cho thuê giảm nếu giá là $x:\frac{{\left( {x – 400} \right) + 2}}{{20}} = \frac{{x – 400}}{{10}}$.
Số phòng cho thuê với giá $x$ là $50 – \frac{{x – 400}}{{10}} = 90 – \frac{x}{{10}}$.
Tổng doanh thu trong ngày là: $f\left( x \right) = x\left( {90 – \frac{x}{{10}}} \right) = – \frac{{{x^2}}}{{10}} + 90x$.
$f’\left( x \right) = – \frac{x}{5} + 90 \cdot f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 450$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = 450$.
Vậy nếu cho thuê với giá 450 ngàn đồng thì sẽ có doanh thu cao nhất trong ngày là 2.025 .000 đồng.
Câu 15: Một doanh nghiệp bán xe gắn máy trong đó có loại xe A bán ế nhất với giá mua vào mỗi chiếc xe là 26 triệu VNĐ và bán ra 30 triệu VNĐ , với giá bán này thì số lượng bán một năm là 600 chiếc. Cửa hàng cần đẩy mạnh việc bán được loại xe này nên đã đưa ra chiến lược kinh doanh giảm giá bán và theo tính toán của CEO nếu giảm 1 triệu VNĐ mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Hỏi cửa hàng định giá bán loại xe đó bao nhiêu thì doanh thu loại xe đó của cửa hàng đạt lớn nhất.
A. 29 triệu VNĐ
B. 27,5 triệu VNĐ
C. 29, 5 triệu VNĐ
D. 27 triệu VNĐ
Lời giải
Chọn C
Gọi $x$ (triệu VNĐ) là số tiền cần giảm cho mỗi chiếc $xe\left( {0 \leqslant x \leqslant 4} \right)$.
Số lượng xe bán ra được trong một năm sau khi giảm giá là: $x.200 + 600$ (chiếc)
Số lợi nhuận thu được từ việc bán xe trong một năm sau khi giảm giá là: $\left( {x.200 + 600} \right)\left( {4 – x} \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right) = \left( {x.200 + 600} \right)\left( {4 – x} \right) = 200\left( { – {x^2} + x + 12} \right)$ với $\left( {0 \leqslant x \leqslant 4} \right)$ đạt giá trị lớn nhất là 2450 khi $x = \frac{1}{2}$.
Câu 16: Công ty dụ lịch Ban Mê dự định tổ chức một tua xuyên Việt. Công ty dự định nếu giá tua là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải bán giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất.
A. 1375000 .
B. 3781250 .
C. 2500000 .
D. 3000000 .
Lời giải
Chọn A
Gọi $x$ (triệu đồng) là giá tua.
Giá đã giảm so với ban đầu là $2 – x$.
Số người tham gia tăng thêm nếu giá bán $x$ là: $\frac{{\left( {2 – x} \right)20}}{{0,1}} = 400 – 200x$.
Số người sẽ tham gia nếu bán giá $x$ là: $150 + \left( {400 – 200x} \right) = 550 – 220x$.
Tổng doanh thu là: $f\left( x \right) = x\left( {550 – 200x} \right) = – 200{x^2} + 550x$.
$f’\left( x \right) = – 400x + 550.f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $f\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = \frac{{11}}{8} = 1,375$.
Vậy công ty cần đặt giá tua 1375000 đồng thì tổng doanh thu sẽ cao nhất là 378125000 đồng.
Câu 17: Một cửa hàng nhận làm những chiếc xô bằng nhôm hình trụ không có nắp đủ chứa được 10 lít nước. Hỏi bán kính đáy (đơn vị cm , làm tròn đến hàng phần chục) của chiếc xô bằng bao nhiêu để cửa hàng tốn ít nguyên vật liệu nhất.
A. 14,7
B. 15
C. 15,2
D. 14
Lời giải
Chọn A
Gọi $x$ $(x > 0)$ là bán kính của chiếc xô. Khi đó $V = \pi {x^2}h \Rightarrow h = \frac{V}{{\pi {x^2}}}$.
Để tiết kiệm nguyên vật liệu thì diện tích toàn phần của chiếc xô phải bé nhất.
Ta có: $10l = 10d{m^3} = 10000\;c{m^3}$.
Diện tích toàn phần của chiếc xô là:
$S\left( x \right) = \pi {x^2} + 2\pi xh = \pi {x^2} + 2\pi x\frac{V}{{\pi {x^2}}}$
$ = \pi {x^2} + 2\frac{{10000}}{x} = \pi {x^2} + \frac{{20000}}{x}$
$S’\left( x \right) = 2\pi x – \frac{{20000}}{{{x^2}}} = \frac{{2\pi {x^3} – 20000}}{{{x^2}}}$
$S’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2\pi {x^3} – 20000 = 0$
$ \Leftrightarrow {x^3} = \frac{{10000}}{\pi } \Leftrightarrow x = 10 \cdot \sqrt[3]{{\frac{{10}}{\pi }}}$
Bảng biến thiên:
Ta thấy diện tích toàn phần chiếc xô nhỏ nhất khi bán kính đáy xô là $x = 10\sqrt[3]{{\frac{{10}}{\pi }}} \approx 14,7\left( {\;cm} \right)$.
Câu 18: Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí $A$ tới điểm $B$ về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến $C$ và sau đó chạy đến $B$, hay có thể chèo trực tiếp đến $B$, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm $D$ giữa $C$ và $B$ và sau đó chạy đến $B$. Biết anh ấy có thể chèo thuyền $6\;km/h$, chạy $8\;km/h$ và quãng đường $BC = 8\;km$. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến $B$.
A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{9}{{\sqrt 7 }}$
C. $\frac{{\sqrt {73} }}{6}$
D. $1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8}$.
Lời giải
Chọn B
Đặt $CD = x$. Quãng đường chạy bộ $DB = 8 – x$ và quãng đường chèo thuyền $AD = \sqrt {9 + {x^2}} $.
Khi đó, thời gian chèo thuyền là $\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6}$ và thời gian chạy bộ là $\frac{{8 – x}}{8}$.
Tổng thời gian mà người đàn ông cần có là:
$T\left( x \right) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 9} }}{6} + \frac{{8 – x}}{8},\forall x \in \left[ {0;8} \right]$.
Ta có: $T’\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} – \frac{1}{8}$.
$T’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow 4x = 3\sqrt {{x^2} + 9} $
$ \Leftrightarrow 16{x^2} = 9\left( {{x^2} + 9} \right) \Leftrightarrow 7{x^2} = 81 \Rightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}$
Ta có: $T\left( 0 \right) = \frac{3}{2};T\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8};T\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {73} }}{6}$.
Do đó: .
Vậy thời gian ngắn nhất mà người đàn ông cần dùng là $1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx 1,33\left( h \right)$ bằng cách chèo thuyền đến điểm $D$ cách $C$ một khoảng $\frac{9}{{\sqrt 7 }}\left( {\;km} \right)$ rồi từ đó chạy bộ đến điểm $B$.
Câu 19: Một vật chuyển động theo quy luật $s = – \frac{1}{2}{t^3} + 9{t^2}$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và $S$ (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. $216\left( {\;m/s} \right)$
B. $30\left( {\;m/s} \right)$
C. $400\left( {\;m/s} \right)$
D. $54\left( {\;m/s} \right)$
Lời giải
Chọn D
Vận tốc tại thời điểm $t$ là $v\left( t \right) = s’\left( t \right) = – \frac{3}{2}{t^2} + 18t$ với $t \in \left[ {0;10} \right]$.
Ta có $:v’\left( t \right) = – 3t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 6$.
Suy ra: $v\left( 0 \right) = 0;v\left( {10} \right) = 30;v\left( 6 \right) = 54$. Vậy vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng $54\left( {\;m/s} \right)$.
Câu 20: Một vật chuyển động theo quy luật $s = – \frac{1}{2}{t^3} + 6{t^2}$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A. $24\left( {\;m/s} \right)$.
B. $108\left( {\;m/s} \right)$.
C. $18\left( {\;m/s} \right)$.
D. $64\left( {\;m/s} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có $v\left( t \right) = s’\left( t \right) = – \frac{{3{t^2}}}{2} + 12t$;
$v’\left( t \right) = – 3t + 12;v’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 4$.
$v\left( 0 \right) = 0;v\left( 4 \right) = 24;v\left( 6 \right) = 18$. Suy ra vận tốc lớn nhất của vật đạt được trong 6 giây đầu là $24\left( {m/s} \right)$.
Câu 21: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x\left( {\;cm} \right)$, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm $x$ để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
A. $x = 6$
B. $x = 3$
C. $x = 2$
D. $x = 4$
Lời giải
Chọn C
Ta có : $h = x\left( {\;cm} \right)$ là đường cao hình hộp
Vì tấm nhôm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là: $12 – 2x\left( {\;cm} \right)$
Vậy diện tích đáy hình hộp $S = {(12 – 2x)^2}\left( {\;c{m^2}} \right)$. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{12 – 2x > 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x > 0} \\
{x < 6}
\end{array} \Leftrightarrow x \in \left( {0;6} \right)} \right.} \right.$
Thể tích của hình hộp là: $V = S.h = x.{(12 – 2x)^2}$
Xét hàm số: $y = x.{(12 – 2x)^2}\forall x \in \left( {0;6} \right)$
Ta có : $y’ = {(12 – 2x)^2} – 4x\left( {12 – 2x} \right) = \left( {12 – 2x} \right)\left( {12 – 6x} \right)$;
$y’ = 0 \Leftrightarrow \left( {12 – 2x} \right) \cdot \left( {12 – 6x} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 6$ (loại).
Suy ra với $x = 2$ thì thể tích hộp là lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là $y\left( 2 \right) = 128$.
Câu 22: Một kiến trúc sư mốn thiết kế một mô hình kim tự tháp Ai Cập có dạng là một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp một mặt cầu có bán kính bằng 6 m .Đề tiết kiệm nguyên liệu xây dựng thì kiến trúc sư đó phải thiết kế kim tự tháp sao cho có thể tích nhỏ nhất. Chiều cao của kim tự tháp đó là:
A. $12m$.
B. $18m$.
C. 36 m .
D. $24m$.
Lời giải
Chọn D
Giả sử kim tự tháp là hình chóp đều $S.ABCD$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$
Kẻ phân giác trong góc cắt $SH$ tại $I.I$ là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp đã cho
Từ $I$ hạ $IJ$ vuông góc $\left( {SBC} \right)$, Từ $H$ hạ $HK$ vuông góc $\left( {SBC} \right),I\;J = R = 6$
Theo Ta-lét. $\frac{{SI}}{{SH}} = \frac{{IJ}}{{HK}} \Leftrightarrow \frac{{h – 6}}{h} = \frac{6}{{HK}}$
$ \Leftrightarrow HK = \frac{{6h}}{{h – 6}};SH = h;HM = \frac{a}{2}$
$HK = \frac{{SH \cdot HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{6h}}{{h – 6}} = \frac{{ah}}{{2\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} }}$
$ \Leftrightarrow {a^2} = \frac{{144{h^2}}}{{{h^2} – 12h}} = \frac{{144h}}{{h – 12}} \Rightarrow V = \frac{1}{3} \cdot \frac{{144h}}{{h – 12}}h$
Xét hàm $f\left( h \right) = \frac{{{h^2}}}{{h – 12}} \Rightarrow f’\left( h \right) = \frac{{h\left( {h – 24} \right)}}{{{{(h – 12)}^2}}}$
$ \Rightarrow f’\left( h \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{h = 0} \\
{h = 24}
\end{array}} \right.$
Lập bảng biến thiên có Thể tích V đạt GTNN khi $h = 24$.
Câu 23: Một công ty chuyên sản xuất thùng phi nhận được đơn đặt hàng với yêu cầu là thùng phi phải chứa được $16\pi \left( {{m^3}} \right)$ mỗi chiếc. Hỏi chiếc thùng phải có kích thước như thế nào để sản suất ít tốn vật liệu nhất?
A. $R = 2\left( m \right),h = 4\left( m \right)$ B. $R = 4\left( m \right),h = 2\left( m \right)$
C. $R = 3\left( m \right),h = 4\left( m \right)$ D. $R = 4\left( m \right),h = 4\left( m \right)$
Lời giải
Chọn A
Do thùng phi có dạng hình trụu nên:
${V_{tru}} = \pi {R^2}h = 16\pi \Leftrightarrow h = \frac{{16}}{{{R^2}}},\left( 1 \right)$
Diện tích toàn phần của thùng phi là:
$\begin{array}{*{20}{c}}
{{S_{{T_p}}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi R\left( {h + R} \right)\# \left( 2 \right)}
\end{array}$
Thay (1) vào (2) ta được:
${S_{Tp}} = 2\pi R\left( {\frac{{16}}{{{R^2}}} + R} \right) = 2\pi \left( {\frac{{16}}{R} + {R^2}} \right)$
$S_{{T_p}}’ = 2\pi \left( { – \frac{{16}}{{{R^2}}} + 2R} \right) = \frac{{4\pi }}{{{R^2}}}\left( {{R^3} – 8} \right)$
$S_{{T_p}}’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{4\pi }}{{{R^2}}}\left( {{R^3} – 8} \right) = 0 \Leftrightarrow R = 2$
Bảng biến thiên
Vậy để sản xuất thùng phi ít tốn vật liệu nhất thì $R = 2\left( {\;m} \right)$ và chiều cao là $h = 4\left( {\;m} \right)$.
Câu 24: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh $x\left( {\;cm} \right)$, rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được cái hộp không nắp. Tìm x để được một cái hộp có thể tích lớn nhất.
A. $x = 6\left( {\;cm} \right)$
B. $x = 3\left( {\;cm} \right)$
C. $x = 2\left( {\;cm} \right)$
D. $x = 4\left( {\;cm} \right)$
Lời giải
Chọn C
Khi cắt tấm nhôm hình vuông và gập thành một cái hộp thì độ dài cạnh của cái hộp là: $12 – 2x$
Ta có:
$V = S.h = {(12 – 2x)^2} \cdot x = 4{x^3} – 48x + 144x$ với $0 < x \leqslant 6$
Bài toán trở thành tìm x để V lớn nhất.
Ta có:
$V’ = 12{x^2} – 96x + 144$
$V’ = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} – 96x + 144 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2} \\
{x = 6}
\end{array}} \right.$
Bảng biến thiên:
Vậy để thể tích hộp lớn nhất thì $x = 2\;cm$
Câu 25: Cuốn sách giáo khoa cần một trang chữ có diện tích là $384\;c{m^2}$. Lề trên và dưới là 3 cm , lề trái và lề phải là 2 cm . Kích thước tối ưu của trang giấy?
A. Dài 24 cm , rộng 17 cm
B. Dài 30 cm , rộng 20 cm
C. Dài 24 cm , rộng 18 cm
D. Dài 24 cm , rộng 19 cm
Lời giải
Chọn B
Gọi chiều dài của trang chữ nhật là $x\left( {\;cm} \right),(x > 0)$
Chiều rộng của trang chữ nhật là: $\frac{{384}}{x}\;cm$
Chiều dài của trang giấy là $x + 6\left( {\;cm} \right)$
Chiều rộng của trang giấy là: $\frac{{384}}{x} + 4\left( {\;cm} \right)$
Diện tích trang giấy: $S = \left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{384}}{x} + 4} \right) = 408 + 4x + \frac{{2304}}{x}$
Bài toán trở thành tìm x để S đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: $S’\left( x \right) = 4 – \frac{{2304}}{{{x^2}}}$
$S’ = 0 \Leftrightarrow 4 – \frac{{2304}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 24\left( {nhận} \right)} \\
{x = – 24\;(loại)\;}
\end{array}} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy kích thước tối ưu của trang giấy có chiều dài là 30 cm , chiều rộng là 20 cm .
Câu 26: Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 mét và đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đó? Biết rằng góc $\widehat {BOC}$ là góc nhọn.
A. $AO = 2,4m$
B. $AO = 2m$
C. $AO = 2,6m$
D. $AO = 3m$
Lời giải
Chọn A
Đặt độ dài cạnh $AO = x\left( {\;cm} \right),(x > 0)$
Suy ra:
$BO = \sqrt {3,24 + {x^2}} ,CO = \sqrt {10,24 + {x^2}} $
Ta sử dụng định lí cosin trong tam giác OBC ta có:
$cos\widehat {BOC} = \frac{{O{B^2} + O{C^2} – B{C^2}}}{{2 \cdot OB \cdot OC}}$
$ = \frac{{\left( {3,24 + {x^2}} \right) + \left( {10,24 + {x^2}} \right) – 1,96}}{{2\sqrt {\left( {3,24 + {x^2}} \right)\left( {10,24 + {x^2}} \right)} }}$
$ = \frac{{5,76 + {x^2}}}{{\sqrt {\left( {3,24 + {x^2}} \right)\left( {10,24 + {x^2}} \right)} }}$
Vì góc $\widehat {BOC}$ là góc nhọn nên Bài toán trở thành Bài toán tìm x để $F\left( x \right) = \frac{{5,76 + {x^2}}}{{\sqrt {\left( {3,24 + {x^2}} \right)\left( {10,24 + {x^2}} \right)} }}$
Đạt GTNN.
Đặt $\left( {3,24 + {x^2}} \right) = t,(t > 3,24)$.
Suy ra $F\left( t \right) = \frac{{t + \frac{{63}}{{25}}}}{{\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }} = \frac{{25t + 63}}{{25\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}$
Ta tìm t để $F\left( t \right)$ nhận giá trị nhỏ nhất.
$F’\left( t \right) = {\left( {\frac{{25t + 63}}{{25\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right)’}$
$ = \frac{1}{{25}}\left( {\frac{{25\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} – \left( {25t + 63} \right)\left( {\frac{{2t + 7}}{{2\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right)}}{{t\left( {t + 7} \right)}}} \right)$
$ = \frac{1}{{25}}\left( {\frac{{50\left( {{t^2} + 7t} \right) – \left( {25t + 63} \right)\left( {2t + 7} \right)}}{{2t\left( {t + 7} \right)\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right)$$ = \frac{1}{{25}}\left( {\frac{{49t – 441}}{{2t\left( {t + 7} \right)\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right)$
$F’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 9$
Bảng biến thiên
Thay vào đặt ta có: $\left( {3,24 + {x^2}} \right) = 9 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{144}}{{25}}$ $ \Leftrightarrow x = 2,4m$
Vậy để nhìn rõ nhất thì $AO = 2,4\;m$.
Câu 27: Một khúc gỗ tròn hình trụ cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy xác định kích thước của các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất. Biết đường kính khúc gỗ là d.
A. Rộng $\frac{{\sqrt {34} – 3\sqrt 2 }}{{16}}d$, dài $\frac{{\sqrt {7 – \sqrt {17} } }}{4}d$
B. Rộng $\frac{{\sqrt {34} – 3\sqrt 2 }}{{15}}d$, dài $\frac{{\sqrt {7 – \sqrt {17} } }}{4}d$
C. Rộng $\frac{{\sqrt {34} – 3\sqrt 2 }}{{14}}d$, dài $\frac{{\sqrt {7 – \sqrt {17} } }}{4}d$
D. Rộng $\frac{{\sqrt {34} – 3\sqrt 2 }}{{13}}d$, dài $\frac{{\sqrt {7 – \sqrt {17} } }}{4}d$
Lời giải
Chọn A
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng phụ lần lượt là $x,y$. Đường kính của khúc gỗ là d , khi đó tiết diện ngang của thanh xà có độ dài cạnh là $\frac{d}{{\sqrt 2 }}$ và $0 < x < \frac{{d\left( {2 – \sqrt 2 } \right)}}{4},0 < y < \frac{d}{{\sqrt 2 }}$
Theo đề ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo định lý Pitago ta có:
${\left( {2x + \frac{d}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {y^2} = {d^2}$$ \Leftrightarrow y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} – 8{x^2} – 4\sqrt 2 x} $
Do đó, miếng phụ có diện tích là:
$S\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} – 8{x^2} – 4\sqrt 2 dx} $ với $0 < x < \frac{{d\left( {2 – \sqrt 2 } \right)}}{4}$
Bài toán trở thành tìm x để $S\left( x \right)$ đạt GTLN.
Ta có:
$S’\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} – 8{x^2} – 4\sqrt 2 dx} + \frac{{x\left( { – 8x – 2\sqrt 2 d} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} – 8{x^2} – 4\sqrt 2 dx} }}$
$ = \frac{{ – 16{x^2} – 6\sqrt 2 dx + {d^2}}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} – 8{x^2} – 4\sqrt 2 dx} }}$
$S’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – 16{x^2} – 6\sqrt 2 dx + {d^2} = 0$
$ \Leftrightarrow – 16{\left( {\frac{x}{d}} \right)^2} – 6\sqrt 2 \left( {\frac{x}{d}} \right) + 1 = 0$
$ \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {34} – 3\sqrt 2 }}{{16}}d$
Bảng biến thiên
Vậy miếng phụ có kích thước $x = \frac{{\sqrt {34} – 3\sqrt 2 }}{{16}}d,y = \frac{{\sqrt {7 – \sqrt {17} } }}{4}d$
Câu 28: Nhà Long muốn xây một hồ chứa nước có dạng một khối hộp chữ nhật có nắp đậy có thể tích bằng $576\;{m^3}$. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá tiền thuê nhân công để xây hồ tính theo ${m^2}$ là 500.000 đồng $/{m^2}$. Hãy xác định kích thước của hồ chứa nước sao cho chi phí thuê nhân công là ít nhất và chi phí đó là bao nhiêu?
A. Rộng 6 m , dài 12 m , cao 8 m . Tiền: 216 triệu
B. Rộng 6 m , dài 12 m , cao 8 m . Tiền: 215 triệu
C. Rộng 6 m , dài 12 m , cao 8 m . Tiền: 214 triệu
D. Rộng 6 m , dài 12 m , cao 8 m . Tiền: 213 triệu.
Lời giải
Chọn A
Gọi $x,y,h$ lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hồ chứa nước, $(x > 0,y > 0,h > 0,m)$
Ta có: $\frac{y}{x} = 2 \Leftrightarrow y = 2x$
Thể tích hồ chứa nước $V = xyh \Leftrightarrow h = \frac{V}{{xy}} = \frac{{576}}{{x\left( {2x} \right)}} = \frac{{288}}{{{x^2}}}$
Diện tích cần xây dựng hồ chứa nước:
$S\left( x \right) = 2xy + 2xh + 2yh$
$ = 2x\left( {2x} \right) + 2x\frac{{288}}{{{x^2}}} + 2\left( {2x} \right)\frac{{288}}{{{x^2}}}$$ = 4{x^2} + \frac{{1728}}{x}$
Để chi phí nhân công là ít nhất thì diện tích cần xây dựng là nhỏ nhất, mà vẫn đạt thể tích như mong muốn.
Bài toán trở thành tìm x để $S\left( x \right)$ nhỏ nhất.
$S\left( x \right) = 4{x^2} + \frac{{1728}}{x}$
$S’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8x – \frac{{1728}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 6$
Bảng biến thiên
Vậy kích thước của hồ là: rộng 6 m, dài 12 m, cao 8 m . Diện tích cần xây: $432\;{m^2}$
Chi phí ít nhất là: $432×500.000 = 216.000.000$
Câu 29: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính $R$, nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp?
A. $2{R^2}$
B. $5{R^2}$
C. ${R^2}$
D. $3{R^2}$
Lời giải
Chọn C
Gọi x là độ dài cạnh của hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính của hình tròn $(0 < x < R)$
Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là $2\sqrt {{R^2} – {x^2}} $
Ta có diện tích của hình chữ nhật là: $S\left( x \right) = 2x\sqrt {{R^2} – {x^2}} $
Bài toán trở thành tìm x để $S\left( x \right)$ đạt GTLN.
$S’\left( x \right) = 2\sqrt {{R^2} – {x^2}} – \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {{R^2} – {x^2}} }} = \frac{{2{R^2} – 4{x^2}}}{{\sqrt {{R^2} – {x^2}} }}$
$S’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{R^2} – 4{x^2}}}{{\sqrt {{R^2} – {x^2}} }} = 0$
$ \Leftrightarrow 2{R^2} – 4{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{R\sqrt 2 }}{2}\left( {t/m} \right)} \\
{x = \frac{{ – R\sqrt 2 }}{2}\;(loai)\;}
\end{array}} \right.$
Bảng biến thiên
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là ${R^2}$
Câu 30: Để thiết kế một chiếc bể cá hình chữ nhật có chiều cao là 60 cm , thể tích là $96.000\;c{m^3}$, người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000 đồng $/{m^2}$ và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là 100.000 đồng $/{m^2}$. Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là:
A. 83.200 .000 đồng
B. 382.000 đồng
C. 83.200 đồng
C. 8.320 .000 đồng.
Lời giải
Chọn C
Diện tích của đáy hộp là: $S = \frac{V}{h} = \frac{{96.000}}{{60}} = 1600\;c{m^2} = 0,16\;{m^2}$
Gọi chiều dài cạnh đáy của hộp là $x,(x > 0,m)$
Chiều rộng của hộp là $\frac{{0,16}}{x}$
Gọi $F\left( x \right)$ là hàm chi phí để làm để cá.
Chi phí để hoàn thành bể cá:
$\left( x \right) = 0,16 \times 100 \cdot 000 + 2 \cdot 0,6x \cdot 70 \cdot 000 + 2 \cdot 0,6 \cdot \frac{{0,16}}{x} \cdot 70 \cdot 000$
$ = 16 \cdot 000 + 48 \cdot 000x + \frac{{13440}}{x}$
Bài toán trở thành tìm x để $F\left( x \right)$ đạt GTNN.
$F’\left( x \right) = 84.000 – \frac{{13440}}{{{x^2}}}$
$F’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 84.000 – \frac{{13440}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0,4$
Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là: 83.200 đồng
