Các dạng câu hỏi trả lời ngắn nguyên hàm thỏa điều kiện giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
DẠNG 1: CHO HÀM $f(x)$, TÌM NGUYÊN HÀM CỦA $f(x)$
Câu 1. Biết $F\left( x \right) = a{x^2} + b{e^x} + c$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2x + {e^x}$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 2025$. Tính giá trị $a + b + c$.
Lời giải
Ta có $\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {2x + {e^x}} \right)} dx} = {x^2} + {e^x} + C$.
$F\left( 0 \right) = 2025 \Leftrightarrow {0^2} + {e^0} + C = 2025 \Leftrightarrow C = 2024$.
Suy ra $F\left( x \right) = {x^2} + {e^x} + 2024$.
Vậy $a + b + c = 1 + 1 + 2024 = 2026$.
Câu 2. Biết $F\left( x \right) = ax + b\cos x + \frac{{\sqrt c }}{2} – \frac{\pi }{d}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + 1$ thỏa mãn $F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0$. Tính giá trị $a + b + c + d$.
Lời giải
Ta có $\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\sin x + 1} \right)} dx} = – cosx + x + C$.
$F\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Rightarrow \frac{\pi }{6} – \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{\pi }{6}$.
Suy ra $F\left( x \right) = x – \cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{\pi }{6}$.
Vậy $a + b + c = 1 – 1 + 3 + 6 = 9$.
Câu 3. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right) = {\left( {5x + 3} \right)^5}$ và $F\left( 1 \right) = 0$. Biết $F\left( 0 \right) = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ tối giản và $b > 0$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {f(x)dx = } \int {{{(5x + 3)}^5}dx = } \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} + C$
$F\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow 0 = \frac{{{{(5.1 + 3)}^6}}}{{30}} + C \Rightarrow C = – \frac{{131072}}{{15}}$
$ \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{{(5x + 3)}^6}}}{{30}} – \frac{{131072}}{{15}}$
$ \Rightarrow F\left( 0 \right) = \frac{{{{(5.0 + 3)}^6}}}{{30}} – \frac{{131072}}{{15}} = – \frac{{52283}}{6}$
Vậy $a + b = – 52283 + 6 = – 52277$.
Câu 4. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{{3 – 5{x^2}}}{x}$. Biết $F(e) = 1$. Tính $F\left( 2 \right)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
$F\left( x \right) = \int {f(x)dx = } \int {\frac{{3 – 5{x^2}}}{x}dx = } \int {\left( {\frac{3}{x} – 5x} \right)dx = 3\ln \left| x \right|} – \frac{{5{x^2}}}{2} + C$
$F(e) = 1 \Rightarrow 3\ln \left| e \right| – \frac{{5{e^2}}}{2} + C \Rightarrow C = \frac{{5{e^2}}}{2} – 3$
$ \Rightarrow F\left( x \right) = 3\ln \left| x \right| – \frac{{5{x^2}}}{2} + \frac{{5{e^2}}}{2} – 3$
Vậy $F\left( 2 \right) = 3\ln \left| 2 \right| – \frac{{{{5.2}^2}}}{2} + \frac{{5{e^2}}}{2} – 3 \approx 7,55$
Câu 5. Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 5,}&{x \geqslant 1} \\
{3{x^2} + 4,}&{x < 1}
\end{array}.} \right.$ Giả sử $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0) = 2$. Tính giá trị của $F( – 1) + 2F(2)$.
Lời giải
Ta có $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 5}&{ khi x \geqslant 1} \\
{3{x^2} + 4}&{ khi x < 1}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) = {x^2} + 5x + {C_1}}&{x \geqslant 1} \\
{F(x) = {x^3} + 4x + {C_2}}&{x < 1}
\end{array}} \right.} \right.$
Vì $F$ là nguyên hàm của $f$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(0) = 2$ nên ${C_2} = 2 \Rightarrow F(x) = {x^3} + 4x + 2$.
Vì $F(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $F(x)$ liên tục tại $x = 1$ nên:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} F(x) = F(1) \Rightarrow 6 + {C_1} = 7 \Rightarrow {C_1} = 1$
Vậy ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{F(x) = {x^2} + 5x + 2}&{x \geqslant 1} \\
{F(x) = {x^3} + 4x + 1}&{x < 1}
\end{array} \Rightarrow F( – 1) + 2F(2) = – 3 + 2.15 = 27} \right.$
Câu 6. Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^x}$, thỏa mãn $F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}$. Biết biểu thức $T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + … + F\left( {2024} \right) + F\left( {2025} \right) = \frac{{{2^a} – 1}}{{\ln b}}$. Giá trị $a + b$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có $\int {f\left( x \right)} dx = \int {{2^x}} dx = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$
$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {2^x}$, ta có $F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C$ mà $F\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}$
$ \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$.
$T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + … + F\left( {2024} \right) + F\left( {2025} \right)$
$ = \frac{1}{{\ln 2}}\left( {1 + 2 + {2^2} + … + {2^{2024}} + {2^{2025}}} \right)$$ = \frac{1}{{\ln 2}}.\frac{{{2^{2026}} – 1}}{{2 – 1}}$$ = \frac{{{2^{2026}} – 1}}{{\ln 2}}$
Vậy $a + b = 2026 + 2 = 2028$.
Câu 7. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$. Biết $F\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = k$ với mọi $k \in \mathbb{Z}$. Tính giá trị của biểu thức $T = F\left( 0 \right) + F\left( \pi \right) + F\left( {2\pi } \right) + … + F\left( {10\pi } \right)$.
Lời giải
Ta có $\int {f\left( x \right)dx = } \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \tan x + C} $.
Suy ra $F\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered}
\tan x + {C_0},\,\,\,x \in \left( { – \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \hfill \\
\tan x + {C_1},\,\,\,x \in \left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right) \hfill \\
\tan x + {C_2},\,\,\,x \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right) \hfill \\
… \hfill \\
\tan x + {C_9},\,\,\,x \in \left( {\frac{{17\pi }}{2};\frac{{19\pi }}{2}} \right) \hfill \\
\tan x + {C_{10}},\,\,\,x \in \left( {\frac{{19\pi }}{2};\frac{{21\pi }}{2}} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
F\left( {\frac{\pi }{4} + 0\pi } \right) = 1 + {C_0} = 0 \Rightarrow {C_0} = – 1 \hfill \\
F\left( {\frac{\pi }{4} + \pi } \right) = 1 + {C_1} = 1 \Rightarrow {C_1} = 0 \hfill \\
F\left( {\frac{\pi }{4} + 2\pi } \right) = 1 + {C_2} = 2 \Rightarrow {C_0} = 1 \hfill \\
… \hfill \\
F\left( {\frac{\pi }{4} + 9\pi } \right) = 1 + {C_9} = 9 \Rightarrow {C_9} = 8 \hfill \\
F\left( {\frac{\pi }{4} + 10\pi } \right) = 1 + {C_{10}} = 10 \Rightarrow {C_{10}} = 9. \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy $F\left( 0 \right) + F\left( \pi \right) + F\left( {2\pi } \right) + … + F\left( {10\pi } \right)$
$ = \tan 0 – 1 + \tan \pi + \tan 2\pi + 1 + … + \tan 10\pi + 9 = 44$
DẠNG 2: BÀI TOÁN CHO HÀM $f'(x)$, TÌM HÀM $f(x)$
Chú ý:
$\int {f'(x)dx} = f(x) + C$
Câu 8. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f’\left( x \right) = 2x – 5$,$\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( { – 1} \right) = 2$. Biết hàm số $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$. Giá trị $a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$f’\left( x \right) = 2x – 5$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'(x)dx} = \int {\left( {2x – 5} \right)} dx = {x^2} – 5x + C$
Mà $f\left( { – 1} \right) = 2$
$ \Rightarrow {( – 1)^2} – 5.( – 1) + C = 2 \Leftrightarrow C = – 4$
Suy ra $f\left( x \right) = {x^2} – 5x – 4$
Vậy $a + b + c = 1 – 5 – 4 = – 8$
Câu 9. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f’\left( x \right) = 2025 – 2{\sin ^2}\frac{x}{2}$,$\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1012\pi $. Biết hàm số $f\left( x \right) = ax + b\sin x + c$. Giá trị $a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$f’\left( x \right) = 2025 – 2{\sin ^2}\frac{x}{2}$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'(x)dx} = \int {\left( {2025 – 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx$
$ = \int {\left( {2025 – 2.\frac{{1 – cosx}}{2}} \right)} dx = \int {\left( {2024 + \cos x} \right)} dx = 2024x – \sin x + C$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = 2024x – \sin x + C$
$f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1012\pi $
$ \Rightarrow 2024.\frac{\pi }{2} – \sin \frac{\pi }{2} + C = 1012\pi \Leftrightarrow C = 1$
Suy ra $f\left( x \right) = 2024x – \sin x + 1$
Vậy $a + b + c = 2024 + 1 – 1 = 2024$
Câu 10. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f’\left( x \right) = 1 + {e^{2x}}$, $\forall x,\,f\left( 0 \right) = 2$. Biết hàm số $f\left( x \right) = ax + b{e^{2x}} + c$. Giá trị $a + 20b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
$f’\left( x \right) = 1 + {e^{2x}}$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {1 + {e^{2x}}} \right)} dx = x + \frac{1}{2}{e^{2x}} + C$
$f\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow 1 + C = 2 \Rightarrow C = 1$
Suy ra $f\left( x \right) = x + \frac{1}{2}{e^{2x}} + 1$
Vậy $a + 20b + c = 1 + 20.\frac{1}{2} + 2 = 12$
Câu 11. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và: $f’\left( x \right) = {2^x} + {3^x}$, $\forall x,\,f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 3}}$. Tính $f\left( 1 \right)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
$f’\left( x \right) = {2^x} + {3^x}$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {({2^x} + {3^x}) dx = } \int {{2^x}dx} + \int {{3^x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$
Mà $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 3}}$$ \Rightarrow \frac{1}{{\ln 3}} = \frac{1}{{\ln 2}} + \frac{1}{{\ln 3}} + C \Leftrightarrow C = \frac{1}{{\ln 2}}$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{\ln 2}}$
Vậy $f\left( 1 \right) = \frac{{{2^1}}}{{\ln 2}} + \frac{{{3^1}}}{{\ln 3}} + \frac{1}{{\ln 2}} \approx 7,06$
Câu 12. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và: $f’\left( x \right) = {e^{3x + 2024}}$, $\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( { – 675} \right) = 1$. Tính $f\left( { – 674} \right)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
$f’\left( x \right) = {e^{3x + 2024}}$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {{e^{3x + 2024}}dx} = \frac{1}{3}{e^{3x + 2024}} + C$
Mà $\,f\left( { – 675} \right) = 1$
$ \Rightarrow 1 = \frac{1}{3}{e^{3.\left( { – 675} \right) + 2024}} + C \Rightarrow C = 1 – \frac{1}{{3e}}$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{3}{e^{3x + 2024}} + 1 – \frac{1}{{3e}}$
Vậy $f\left( { – 674} \right) = \frac{1}{3}{e^{3.( – 674) + 2024}} + 1 – \frac{1}{{3e}} \approx 3,34$.
Câu 13. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f’\left( x \right) = {3^{x + 2}}{.2^{2x + 1}},\,\forall x \in \mathbb{R}$, và $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{2\ln 2}}$. Tính $f\left( 1 \right)$ (làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
$f’\left( x \right) = {3^{x + 2}}{.2^{2x + 1}}$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {{3^{x + 2}}{{.2}^{2x + 1}}dx} = \int {{3^2}{{.3}^x}{{.2.4}^x}dx} = 18\int {{{12}^x}dx} = 18.\frac{{{{12}^x}}}{{\ln 12}} + C$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = 18.\frac{{{{12}^x}}}{{\ln 12}} + C$
Mà $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{2\ln 2}}$
$ \Rightarrow \frac{1}{{2\ln 2}} = 18.\frac{1}{{\ln 12}} + C \Rightarrow C = \frac{1}{{2\ln 2}} – \frac{{18}}{{2\ln 2 + \ln 3}}$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = 18.\frac{{{{12}^x}}}{{\ln 12}} + \frac{1}{{2\ln 2}} – \frac{{18}}{{2\ln 2 + \ln 3}}$
Vậy $f\left( 1 \right) = 18.\frac{{{{12}^1}}}{{\ln 12}} + \frac{1}{{2\ln 2}} – \frac{{18}}{{2\ln 2 + \ln 3}} \approx 80,4$.
Câu 14. Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f’\left( x \right) = {\left( {{3^x} + {5^x}} \right)^2},\,\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}}$. Tính $f\left( 1 \right)$ (làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
$f’\left( x \right) = {\left( {{3^x} + {5^x}} \right)^2}$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {{{\left( {{3^x} + {5^x}} \right)}^2}dx} = \int {\left( {{9^x} + {{30}^x} + {{25}^x}} \right)dx} = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + \frac{{{{30}^x}}}{{\ln 30}} + \frac{{{{25}^x}}}{{\ln 25}} + C$
$ = \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} + \frac{{{{30}^x}}}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}} + \frac{{{{25}^x}}}{{2\ln 5}} + C$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} + \frac{{{{30}^x}}}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}} + \frac{{{{25}^x}}}{{2\ln 5}} + C$
$\,f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}}$
$ \Rightarrow \,\frac{1}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}} = \frac{1}{{2\ln 3}} + \frac{1}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}} + \frac{1}{{2\ln 5}} + C \Leftrightarrow C = – \frac{1}{{2\ln 3}} – \frac{1}{{2\ln 5}}$
$ \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} + \frac{{{{30}^x}}}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}} + \frac{{{{25}^x}}}{{2\ln 5}} – \frac{1}{{2\ln 3}} – \frac{1}{{2\ln 5}}$
Vậy $f\left( 1 \right) = \frac{{{9^1}}}{{2\ln 3}} + \frac{{{{30}^1}}}{{\ln 5 + \ln 3 + \ln 2}} + \frac{{{{25}^1}}}{{2\ln 5}} – \frac{1}{{2\ln 3}} – \frac{1}{{2\ln 5}} \approx 19,92$.
