Các dạng bài tập trắc nghiệm đúng sai tích phân có lời giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó:
a) $\int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( t \right)dt} $
b) $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = – \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $
c) $\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0$
d) $\int\limits_a^b {2025f\left( x \right)dx = \frac{1}{{2025}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } $
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Đúng | Sai |
a) Theo tính chất tích phân nên a đúng.
b) Theo tính chất tích phân nên b đúng.
c) $\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = \left. {F(x)} \right|_a^a = F(a) – F(a) = 0$ nên c đúng.
d) $\int\limits_a^b {2025f\left( x \right)dx = 2025\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } $ nên d sai.
Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right) = \sin x$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$. Khi đó:
a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} = 1$.
b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'(x)dx} = – 1$.
c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt 2 f(x)dx} = \sqrt 2 $.
d) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {x + f(x)} \right]dx} = \frac{{{\pi ^2}}}{8} + 1$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Sai | Đúng |
a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(x)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = – \left. {cosx} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1$ nên a đúng.
b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'(x)dx} = \,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {cosxdx} = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1$ nên b sai.
c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt 2 f(x)dx} = \sqrt 2 \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f(x)dx} = \sqrt 2 \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin xdx} $
$ = – \sqrt 2 \left. {cosx} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = – \sqrt 2 (\frac{{\sqrt 2 }}{2} – 1) = \sqrt 2 – 1$ nên c sai.
d) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {x + f(x)} \right]dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(xdx} $.
$ = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + 1 = \frac{{{\pi ^2}}}{8} + 1$ nên d đúng.
Câu 3. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và $k$ là một hằng số. Khi đó:
a)$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $.
b) $\int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $.
c) $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } $.
d) $\int\limits_a^b {\frac{1}{2}f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Đúng | Sai |
Theo tính chất
$\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $
$\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } $
Câu 4. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a < b < c$. Khi đó:
a) $\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} $
b) $\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} $
c) $\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } – \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} $
d) $\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} $
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Sai | Đúng | Sai | Sai |
b) Đúng theo tính chất
Câu 5. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) $\int\limits_{ – 2025}^{2025} {dx} = 4050$.
b) $\int\limits_a^b {{f_1}\left( x \right).{f_2}\left( x \right)dx} = \int\limits_a^b {{f_1}\left( x \right)dx} .\int\limits_a^b {{f_2}\left( x \right)dx} $.
c) Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Khi đó $\frac{1}{{b – a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $ được gọi là giá trị trung bình của hàm số$f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.
d) Nếu hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ và $f’\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ thì $f\left( b \right) – f\left( a \right) = \int\limits_a^b {f’\left( x \right)dx} $
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Đúng | Đúng |
Câu 6. Cho hàm $f\left( x \right)$ là hàm liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ với $a < b$ và $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm $f\left( x \right)$ trên $\left[ {a;b} \right]$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\left( {F\left( b \right) – F\left( a \right)} \right)$
b) $\int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) – F\left( a \right)$
c) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $x = a;x = b$; đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ và trục hoành được tính theo công thức $S = F\left( b \right) – F\left( a \right)$
d) $\int\limits_a^b {f\left( {2x + 3} \right)dx} = \left. {F\left( {2x + 3} \right)} \right|_a^b$
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Sai | Sai |
Câu 7. Cho các hàm số $f\left( x \right)$, $g(x)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;9} \right]$ và $\int\limits_0^5 {f(x)dx = 3} $, $\int\limits_5^9 {f(x)dx = 8} $, $\int\limits_0^9 {g(x)dx = 15} $. Khi đó:
a) $\int\limits_0^9 {f(x)dx = } 11$
b) $\int\limits_5^9 {2f(x)dx = 4} $
c) $\int\limits_0^9 {\left[ {f(x) – 1} \right]dx = } 2$
d) $\int\limits_0^9 {\left[ {3f(x) – 2g(x)} \right]} = 7$
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Đúng | Sai |
a) $\int\limits_0^9 {f(x)dx = } \int\limits_0^5 {f(x)dx + \int\limits_5^9 {f(x)dx = } } 3 + 8 = 11$ nên a đúng.
b) $\int\limits_5^9 {2f(x)dx} = 28 = 16$ nên b sai.
c) $\int\limits_0^9 {\left[ {f(x) – 1} \right]dx = } \int\limits_0^9 {f(x)dx – } \int\limits_0^9 {1dx = 11 – \left. x \right|_0^9} $
$ = 11 – 9 = 2$ nên c đúng.
d) $\int\limits_0^9 {\left[ {3f(x) – 2g(x)} \right]} = \int\limits_0^9 {3f(x)dx} – \int\limits_0^9 {2g(x)dx} $
$ = 3\int\limits_0^9 {f(x)dx} – 2\int\limits_0^9 {g(x)dx} = 3.11 – 2.15 = 3$ nên d sai.
Câu 8. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai
a) $\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} – 4}}{{{e^x} + 2}}dx = e – 3} $
b) $\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \frac{e}{2} + 1} $
c) $\int\limits_1^2 {{e^x}\left( {1 – \frac{{{e^{ – x}}}}{x}} \right)dx} = {e^2} – e – \ln 2$
d) $\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x – 1}} – {e^{ – 3x}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = {e^4} – 1$
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Đúng | Sai |
$\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} – 4}}{{{e^x} + 2}}dx = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{e^x} – 2} \right)\left( {{e^x} + 2} \right)}}{{{e^x} + 2}}dx = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} – 2} \right)dx = \left( {{e^x} – 2x} \right)_0^1 = e – 3} } } $
$\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}}}{{{2^x}}}dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}dx = \left[ {{{\left( {\frac{e}{2}} \right)}^x}} \right]_0^1 = \frac{e}{2} – 1} } $
$\int\limits_1^2 {{e^x}\left( {1 – \frac{{{e^{ – x}}}}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} – \frac{1}{x}} \right)dx = \left( {{e^x} – \ln \left| x \right|} \right)_1^2 = {e^2} – e – \ln 2} $
$\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x – 1}} – {e^{ – 3x}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{e^{x – 1}} – {e^{ – 4x}} + {e^{ – x}}} \right)dx} = \left. {\left( {{e^{x – 1}} – {e^{ – 4x}} + {e^{ – x}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{1 – {e^4}}}{{{e^4}}} = {e^{ – 4}} – 1$
Câu 9. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ${v_1}\left( t \right) = 4t\left( {\;m/s} \right)$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây. Sau khi chuyển động được 6 giây thì ô tô gặp chuớng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc ${v_2}\left( t \right)$ và gia tốc là $a = – 4\,\left( {\;m/{s^2}} \right)$ cho đến khi dừng hẳn. Khi đó:
a) Quãng đường ô tô chuyển động nhanh dần đều là $36\,m$.
b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm người tài xế phanh gấp là $24\;m/s$.
c) Thời gian từ lúc ô tô giảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là 9 giây.
d) Tổng quãng đường ô tô chuyển động từ lúc xuất phát đến khi dừng hẳn là $120\,m$ .
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Sai | Đúng | Sai | Sai |
a) Sai.
Quãng đường ô tô chuyển động nhanh dần đều là
${s_1} = \int\limits_0^6 {{v_1}(t)dt} = \int\limits_0^6 {4tdt} = 2\left. {{t^2}} \right|_0^6 = 72$
b) Đúng.
${v_1}\left( 6 \right) = 4.6 = 24\left( {\;m/s} \right)$
c) Đúng.
${v_2}\left( t \right) = \int {a(t)dt = } \int { – 4dt = } – 4t + C$
Tại thời điểm phanh gấp $t = 6$ ta có: ${v_1}\left( 6 \right) = 24\left( {\;m/s} \right)$
Nên ${v_2}\left( 6 \right) = 24 \Leftrightarrow – 4.6 + C = 24 \Rightarrow C = 48$
Suy ra, ${v_2}\left( t \right) = – 4t + 48$
Ô tô dừng hẳn $ \Leftrightarrow {v_2}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow – 4t + 48 = 0 \Leftrightarrow t = 12$
Vậy thời gian từ lúc ô tô giảm tốc độ cho đến khi dừng hẳn là $12 – 6 = 6$ (giây).
d) Sai.
$S = \int\limits_0^{12} {\left| {v\left( t \right)} \right|} dt = \int\limits_0^6 {{v_1}(t)} dt + \int\limits_6^{12} {{v_2}(t)} dt$;
${S_1} = \int\limits_0^6 {{v_1}(t)dt = } \int\limits_0^6 {4tdt = } 2\left. {{t^2}} \right|_0^6 = 72$;
${S_2} = \int\limits_6^{12} {{v_2}(t)dt} = \int\limits_6^{12} {\left( { – 4t + 48} \right)dt} = \left. {\left( { – 2{t^2} + 48t} \right)} \right|_6^{12} = 72$
Vậy $S = {S_1} + {S_2} = 72 + 72 = 144\left( {\;m} \right)$.
Câu 10. Hình bên là đồ thị vận tốc $v(t)$ của một vật ($t = 0$ là thời điểm vật bắt đầu chuyển động). Khi đó:
a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 4$ là $v(4) = 2$ .
b) Quãng đường vật di chuyển được trong $2$ giây đầu tiên là $4\,m$.
c) Quãng đường vật di chuyển được giây thứ $2$ đến thứ $4$ là $7m$.
d) Tổng quãng đường vật di chuyển trong $5$ giây đầu tiên là $15\,m$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Sai | Sai |
a) Dựa vào đồ thị ta thấy khi $t = 4$ thì $v = 2$ nên a đúng.
b) Trong $2$ giây đầu tiên, đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ là đường thẳng nên có dạng $v(t) = at + b$.
Do đồ thị đi qua hai điểm $(0;0)$ và $(2;2)$ nên ta có: $\left\{ \begin{gathered}
0 = a.0 + b \hfill \\
2 = a.2 + b \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
b = 0 \hfill \\
a = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra, $v(t) = t$.
Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong $2$ giây đầu tiên là:
${s_1} = \int\limits_a^b {v(t)dt} = \int\limits_0^2 {tdt} = \left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^2 = 2\,m$ nên b sai.
c) Trong giây thứ $2$ đến giây thứ $4$, đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ là đường thẳng đi qua điểm $(0;2)$ và song song với trục $Ot$ nên có phương trình $v(t) = 2$
Suy ra, quãng đường mà vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 5 là:
${s_2} = \int\limits_2^4 {v(t)dt} = \int\limits_2^4 {2dt} = \left. {2t} \right|_2^4 = 4\,(m)$ nên c sai.
d) Trong giây thứ $2$ đến giây thứ $5$, đồ thị hàm vận tốc $v(t)$ là đường thẳng đi qua điểm $(0;2)$ và song song với trục $Ot$ nên có phương trình $v(t) = 2$
Suy ra, quãng đường mà vật di chuyển được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 5 là:
${s_3} = \int\limits_2^4 {v(t)dt} = \int\limits_2^5 {2dt} = \left. {2t} \right|_2^5 = 6\,(m)$.
Vậy tổng quãng đường vật di chuyển trong $5$ giây đầu tiên là $s = {s_1} + {s_3} = 2 + 6 = 8\,m$ nên d sai.
