Trắc nghiệm các yếu tố liên quan đến đường thẳng trong không gian oxyz giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÁC YẾU TỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
Dạng 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng xác định điểm thuộc và không thuộc đường thẳng
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 7 + 2t} \\
{y = – 3 – t} \\
{z = 5 + t}
\end{array}} \right.$ .Vecctơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$?
A. $\overrightarrow {{u_1}} = (2; – 1;1).$ B. $\overrightarrow {{u_1}} = (7; – 3;5).$ C. $\overrightarrow {{u_3}} = (1; – 1;2).$ D. $\overrightarrow {{u_4}} = (2;1;1).$
Lời giải
Chọn A.
Từ phương trình đường thẳng $d$ ta thấy vectơ $\overrightarrow {{u_1}} = (2; – 1;1).$ là một vectơ chỉ phương của $d$.
Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 3}}{2} = \frac{{y – 4}}{{ – 5}} = \frac{{z + 1}}{3}$. Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của $d$?
A. $\overrightarrow {{u_2}} \left( {2;4; – 1} \right)$. B. $\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; – 5;3} \right)$. C. $\overrightarrow {{u_3}} \left( {2;5;3} \right)$. D. $\overrightarrow {{u_4}} \left( {3;4;1} \right)$.
Lời giải
Chọn B.
Đường thẳng $d:\frac{{x – 3}}{2} = \frac{{y – 4}}{{ – 5}} = \frac{{z + 1}}{3}$ có một vectơ chỉ phương là. $\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; – 5;3} \right)$
Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 5}}{2}$ có một vectơ chỉ phương là
A. $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;\, – 1;\,5} \right)$ B. $\overrightarrow {{u_4}} = \left( { – 1;\,1;\, – 2} \right)$ C. $H$ D. $O$
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng $\left( P \right)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1;\, – 1;\,2} \right) = – 1\left( { – 1;\,1;\, – 2} \right)$$ \Rightarrow \overrightarrow {{u_4}} = \left( { – 1;\,1;\, – 2} \right)$.
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x}{{ – 1}} = \frac{{y – 4}}{2} = \frac{{z – 3}}{3}$. Hỏi trong các vectơ sau, đâu không phải là vectơ chỉ phương của $d$?
A. $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { – 1;2;3} \right)$. B. $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3; – 6; – 9} \right)$. C. $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; – 2; – 3} \right)$. D. $\overrightarrow {{u_4}} = \left( { – 2;4;3} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Ta có một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { – 1;2;3} \right)$.
$\overrightarrow {{u_2}} = – 3\overrightarrow {{u_1}} $, $\overrightarrow {{u_3}} = – \overrightarrow {{u_1}} $ $ \Rightarrow $ các vectơ $\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} $ cũng là vectơ chỉ phương của $d$.
Không tồn tại số $k$ để $\overrightarrow {{u_4}} = k\overrightarrow {.{u_1}} $ nên $\overrightarrow {{u_4}} = \left( { – 2;4;3} \right)$ không phải là vectơ chỉ phương của $d$.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng nào sau đây nhận $\left( P \right):2x – y + 2z + 5 = 0$ là một vectơ chỉ phương?
A. B. $\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}$
C. $\frac{{x – 1}}{{ – 2}} = \frac{{y + 1}}{{ – 1}} = \frac{z}{{ – 1}}$ D. $\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 1}}{1}$
Lời giải
Chọn C
Xét đường thẳng được cho ở câu C, có một vectơ chỉ phương là $\left( { – 2; – 1; – 1} \right) = – \left( {2;1;1} \right)$(thỏa đề bài).
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng nào sau đây nhận $\vec u = ( – 2;4;5)$ là một vectơ chỉ phương?
A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + 3t} \\
{y = 4 – t} \\
{z = 5 + 4t}
\end{array}} \right.$ B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 2t} \\
{y = – 1 + 4t} \\
{z = 4 + 5t}
\end{array}} \right.$ C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 2t} \\
{y = 1 + 4t} \\
{z = 4 + 5t}
\end{array}} \right.$ D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3 + 2t} \\
{y = – 1 – 4t} \\
{z = 4 – 5t}
\end{array}} \right.$
Lời giải
Chọn D
Xét đường thẳng được cho ở câu D, có một vectơ chỉ phương là
$\vec u = (2; – 4; – 5) = – ( – 2;4;5)$$\left( { – 2; – 1; – 1} \right) = – \left( {2;1;1} \right)$(thỏa đề bài).
Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;1;0} \right)$ và $B\left( {0;1;2} \right)$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.
A. $\vec d = \left( { – 1;1;2} \right)$ B. C. $\vec b = \left( { – 1;0;2} \right)$ D. $\vec c = \left( {1;2;2} \right)$
Lời giải.
Chọn C
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { – 1;0;2} \right)$ suy ra đường thẳng $AB$ có VTCP là $\vec b = \left( { – 1;0;2} \right)$.
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1;2;3} \right)$. Gọi ${M_1}$, ${M_2}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên các trục $Ox$, $Oy$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ${M_1}{M_2}$?
A. $\overrightarrow {{u_4}} = \left( { – 1;2;0} \right)$ B. $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {0;2;0} \right)$ C. $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2;0} \right)$ D. $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1;0;0} \right)$
Lời giải
Chọn A
${M_1}$ là hình chiếu của $M$ lên trục $Ox \Rightarrow {M_1}\left( {1;0;0} \right)$.
${M_2}$ là hình chiếu của $M$ lên trục $Oy \Rightarrow {M_2}\left( {0;2;0} \right)$.
Khi đó: $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { – 1;2;0} \right)$ là một vectơ chỉ phương của .
Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\left\{ \begin{gathered}
x = 3 + 4t \hfill \\
y = – 5 + t \hfill \\
z = 7 – 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.$ . Điểm nào dưới đây thuộc $d$?
A. $Q\left( {4;1; – 3} \right)$. B. $M\left( {2;3;5} \right)$. C. $P\left( {7;3; – 3} \right)$. D. $N\left( {3; – 5;7} \right)$.
Lời giải
Chọn D.
Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 2}} = \frac{{z + 1}}{3}$ . Điểm nào dưới đây thuộc $d$?
A. $Q\left( {2;1;1} \right)$. B. $M\left( {1;2;3} \right)$. C. $P\left( {2;1; – 1} \right)$. D. $N\left( {1; – 2;3} \right)$.
Lời giải
Chọn C.
Cho $\left\{ \begin{gathered}
x – 2 = 0 \hfill \\
y – 1 = 0 \hfill \\
z + 1 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
y = 1 \hfill \\
z = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ vậy $P\left( {2;1; – 1} \right) \in d$.
Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – 2}}{3} = \frac{{z – 1}}{3}$ ?
A. $P\left( { – 1\,;\,2\,;\,1} \right)$. B. $Q\left( {1\,;\, – 2\,;\, – 1} \right)$. C. $N\left( { – 1\,;\,3\,;\,2} \right)$. D. $P\left( {1\,;\,2\,;\,1} \right)$.
Lời giải
Chọn A
Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy điểm $P\left( { – 1\,;\,2\,;\,1} \right)$ thỏa $\frac{{ – 1 + 1}}{{ – 1}} = \frac{{2 – 2}}{3} = \frac{{1 – 1}}{3} = 0$. Vậy điểm $P\left( { – 1\,;\,2\,;\,1} \right)$ thuộc đường thẳng yêu cầu.
Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{{x – 4}}{2} = \frac{{y – 2}}{{ – 5}} = \frac{{z + 1}}{1}$. Điểm nào sau đây thuộc $d$?
A. $N(4;2; – 1)$. B. $Q(2;5;1)$. C. $M(4;2;1)$. D. $P(2; – 5;1)$.
Lời giải
Chọn A
Thế điểm $N(4;2; – 1)$ vào $d$ ta thấy thỏa mãn nên chọn A.
Câu 13. Trong không gian $Oxyz$, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d$: $\left\{ \begin{gathered}
x = 1 – t \hfill \\
y = 5 + t \hfill \\
z = 2 + 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.$?
A. $N\left( {1;5;2} \right)$ B. $Q\left( { – 1;1;3} \right)$ C. $M\left( {1;1;3} \right)$ D. $P\left( {1;2;5} \right)$
Lời giải
Chọn A
Cách 1. Dựa vào lý thuyết: Nếu $d$ qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$, có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ thì phương trình đường thẳng $d$ là: , ta chọn đáp ánB.
Cách 2. Thay tọa độ các điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$, ta có:
$\left\{ \begin{gathered}
1 = 1 – t \hfill \\
2 = 5 + t \hfill \\
5 = 2 + 3t \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
t = 0 \hfill \\
t = – 3 \hfill \\
t = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$(Vô lý). Loại đáp án A.
Thay tọa độ các điểm $N$ vào phương trình đường thẳng $d$, ta có:
$\left\{ \begin{gathered}
1 = 1 – t \hfill \\
5 = 5 + t \hfill \\
2 = 2 + 3t \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow t = 0$. Nhận đáp án B.
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Đường thẳng $d \left\{ \begin{gathered}
x = t \hfill \\
y = 1 – t \hfill \\
z = 2 + t \hfill \\
\end{gathered} \right.$ đi qua điểm nào sau sau đây?
A. $K\left( {1; – 1;1} \right)$. B. $E\left( {1;1;2} \right)$. C. $H\left( {1;2;0} \right)$. D. $F\left( {0;1;2} \right)$.
Lời giải
Chọn D
Thay tọa độ của $K\left( {1; – 1;1} \right)$ vào PTTS của $d$ ta được $ \left\{ \begin{gathered}
1 = t \hfill \\
– 1 = 1 – t \hfill \\
1 = 2 + t \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
t = 1 \hfill \\
t = 2 \hfill \\
t = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.:$ không tồn tại t.
Do đó, $K \notin d.$
Thay tọa độ của $E\left( {1;1;2} \right)$ vào PTTS của $d$ ta được không tồn tại t.
Do đó, $E \notin d.$
Thay tọa độ của $H\left( {1;2;0} \right)$ vào PTTS của $d$ ta được $ \left\{ \begin{gathered}
1 = t \hfill \\
2 = 1 – t \hfill \\
0 = 2 + t \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
t = 1 \hfill \\
t = – 1 \hfill \\
t = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.:$ không tồn tại t.
Do đó, $H \notin d.$
Thay tọa độ của $F\left( {0;1;2} \right)$ vào PTTS của $d$ ta được $ \left\{ \begin{gathered}
0 = t \hfill \\
1 = 1 – t \hfill \\
2 = 2 + t \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
t = 0 \hfill \\
t = 0 \hfill \\
t = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow t = 0.$
Câu 15. Trong không gian $Oxyz$, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
$d:\left\{ \begin{gathered}
x = 1 – t \hfill \\
y = 5 + t \hfill \\
z = 2 + 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.$ ?
A. $Q\left( { – 1;\;1;\;3} \right)$ B. $P\left( {1;\;2;\;5} \right)$ C. $N\left( {1;\;5;\;2} \right)$ D. $M\left( {1;\;1;\;3} \right)$
Lời giải
Chọn C
Dạng 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 2}}$, ${d_2}:\frac{{x + 2}}{{ – 2}} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{z}{2}$. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.
A. Chéo nhau B. Trùng nhau C. Song song D. Cắt nhau
Lời giải
Chọn C
${d_1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 2}}$$ \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;1; – 2} \right)$; ${d_2}:\frac{{x + 2}}{{ – 2}} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{z}{2}$$ \Rightarrow \overrightarrow {{u_2}} = \left( { – 2; – 1;2} \right)$
$\overrightarrow {{u_1}} = – \overrightarrow {{u_2}} \Rightarrow {d_1}//{d_2} \vee {d_1} \equiv {d_2}$
Điểm $M\left( {1;0; – 2} \right) \in {d_1}$; $M \notin {d_2}$ nên${d_1}//{d_2}$
Câu 17. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t} \\
{y = 2 – 2t} \\
{z = t}
\end{array}} \right.$ và $d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 2t} \\
{y = – 5 + 3t} \\
{z = 4 + t}
\end{array}} \right.$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. song song. B. trùng nhau. C. chéo nhau. D. cắt nhau.
Lời giải
Chọn C
$d$ có VTCP $\vec u = \left( {2; – 2;1} \right)$ và đi qua $M\left( {1;2;0} \right)$
$d’$ ‘có VTCP $\vec u\;’ = \left( { – 2;3;1} \right)$ và đi qua $M’\left( {0; – 5;4} \right)$
Từ đó ta có
$\overrightarrow {MM’} = \left( { – 1; – 7;4} \right)$ và $\left[ {\vec u,{{\vec u}’}} \right] = \left( { – 2;1;6} \right) \ne \vec 0$
Lại có $\left[ {\vec u,\vec u \cdot } \right] \cdot \overrightarrow {MM’} = 19 \ne 0$
Suy ra $d$ chéo nhau với $d$ ‘.
Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng: $d:\frac{{x – 2}}{4} = \frac{y}{{ – 6}} = \frac{{z + 1}}{{ – 8}}$ và $d’:\frac{{x – 7}}{{ – 6}} = \frac{{y – 2}}{9} = \frac{z}{{12}}$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng khi nói về vị trí tương đối của hai đường thẳng trên?
A. song song. B. trùng nhau. C. chéo nhau. D. cắt nhau.
Lời giải
Chọn A
$d$ có VTCP $\vec u = \left( {4; – 6; – 8} \right)$ và đi qua $M\left( {2;0; – 1} \right)$
$d’$ có VTCP $\vec u’$ $ = \left( { – 6;9;12} \right)$ và đi qua $M’\left( {7;2;0} \right)$
Từ đó ta có
$\overrightarrow {MM’} = \left( {5;2;1} \right)$ và $\left[ {\vec u,\vec u’} \right] = \vec 0$
Lại có $\left[ {\vec u,{{\overrightarrow {MM’} }}} \right] \ne \vec 0$
Suy ra $d$ song song với $d’$.
Câu 19. Hai đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1 + 12t} \\
{y = 2 + 6t} \\
{z = 3 + 3t}
\end{array}} \right.$ và $d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 7 + 8t} \\
{y = 6 + 4t} \\
{z = 5 + 2t}
\end{array}} \right.$ có vị trí tương đối là:.
A. trùng nhau. B. song song. C. chéo nhau. D. cắt nhau.
Lời giải
Chọn A
$d$ có VTCP $\vec u = \left( {12;6;3} \right)$ và đi qua $M\left( { – 1;2;3} \right)$
d’ có VTCP $\vec u’$ $ = \left( {8;4;2} \right)$ và đi qua $M’\left( {7;6;5} \right)$
Từ đó ta có
$\overrightarrow {MM’} = \left( {8;4;2} \right)$
Suy ra $\left[ {\vec u,\overrightarrow {MM’}} \right] = \vec 0$ và $\left[ {\vec u,\overrightarrow {u’} } \right] = \vec 0$
Suy ra $d$ trùng với $d’$.
Câu 20. Trong không gian $Oxyz$, hai đường thẳng $d:\frac{{x – 1}}{{ – 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 4}}{3}$ và $d’:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1 + t} \\
{y = – t} \\
{z = – 2 + 3t}
\end{array}} \right.$ có vị trí tương đối là:
A. trùng nhau. B. song song. C. chéo nhau. D. cắt nhau.
Lời giải
Chọn D
$d$ có VTCP $\vec u = \left( { – 2;1;3} \right)$ và đi qua $M\left( {1; – 2;4} \right)$
$d’$ có VTCP $\overrightarrow {u’} = \left( {1; – 1;3} \right)$ và đi qua $M’\left( { – 1;0; – 2} \right)$
Từ đó ta có
$\overrightarrow {MM’} = \left( { – 2;2; – 6} \right)$
$\left[ {\vec u,{{\vec u}’}} \right] = \left( {6;9;1} \right) \ne \vec 0$ và $\left[ {\vec u,\overrightarrow {u’} } \right] \cdot \overrightarrow {MM’} = 0$
Suy ra $d$ cắt $d’$.
Dạng 3: Tính góc giữa hai đường thẳng-Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng-Tính góc giữa hai mặt phẳng
Câu 21. Gọi $\alpha $ là góc giữa hai đường thẳng AB, CD. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
A.$cos\alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}$ B.$\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.$
C. $\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}.$ D.$\cos \alpha \,\, = \,\,\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}}.$
Lời giải
Chọn A
Áp dụng công thức ở lý thuyết.
Câu 22. Cho hai đường thẳng ${d_1}:\,\,\left\{ \begin{gathered}
x\,\, = \,\,1\,\, + \,\,t \hfill \\
y\,\, = \,\,4 + t \hfill \\
z\,\, = \,\,\, – 2\,t \hfill \\
\end{gathered} \right.$ và ${d_2}:\,\,\left\{ \begin{gathered}
x\,\, = \,\,1\,\, + \,t \hfill \\
y\,\, = \,\,5 \hfill \\
z\,\, = \,\,10\,\, – t \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là:
A. $30^\circ $. B. $120^\circ $. C. $150^\circ $. D.$60^\circ $.
Lời giải
Chọn A
Gọi $\overrightarrow {{u_1}} ;\,\,\overrightarrow {{u_2}} $ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.
$\overrightarrow {{u_1}} \, = \,(1;\,1;\, – 2);\,\,\overrightarrow {{u_2}} \,\, = \,\,(1;\,0;\, – 1)$
Áp dụng công thức ta có $cos\left( {{d_1},{d_2}} \right)\,\, = \,\,\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|$
$ = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\,\left| {\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\,\, = \,\,\frac{{\left| {\,1.1 + 1.0 + ( – 2).( – 1)} \right|}}{{\sqrt {{{(1)}^2} + {1^2} + {{( – 2)}^2}\,} .\sqrt {{1^2}\,\, + {0^2} + {{( – 1)}^2}} }}\,$$\, = \,\,\frac{3}{{\sqrt 6 .\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
$ \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right)\,\, = \,\,30^\circ $.
Câu 23. Cho hai đường thẳng ${d_1}:\,\,\left\{ \begin{gathered}
x\,\, = \,\,3\, + t \hfill \\
y\,\, = \,\,2 + t \hfill \\
z\,\, = \,\, – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ và ${d_2}:\,\,\left\{ \begin{gathered}
x\,\, = \,\,1\,\, – \,\,t \hfill \\
y\,\, = \,\,2 \hfill \\
z\,\, = \,\, – 2\,\, + \,\,t \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là:
A. $30^\circ $. B. $120^\circ $. C. $150^\circ $. D.$60^\circ $.
Lời giải
Chọn D
Gọi $\overrightarrow {{u_1}} ;\,\,\overrightarrow {{u_2}} $ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.
$\overrightarrow {{u_1}} \, = \,(1;\,\,1;\,\,0);\,\,\overrightarrow {{u_2}} \,\, = \,\,( – \,1;\,\,0;\,\,1)$
Áp dụng công thức ta có $cos\left( {{d_1},{d_2}} \right)\,\, = \,\,\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right|$
$ = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\,\left| {\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\,\, = \,\,\frac{{\left| { – \,1} \right|}}{{\sqrt {1\,\, + \,\,1} .\sqrt {1\,\, + \,\,1} }}\,\, = \,\,\frac{1}{2}$.
$ \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right)\,\, = \,\,60^\circ $.
Câu 24. Cho đường thẳng $\Delta :\,\,\frac{x}{1}\,\, = \,\,\frac{y}{{ – \,2}}\,\, = \,\,\frac{z}{1}$ và mặt phẳng (P): $5x\,\, + \,\,11y\,\, + \,\,2z\,\, – \,\,4\,\, = \,\,0$. Góc giữa đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng (P) là:
A. $60^\circ $. B. $ – \,30^\circ $. C.$30^\circ $. D. $ – \,\,60^\circ $.
Lời giải
Chọn C
Gọi $\overrightarrow u ;\,\,\overrightarrow n $ lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng $\Delta $ và mặt phẳng (P). $\overrightarrow u = \left( {1;\,\, – 2;\,\,1} \right);\,\,\overrightarrow n \,\, = \,\,\left( {5;\,\,11;\,\,2} \right)$
Áp dụng công thức ta có
$\sin (\Delta ,(P)) = |\cos (\vec u,\vec n)| = \frac{{|\vec u.\vec n|}}{{|\vec u| \cdot |\vec n|}}$
$ = \frac{{|1.5 – 11.2 + 1.2|}}{{\sqrt {{5^2} + {{11}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}$
$ \Rightarrow \,\,\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\,\, = \,\,30^\circ .$
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 – t} \\
{y = 2 + 2t} \\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right.$ và mặt phẳng (P):$x – y + 3 = 0$. Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
A. ${60^0}$ B. ${30^0}$ C. ${120^o}$ D. ${45^0}$
Lời giải
Chọn A.
Đường thẳng $d$có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { – 1;2;1} \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; – 1;0} \right)$
Gọi $\alpha $là góc giữa Đường thẳng $d$và Mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó ta có
$\sin \alpha = \frac{{|\vec u \cdot \vec n|}}{{|\vec u||\vec n|}}$$ = \frac{{| – 1 \cdot 1 + 2 \cdot ( – 1) + 1.0|}}{{\sqrt {{{( – 1)}^2} + {2^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {{( – 1)}^2} + {0^2}} }}$$ = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Do đó $\alpha = {60^0}$
Câu 26. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng (P): $ – \sqrt 3 x + y + 1 = 0$. Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$?
A. ${60^0}$. B. ${30^0}$. C. ${120^0}$. D. ${150^0}$.
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\overrightarrow n = ( – \sqrt 3 ;1;0)$
Trục $Ox$có VTCP $\overrightarrow i = (1;0;0)$
Góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$
$sin((P);Ox) = \left| {cos((P);Ox)} \right|$$ = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}}$
$ = \frac{{\left| { – \sqrt 3 .1 + 1.0 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {3 + 1} .\sqrt 1 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$
Vậy góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ bằng ${60^0}$.
Câu 27. Cho mặt phẳng $(P):\,\,3x\,\, + \,\,4y\,\, + \,\,5z\,\, + \,\,2\,\, = \,\,0$ và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha ):\,\,x\,\, – \,\,2y\,\, + \,\,1\,\, = \,\,0;\,\,(\beta ):\,\,x\,\, – \,\,2z\,\, – \,\,3\,\, = \,\,0$. Gọi $\varphi $ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:
A.$60^\circ $. B. $45^\circ $. C. $30^\circ $. D. $90^\circ $.
Lời giải
Chọn A
Ta có :
+ Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; – 2;0} \right)$
+ Vectơ pháp tuyến của $(\beta )$ là $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1;0; – 2} \right)$
Suy ra một VTCP của d là $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = (4;\,\,2;\,\,2) = 2.\left( {2;1;1} \right)$
Nên d cũng có một VTCP của d là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;1} \right)$
Ta có $\sin \left( {d,(P)} \right) = \,\,\left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_d}} ,\,\,\overrightarrow n } \right)} \right|$$ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\,\,$
$ = \,\,\frac{{\left| {2.3\,\, + \,\,1.4\,\, + \,\,1.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2}\,\, + \,\,{1^2}\,\, + \,\,{1^2}} .\sqrt {{3^2}\,\, + \,\,{4^2}\,\, + \,\,{5^2}} }}\,\, = \,\,\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.
$ \Rightarrow \,\,(d,(P))\,\, = \,\,60^\circ $.
Câu 28. Cho mặt phẳng $(\alpha ):2x – y + 2z – 1 = 0$; $(\beta ):x + 2y – 2z – 3 = 0$. Cosin góc giữa mặt phẳng $(\alpha )$ và mặt phẳng$\,(\beta )$ bằng:
A.$\frac{4}{9}$ B. $ – \frac{4}{9}.$ C.$\frac{4}{{3\sqrt 3 }}.$ D. $ – \frac{4}{{3\sqrt 3 }}.$
Lời giải
Chọn A
Gọi $\overrightarrow {{n_\alpha }} $, $\,\overrightarrow {{n_\beta }} $ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha )$ và $(\beta )$.
Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} (2;\,\, – \,\,1;\,\,2);\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} (1;\,\,2;\,\, – \,2)$.
Áp dụng công thức:
$\cos ((\alpha ),(\beta )) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right)} \right|$$ = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} \cdot \overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}$
$ = \frac{{|2 \cdot 1 – 1.2 – 2.2|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( – 1)}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {\left( {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} \right.} }} = \frac{4}{9}$
Câu 29. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc $60^\circ $
A. $(P):\,\,2x\,\, + \,\,11y\,\, – \,\,5z\,\, + \,\,3 = \,\,0$ và $(Q):\,\,x\,\, + \,\,2y\,\, – \,\,z\,\, – \,\,2 = \,\,0$.
B.$(P):\,\,2x\,\, + \,\,11y\,\, – \,\,5z\,\, + \,\,3 = \,\,0$ và $(Q):\,\, – x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,z\,\, – \,\,5 = \,\,0$.
C. $(P):\,\,2x\,\, – \,\,11y\,\, + \,\,5z\,\, – \,\,21 = \,\,0$ và $(Q):\,\,2x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,z\,\, – \,\,2 = \,\,0$.
D. $(P):\,\,2x\,\, – \,\,5y\,\, + \,\,11z\,\, – \,\,6 = \,\,0$ và $(Q):\,\, – x\,\, + \,\,2y\,\, + \,\,z\,\, – \,\,5 = \,\,0$.
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.
$\cos \left( {(P),(Q)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\,\, = \,\,\cos 60^\circ \,\, = \,\,\frac{1}{2}$
Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Thay các giá trị vào biểu thức để tìm giá trị đúng.
Dùng chức năng CALC trong máy tính bỏ túi để hỗ trợ việc tính toán nhanh nhất.
Câu 30. Tính tổng các giá trị tham số $m$ để mặt phẳng $\left( P \right):\left( {m + 2} \right)x + 2my – mz + 5 = 0$ và $\left( Q \right):mx + \left( {m – 3} \right)y + 2z – 3 = 0$ hợp với nhau một góc $\alpha = {90^0}$.
A.$6$ B. $4$ C.$8$ D. $ – 4$
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec n_p} = \left( {m + 2;2m; – m} \right)$, ${\vec n_Q} = \left( {m;m – 3;2} \right)$
$(P) \bot (Q) \Leftrightarrow {\vec n_p}{\vec n_Q} = 0$$ \Leftrightarrow (m + 2)m + 2m(m – 3) – 2m = 0$
$ \Leftrightarrow 3{m^2} – 6m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0} \\
{m = 6}
\end{array}} \right.$
