Trắc nghiệm đúng sai Phương trình mặt phẳng trong không gian oxyz giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1; – 2;3} \right)$ và hai vectơ $\vec v = \left( { – 1;2;3} \right)$, $\vec u = \left( { – 2;0;1} \right)$. Khi đó:
a) $\vec v = – \vec i + 2\vec j + 3\vec k$.
b) $\vec u \bot \vec v$.
c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1; – 2;3} \right)$ và vuông góc với giá của vectơ $\vec v = \left( { – 1;2;3} \right)$ là: $x – 2y – 3z + 4 = 0$.
d) Phương trình mă̆t phẳng đi qua điểm $A\left( {1; – 2;3} \right)$ và vuông góc với giá của vectơ $\vec u = \left( { – 2;0;1} \right)$ là: $2x – y + 1 = 0$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Đúng | Sai |
Ta có:
a) $\vec v = \left( { – 1;2;3} \right)$$ \Rightarrow \vec v = – \vec i + 2\vec j + 3\vec k$ nên a Đúng
b) $\vec u.\vec v = \left( { – 1} \right)\left( { – 2} \right) + 2.0 + 3.1 = 5 \ne 0$ $ \Rightarrow $$\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ không vuông góc nên b sai.
c) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1; – 2;3} \right)$ và vuông góc với giá của vectơ $\vec v = \left( { – 1;2;3} \right)$ là:$ – 1\left( {x – 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) + 3\left( {z – 3} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow – x + 2y + 3z – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow x – 2y – 3z + 4 = 0$ nên c đúng
d) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1; – 2;3} \right)$ và vuông góc với giá của vectơ $\vec u = \left( { – 2;0;1} \right)$ là: $2x – y – 1 = 0$ nên d Sai.
Câu 2. Cho ba điểm $A\left( {1;2;3} \right)$$,B\left( {4;3;5} \right)$$,C\left( { – 1;1;2} \right).$
a) $\overrightarrow {AB} = (3;1;2)$,$\overrightarrow {AC} = ( – 2;1; – 1)$.
b) Các vectơ $\overrightarrow {AB} ,$$\overrightarrow {AC} $ là cặp vectơ chỉ phương của $(ABC)$.
c) Một vectơ pháp tuyến của $(ABC)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].$
d) Phương trình $(ABC)$ là: $3x + y – 5z – 10 = 0$
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Đúng | Sai |
a) $\overrightarrow {AB} = (3;1;2)$,
$\overrightarrow {AC} = ( – 2;1; – 1)$ nên a đúng,
b) Các vectơ $\overrightarrow {AB} ,$$\overrightarrow {AC} $ là cặp vectơ chỉ phương của $(ABC)$ vì $\overrightarrow {AB} ,$$\overrightarrow {AC} $ nằm trên $(ABC)$ nên b đúng.
c) Một vectơ pháp tuyến của $(ABC)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$ nên c đúng.
d)+ Một vectơ pháp tuyến của $(ABC)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { – 3; – 1;5} \right) = – 1.\left( {3;1; – 5} \right)$.
+ $(ABC)$ đi qua $A\left( {1;2;3} \right)$.
Vậy phương trình $(ABC)$ là: $3\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y – 2} \right) – 5\left( {z – 3} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 3x – 3 + y – 2 – 5z + 15 = 0$$ \Leftrightarrow 3x + y – 5z + 10 = 0$ nên d sai.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;1;4} \right)$, $B\left( {2;7;9} \right)$, $C\left( {0;9;13} \right)$. Khi đó:
a) $\overrightarrow {AB} = \vec i + 6\vec j + 5\vec k$.
b) $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} $.
c) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $O,A,B$ là $19x + y – 5z = 0$.
d) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A,B,C$ là $2x + y – z – 2 = 0$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Đúng | Sai |
a) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;6;5} \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {1;6;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \vec i + 6\vec j + 5\vec k$ nên a đúng.
b) Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;6;5} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { – 1;8;9} \right)$
$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 1.\left( { – 1} \right) + 6.8 + 5.9 = 92 \ne 0$ $ \Rightarrow $$\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ không vuông góc nên b sai.
c) $\overrightarrow {OA} = \left( {1;1;4} \right)$;
$\overrightarrow {OB} = \left( {2;7;9} \right)$
Suy ra $\left( {OAB} \right)$ đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ có vtpt $\vec n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { – 19; – 1;5} \right) = – 1\left( {19;1; – 5} \right)$ có phương trình $19\left( {x – 0} \right) + 1\left( {y – 0} \right) – 5\left( {z – 0} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 19x + y – 5z = 0$ nên c đúng.
d) $\left( {ABC} \right)$ đi qua $A\left( {1;1;4} \right)$ có vtpt $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {14; – 14;14} \right) = 14\left( {1; – 1;1} \right)$ có phương trình $x – y + z – 4 = 0$ nên d sai.
Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {2; – 1;4} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):3x – 2y + z + 1 = 0$. Khi đó:
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {3; – 2;1} \right)$.
b) Phương trình của mặt phẳng $(Q)$ đi qua $O$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ là $3x – 2y + z = 0$
c) Phương trình của mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ là $3x – 2y + z – 12 = 0$.
d) Mặt phẳng $(R)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cách điểm $N(1; – 1;5)$ một khoảng bằng $\frac{{11}}{{\sqrt {14} }}$ có phương trình là $3x – 2y + z + 21 = 0$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Đúng | Sai |
a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {3; – 2;1} \right)$ nên a đúng.
b) Ta có: $(Q)//(P)$$ \Rightarrow (Q):3x – 2y + z + D = 0$ ($D \ne 1$)
Vì $(Q)$đi qua $O$ nên $3.0 – 2.0 + 0 + D = 0 \Rightarrow D = 0$ (nhận)
Suy ra $(Q):3x – 2y + z = 0$ nên b đúng.
c) Sai Phương trình của mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ là $3\left( {x – 2} \right) – 2\left( {y + 1} \right) + \left( {z – 4} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow 3x – 2y + z – 12 = 0$ nên c đúng.
d) Ta có: $(R)//(P)$$ \Rightarrow (R):3x – 2y + z + D = 0$ ($D \ne 1$)
Theo đề $d\left( {N;(R)} \right) = \frac{{11}}{{\sqrt {14} }}$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.1 – 2.( – 1) + 5 + D} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{( – 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {14} }}$
$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {10 + D} \right|}}{{\sqrt {14} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {14} }} \Leftrightarrow \left| {10 + D} \right| = 11$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
10 + D = 11 \hfill \\
10 + D = – 11 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
D = 1\,\,(loại) \hfill \\
D = – 21 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Suy ra $(R):3x – 2y + z – 21 = 0$ nên d sai.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {4;1;2} \right)$. Khi đó:
a) $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)$.
b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với $AB$ có phương trình là $3x + y + 2z + 3 = 0$.
c) Nếu $I$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)$.
d) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng $AB$ có phương trình là $3x + y + 2z – 12 = 0$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Đúng | Đúng |
a) $\overrightarrow {AB} = \left( {4 – 1;1 – 0;2 – 0} \right) = \left( {3;1;2} \right)$nên a đúng.
b) Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $A\left( {1;0;0} \right)$ và vuông góc với $AB$ suy ra mặt phẳng $\left( Q \right)$ nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ cần tìm có dạng:
$3\left( {x – 1} \right) + y + 2z = 0 \Leftrightarrow 3x + y + 2z – 3 = 0$ nên b sai
c) $I$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ nên $I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)$ nên c đúng.
d) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng $AB$ là mặt phẳng đi qua $I$ và vuông góc $AB$ nên có phương trình là $3\left( {x – \frac{5}{2}} \right) + y – \frac{1}{2} + 2\left( {z – 2} \right) = 0$$ \Leftrightarrow 3x + y + 2z – 12 = 0$ nên d đúng.
Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(2;3;4)$ và song song với giá của hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;2;3} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {3;2;1} \right)$ Khi đó:
a) $(P)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;1} \right)$.
b) Tích vô hướng của hai vectơ là $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1$.
c) Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $x – 2y + z = 0$.
d) Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(P)$ và đi qua $K(1;1;2)$ có phương trình là $x – 2y + z + 1 = 0$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Đúng | Sai |
a) $(P)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]$ $ = \left( {\left| \begin{gathered}
2\,\,\,3 \hfill \\
2\,\,\,\,1 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
3\,\,\,1 \hfill \\
1\,\,\,\,3 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
1\,\,\,2 \hfill \\
3\,\,\,\,2 \hfill \\
\end{gathered} \right|} \right)$
$ = \left( { – 4;8; – 4} \right) = – 4.\left( {1; – 2;1} \right)$nên a đúng.
b) Tích vô hướng của hai vectơ là $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.3 + 2.2 + 3.1 = 10$ nên b sai.
c) + $(P)$ qua $M(2;3;4)$
+ $(P)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; – 2;1} \right)$
Suy ra phương trình mặt phẳng $(P)$ là $1\left( {x – 2} \right) – 2\left( {y – 3} \right) + 1\left( {z – 4} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow x – 2 – 2y + 6 + z – 4 = 0$$ \Leftrightarrow x – 2y + z = 0$ nên c đúng.
d) +Mặt phẳng $(Q)$song song với $(P)$ nên $(Q):x – 2y + z + C = 0$ ($C \ne 0$)
+ Mặt phẳng đi qua $K(1;1;2)$ nên $1 – 2.1 + 2 + C = 0 \Leftrightarrow C = – 1$ (nhận)
Vậy $(Q):x – 2y + z – 1 = 0$ nên d sai.
Câu 7. Trong không gian Oxyz, các khẳng định sau đây là đúng hay sai?
a) Hai mặt phẳng $(P):2x – 3y + z + 1 = 0$ và $\left( Q \right):4x – 6y + 2z + 3 = 0$ song song với nhau.
b) Hai mặt phẳng $(P):z – 3 = 0$ và $\left( Q \right):3x + 2y – 1 = 0$ vuông góc với nhau.
c) Hai mặt phẳng $(P):2x – y + 2z + 1 = 0$ và $\left( Q \right):4x + 2y – 4z + 5 = 0$ song song với nhau.
d) Hai mặt phẳng $(P):x – 2y + z + 3 = 0$ và $\left( Q \right): – 3x + 6y – 3z – 9 = 0$ trùng nhau.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Sai | Đúng |
a) Hai mặt phẳng $(P):2x – 3y + z + 1 = 0$ và $\left( Q \right):4x – 6y + 2z + 3 = 0$
Ta có: $\frac{2}{4} = \frac{{ – 3}}{{ – 6}} = \frac{1}{2} \ne \frac{1}{3}$ suy ra $(P)//(Q)$ nên a đúng.
b) Hai mặt phẳng $(P):z – 3 = 0$ và $\left( Q \right):3x + 2y – 1 = 0$ vuông góc với nhau.
+ $(P)$ có vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {0;0;1} \right)$.
+ $(Q)$ có vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;2;0} \right)$.
Suy ra $\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0.3 + 0.2 + 1.0 = 0$$ \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} \Rightarrow (P) \bot (Q)$ nên b đúng.
c) Hai mặt phẳng $(P):2x – y + 2z + 1 = 0$ và $\left( Q \right):4x + 2y – 4z + 5 = 0$.
Ta có: $\frac{2}{4} \ne \frac{{ – 1}}{2}$ suy ra $(P)$ và $(Q)$ cắt nhau nên c sai.
d) Hai mặt phẳng $(P):x – 2y + z + 3 = 0$ và $\left( Q \right): – 3x + 6y – 3z – 9 = 0$
Ta có: $\frac{1}{{ – 3}} = \frac{{ – 2}}{6} = \frac{1}{{ – 3}} = \frac{3}{{ – 9}}$ suy ra $(P) \equiv (Q)$ nên d đúng.
Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {1;2;3} \right)$. Gọi $A,B,C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên các trục $Ox,Oy,Oz$. Mệnh đề nào sau đây Đúng và mệnh đề nào sai?
a) Điểm $A$ có tọa độ là $A\left( {1;0;0} \right)$.
b) Điểm $B$ có tọa độ là $A\left( {1;2;0} \right)$.
c) Vectơ $\overrightarrow {MC} $ có tọa độ là $\left( {1;2;0} \right)$.
d) Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Sai | Sai | Đúng |
a) $A$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Ox \Rightarrow A\left( {1;0;0} \right)$ nên a đúng.
b) $B$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oy \Rightarrow B\left( {0;2;0} \right)$ nên b sai.
c) $C$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục $Oz \Rightarrow C\left( {0;0;3} \right)$.
Vectơ $\overrightarrow {MC} $ có tọa độ là $\overrightarrow {MC} = \left( {0 – 1;0 – 2;3 – 3} \right) = \left( { – 1; – 2;0} \right)$ nên c sai
d) Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ nên d đúng.
Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {4;0;1} \right)$ và $B\left( { – 2;2;3} \right)$. Khi đó:
a) $\overrightarrow {AB} = \left( { – 6;2;2} \right)$.
b) Nếu $I$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $I\left( {1;1;2} \right)$.
c) Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AB$ có phương trình là $3x + y + z + 11 = 0$.
d) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là $x + y + z = 0$.
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Đúng | Đúng | Sai | Sai |
a) $\overrightarrow {AB} = \left( { – 6;2;2} \right)$ Đúng
b) Nếu $I$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $I\left( {1;1;2} \right)$. Đúng
c) Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $AB$ nên nó đi qua $A\left( {4;0;1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { – 6;2;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $ – 6\left( {x – 4} \right) + 2\left( {y – 0} \right) + 2\left( {z – 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow – 6x + 24 + 2y + 2z – 2 = 0$
$ \Leftrightarrow – 6x + 2y + 2z + 22 = 0$$ \Leftrightarrow 3x – y – z – 11 = 0$ nên c sai.
d) Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {AB} = \left( { – 6;2;2} \right)$ và đi qua trung điểm $I\left( {1;1;2} \right)$ của đoạn thẳng $AB$.
Do đó, phương trình mặt phẳng đó là:
$ – 6\left( {x – 1} \right) + 2\left( {y – 1} \right) + 2\left( {z – 2} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow – 6x + 2y + 2z = 0$$ \Leftrightarrow 3x – y – z = 0$
Nên d sai.
Câu 10. Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( {1;2; – 1} \right);B\left( { – 1;0;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y – z + 1 = 0$ .
a) $\overrightarrow {AB} = \left( {1;1; – 1} \right)$.
b) Khoảng cách từ điểm $B$ đến $(P)$ bằng $1$.
c) Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ qua $A,B$ và vuông góc với $\left( P \right)$ là $x + z = 0$.
d) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{7\sqrt 6 }}{6}$
Lời giải
| a) | b) | c) | d) |
| Sai | Sai | Đúng | Đúng |
a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { – 2; – 2;2} \right)$ nên a sai.
b) $d\left( {B;(P)} \right) = \frac{{\left| { – 1 + 2.0 – 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 1)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}$ nên b sai.
c) Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ qua $A,B$ và vuông góc với $\left( P \right)$ là $x + z = 0$. $\overrightarrow {AB} = \left( { – 2; – 2;2} \right)$
$\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;2; – 1} \right)$
Suy ra $(Q)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( { – 2;0; – 2} \right) = – 2\left( {1;0;1} \right)$
Nên $(Q)$ có phương trình $\left( P \right):1\left( {x – 1} \right) + 0\left( {y – 2} \right) + 1\left( {z + 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow {\text{x + z = 0}}$ nên b đúng.
d) $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 4 + 1 + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{{7\sqrt 6 }}{6}$ nên c đúng.
