Các dạng trả lời ngắn các yếu tố liên quan đến mặt phẳng trong không gian Oxyz được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến, điểm thuộc và không thuộc mặt phẳng
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A(0;1; – 1),B(1;1;2),C(1; – 1;0)$. Biết $[\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ] = (a;b;c)$. Tính $a + b + c$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {BC} = (0; – 2; – 2)$, $\overrightarrow {BD} = ( – 1; – 1; – 1)$
$ \Rightarrow [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ] = \left( {\left| \begin{gathered}
– 2\,\, – 2 \hfill \\
– 1\,\,\,\, – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
– 2\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \\
– 1\,\,\,\, – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
\,\,0\,\,\,\, – 2 \hfill \\
– 1\,\,\,\, – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right|} \right)$$ = (0;2; – 2)$
Vậy $a + b + c = 0 + 2 + ( – 2) = 0$.
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A(2;0;2),B(1; – 1; – 2)$ và $C( – 1;1;0)$.
Biết $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (a;b;c)$. Tính $a + b + c$.
Lời giải
$\overrightarrow {AC} = ( – 3;1; – 2)$, $\overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1; – 4)$
$ \Rightarrow [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\, – 2 \hfill \\
– 1\,\,\, – 4 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
– 2\,\,\,\,\, – 3 \hfill \\
– 4\,\,\,\, – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right|;\left| \begin{gathered}
\, – 3\,\,\,\,\,1 \hfill \\
– 1\,\,\,\, – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right|} \right)$$ = ( – 6; – 10;4)$
Vậy $a + b + c = – 6 + ( – 10) + 4 = – 12$.
Câu 3. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1; – 2;0),B(2;0;3),C( – 2;1;3)$ và $D(0;1;1)$. Tính $[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AD} $.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {AB} = (1;2;3)$; $\overrightarrow {AC} = ( – 3;3;3)$; $\overrightarrow {AD} = ( – 1;3;1)$.
$[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( – 3; – 12;9)$
$[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] \cdot \overrightarrow {AD} = ( – 3) \cdot ( – 1) + ( – 12) \cdot 3 + 9 \cdot 1 = – 24$
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxyz$, cho phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P):2x – 6y – 8z + 1 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$có tạo độ là $\left( {1;b;c} \right)$. Giá trị $2b + c$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(P):2x – 6y – 8z + 1 = 0$ nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có tọa độ là $(2; – 6; – 8)$ nên $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \frac{1}{2}.(2; – 6; – 8) = (1; – 3; – 4)$.
Vậy $2b + c = – 6 + ( – 4) = – 10$.
Câu 5. Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\overrightarrow a = \left( { – 5;3; – 1} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {1;2;1} \right)$, $\overrightarrow c = \left( {m;3; – 1} \right).$ Tìm giá trị của $m$ sao cho $\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right]$.
Lời giải
$\left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right] = \left( { – 5;m + 1;3 – 2m} \right)$
Ta có: $\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m + 1 = 3 \hfill \\
3 – 2m = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow m = 2$.
Vậy $m = 2$
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow u = \left( {1;1;2} \right)$, $\overrightarrow v = \left( { – 1;m;m – 2} \right)$. Gọi ${m_1}$ và ${m_2}$ là hai giá trị để $\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \sqrt {14} $. Tính ${m_1} + {m_2}$.
Lời giải
$\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { – m – 2; – m;m + 1} \right)$
$ \Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]} \right| = \sqrt {{{\left( {m + 2} \right)}^2} + {m^2} + {{\left( {m + 1} \right)}^2}} $$ = \sqrt {3{m^2} + 6m + 5} $
$\left| {\left[ {\vec u,\vec v} \right]} \right| = \sqrt {14} \Leftrightarrow 3{m^2} + 6m + 5 = 14$$ \Leftrightarrow 3{m^2} + 6m – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
m = 1 \hfill \\
m = – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy ${m_1} + {m_2} = 1 – 3 = – 2$
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow m = \left( {4;3;1} \right)$, $\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$. Gọi $\overrightarrow p $ là vectơ cùng hướng với $\left[ {\overrightarrow m ,\overrightarrow n } \right]$ (tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow m $ và $\overrightarrow n $) sao cho $\left| {\overrightarrow p } \right| = 15$. Biết $\overrightarrow p = \left( {a;b;c} \right)$.Tính $a + b + c$.
Lời giải
Ta có : $\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right] = \left( {3; – 4;0} \right)$
Do $\overrightarrow p $ là vectơ cùng hướng với $\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]$ nên $\overrightarrow p = k\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right]$, $k > 0$
Mặt khác: $\left| {\overrightarrow p } \right| = 15$$ \Leftrightarrow k.\left| {\left[ {\overrightarrow m ,\overrightarrow n } \right]} \right| = 15$$ \Leftrightarrow k.5 = 15$$ \Leftrightarrow k = 3$.
Suy ra $\overrightarrow p = k\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right] = 3\left[ {\overrightarrow m ;\overrightarrow n } \right] = \left( {9; – 12;0} \right)$.
Vậy $a + b + c = 9 – 20 + 0 = – 11$.
Câu 8. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A(0;1; – 2),B(1;2;1),C(4;3;m)$. Tim giá trị của $m$ để $[\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ].\overrightarrow {OC} = 0$
Lời giải
Ta có $\overrightarrow {OA} = (0;1; – 2),\overrightarrow {OB} = (1;2;1)$, $\overrightarrow {OC} = (4;3;m)$.
$[\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] \cdot \overrightarrow {OC} = 0$$ \Leftrightarrow 5.4 – 2.3 – 1m = 0 \Leftrightarrow m = 14$
Vậy $m = 14$.
Dạng 2: Hai mặt phẳng song song, vuông góc; khoảng cách một điểm đến mặt phẳng
Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( { – 1;2; – 3} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x – 2y + z + 5 = 0$. Tính khoảng cách từ điểm $M$đến mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $b > 0$. Tính $a + b$.
Lời giải
Khoảng cách từ điểm $M$đến mặt phẳng $\left( P \right)$: $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { – 1} \right) – 2.2 + 1.\left( { – 3} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{3}$.
Vậy $a + b = 4 + 3 = 7$.
Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y – 2z – 16 = 0$ và $\left( Q \right):x + 2y – 2z – 1 = 0$ bằng bao nhiêu?
Lời giải
Ta có $\left( P \right)//\left( Q \right)$$ \Rightarrow d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| { – 16 – \left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 5.$
Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, điểm $M$ thuộc trục $Oy$ và cách đều hai mặt phẳng: $(P):x + y – z + 1 = 0$ và $\left( Q \right):x – y + z – 5 = 0$. Biết $M\left( {a;\,b;\,c} \right)$ . Tính $a + b + c$.
Lời giải
Ta có $M \in Oy\, \Rightarrow \,M\left( {0;\,y;\,0} \right)$.
Theo giả thiết: $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{{\left| {y + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\left| { – y – 5} \right|}}{{\sqrt 3 }}\,\, \Leftrightarrow \,y = – 3$.
Suy ra $M\left( {0;\, – 3;\,0} \right)$
Vậy $a + b + c = 0 + ( – 3) + 0 = – 3$.
Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $A(1\;;\;2\,;\,3)$, $B\left( {3\,;\,4\,;\,4} \right)$. Tìm giá trị của tham số $m$ sao cho khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $2x + y + mz – 1 = 0$ bằng độ dài đoạn thẳng $AB$.
Lời giải
Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2\,;\,2\,;\,1} \right)$$ \Rightarrow $$AB = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} = 3\,\,\,\,\left( 1 \right)$.
Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$: $d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 2 + m.3 – 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {m^2}} }}$$ = \frac{{\left| {3m + 3} \right|}}{{\sqrt {5 + {m^2}} }}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$.
Để $AB = d\left( {A\,,\,\left( P \right)} \right) \Rightarrow 3 = \frac{{\left| {3m + 3} \right|}}{{\sqrt {5 + {m^2}} }}$$ \Leftrightarrow 9\left( {5 + {m^2}} \right) = 9{\left( {m + 1} \right)^2}$$ \Leftrightarrow m = 2$.
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng (P): $2x – y + 3z – 4 = 0$ và điểm $M$ trên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng (P) nhỏ nhất. Biết $M\left( {a;\,b;\,c} \right)$ . Tính $a + b + c$.
Lời giải
Khoảng cách từ M đến (P) nhỏ nhất khi M thuộc (P). Nên M là giao điểm của trục Oy với mặt phẳng (P). Thay x = 0, z = 0 vào phương trình (P) ta được $y = – 4$.
Suy ra M(0;-4;0).
Vậy $a + b + c = 0 + ( – 4) + 0 = – 4$.
Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, gọi $M$ là điểm nằm trên trục $Oz$ sao cho $M$ cách đều điểm $A\left( {2;3;4} \right)$ và mặt phẳng$\left( P \right):2x + 3y + z – 17 = 0$. Biết $M\left( {a;\,b;\,c} \right)$ . Tính $a + b + c$.
Lời giải
Đáp án: $M\left( {0;0;3} \right)$
Vì $M \in Oz$ $ \Rightarrow $ $M\left( {0;0;m} \right)$. Ta có: $MA = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {{(4 – m)}^2}} $; $d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {m – 17} \right|}}{{\sqrt {14} }}$.
$M$ cách đều điểm $A\left( {2;3;4} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + 3y + z – 17 = 0$ khi $\sqrt {{2^2} + {3^2} + {{\left( {4 – m} \right)}^2}} = \frac{{\left| {m – 17} \right|}}{{\sqrt {14} }} \Leftrightarrow 13{\left( {m – 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = 3$.
Suy ra $M\left( {0;0;3} \right)$.
Vậy $a + b + c = 0 + 3 + 0 = 3$.
Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1;\,2;\,3} \right)$, $B\left( {5;\, – 4;\, – 1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $Ox$sao cho $d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A;\left( P \right)} \right)$, $\left( P \right)$ cắt $AB$ tại $I\left( {a;\,b;\,c} \right)$ nằm giữa $AB$. Tính $a + b + c$.
Lời giải
Đáp án: $a + b + c = 4$
Vì $d\left( {B;\left( P \right)} \right) = 2d\left( {A;\left( P \right)} \right)$ và $\left( P \right)$ cắt đoạn $AB$ tại $I$ nên
$\overrightarrow {BI} = – 2\overrightarrow {AI} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a – 5 = – 2(a – 1)} \\
{b + 4 = – 2(b – 2)} \\
{c + 1 = – 2(c – 3)}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = \frac{7}{3}} \\
{b = 0} \\
{c = \frac{5}{3}}
\end{array}} \right.$.
Vậy $a + b + c = \frac{7}{3} + 0 + \frac{5}{3} = 4$.
Câu 16. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):3x + 4y – 12z + 5 = 0$ và điểm $A\left( {2;4; – 1} \right)$. Trên mặt phẳng $\left( P \right)$ lấy điểm $M$. Gọi $B$ là điểm sao cho $\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AM} $. Tính khoảng cách $d$ từ $B$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$.
Lời giải
Ta có: $\overrightarrow {AB} = 3.\overrightarrow {AM} \Rightarrow BM = 2.AM$$ \Rightarrow $ $\frac{{d\left( {B,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( P \right)} \right)}} = \frac{{BM}}{{AM}} = 2$
$ \Rightarrow d\left( {B,\left( P \right)} \right) = 2.d\left( {A,\left( P \right)} \right)$$ = 2.\frac{{\left| {3.2 + 4.4 – 12.\left( { – 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {{\left( { – 12} \right)}^2}} }} = 2.3 = 6$.
Câu 17. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):2x + my + 2mz – 9 = 0$ và $(Q):6x – y – z – 10 = 0$. Tìm $m$ dể $(P) \bot (Q)$.
Lời giải
Đáp án: $m = 4$
$(P):2x + my + 2mz – 9 = 0$ có VTPT $\vec a = (2;m;2m)$
(Q): $6x – y – z – 10 = 0$ có VTPT $\vec b = (6; – 1; – 1)$
$(P) \bot (Q) \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b = 0$
$ \Leftrightarrow 2.6 + m \cdot ( – 1) + 2m.( – 1) = 0 \Leftrightarrow m = 4$
Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):5x + my + z – 5 = 0$ và $(Q):nx – 3y – 2z + 7 = 0$. Biết $(P)//(Q)$. Tính $2m + n$.
Lời giải
$(P):5x + my + z – 5 = 0$ có VTPT $\vec a = (5;m;1)$
(Q): $nx – 3y – 2z + 7 = 0$ có VTPT $\vec b = (n; – 3; – 2)$
$(P)//(Q) \Leftrightarrow [\vec a;\vec b] = \vec 0$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ – 2m + 3 = 0} \\
{n + 10 = 0} \\
{ – 15 – mn = 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = \frac{3}{2}} \\
{n = – 10}
\end{array}} \right.} \right.$
Vậy $2m + n = 3 + ( – 10) = – 7$.
Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):2x – my – 4z – 6 + m = 0$ và $(Q):(m + 3)x + y + (5m + 1)z – 7 = 0$. Tìm $m$ để $(P) \equiv (Q)$.
Lời giải
$(P) \equiv (Q)$$ \Leftrightarrow \frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ – m}}{1} = \frac{{ – 4}}{{5m + 1}} = \frac{{ – 6 + m}}{{ – 7}}$$ \Leftrightarrow m = – 1$
Câu 20. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y – z + 3 = 0$; $\left( Q \right):2x + y + z – 1 = 0$. Mặt phẳng $\left( R \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;1;1} \right)$ chứa giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$; phương trình của $\left( R \right):m\left( {x – 2y – z + 3} \right) + \left( {2x + y + z – 1} \right) = 0$. Khi đó giá trị của $m$ là bao nhiêu?
Lời giải
Vì $\left( R \right):m\left( {x – 2y – z + 3} \right) + \left( {2x + y + z – 1} \right) = 0$ đi qua điểm $M\left( {1;1;1} \right)$ nên ta có:
$m(1 – 2.1 – 1 + 3) + (2.1 + 1 + 1 – 1) = 0$$ \Leftrightarrow m = – 3$.
Câu 21. Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm $A\left( {1;0;0} \right),\,B\left( {0;\,b;\,0} \right)\,,\,C\left( {0;\,0;\,c} \right)$ trong đó $b.c \ne 0$ và mặt phẳng$\left( P \right):y – 3z + 1 = 0$. Biết mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Tính $\frac{c}{b}$.
Lời giải
• Phương trình $\left( {ABC} \right)$: $\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$$ \Rightarrow (ABC)$ có VTPT: $\overrightarrow n = \left( {1;\,\frac{1}{b};\,\frac{1}{c}} \right)$.
• Phương trình $\left( P \right):y – z + 1 = 0$ $ \Rightarrow \left( P \right)$ có VTPT: $\overrightarrow {n’} = \left( {0;\,1;\, – 3} \right)$.
• $\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {n’} = 0$$ \Leftrightarrow \frac{1}{b} – \frac{3}{c} = 0 \Leftrightarrow c = 3b$$ \Rightarrow \frac{c}{b} = 3$.
Câu 22. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,ax – y + 2z + b = 0$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( P \right):\,x – y – z + 1 = 0$ và $\left( Q \right):\,x + 2y + z – 1 = 0$. Tính $a + 4b$.
Lời giải
Trên giao tuyến $\Delta $ của hai mặt phẳng $\left( P \right),\,\left( Q \right)$ ta lấy lần lượt 2 điểm $A,\,B$ như sau:
Lấy $A\left( {x;\,y;\,1} \right) \in \Delta $, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{gathered}
x – y = 0 \hfill \\
x + 2y = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow x = y = 0 \Rightarrow A\left( {0;\,0;\,1} \right)$.
Lấy $B\left( { – 1;\,y;\,z} \right) \in \Delta $, ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y + z = 0} \\
{2y + z = 2}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = 2} \\
{z = – 2}
\end{array}} \right.$$ \Rightarrow B( – 1;2; – 2)$.
Vì $\Delta \subset \left( \alpha \right)$ nên $A,\,B \in \left( \alpha \right)$. Do đó ta có: $\left\{ \begin{gathered}
2 + b = 0 \hfill \\
– a + b – 6 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 8 \hfill \\
b = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy $a + 4b = – 8 + 2.\left( { – 2} \right) = – 16.$
Câu 23. Gọi $m,n$ là hai giá trị thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {{P_m}} \right):mx + 2y + nz + 1 = 0$ và $\left( {{Q_m}} \right):x – my + nz + 2 = 0$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right):4x – y – 6z + 3 = 0$. Tính $m + n$.
Lời giải
+ $\left( {{P_m}} \right):mx + 2y + nz + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} \left( {m;2;n} \right)$.
$\left( {{Q_m}} \right):x – my + nz + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} \left( {1; – m;n} \right)$.
$\left( \alpha \right):4x – y – 6z + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\alpha }} \left( {4; – 1; – 6} \right)$.
+ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {{P_m}} \right)$ và $\left( {{Q_m}} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nên $\left\{ \begin{gathered}
\left( {{P_m}} \right) \bot \left( \alpha \right) \hfill \\
\left( {{Q_m}} \right) \bot \left( \alpha \right) \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \hfill \\
\overrightarrow {{n_2}} \bot \overrightarrow {{n_\alpha }} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 0 \hfill \\
\overrightarrow {{n_2}} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
4m – 2 – 6n = 0 \hfill \\
4 + m – 6n = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m = 2 \hfill \\
n = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right..$
Vậy $m + n = 3$.
Câu 24. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( Q \right):x + y + z + 3 = 0$ và điểm $M\left( {3;\,2;\,1} \right)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng song song với $(Q)$ và cách điểm $M$ một khoảng bằng $3\sqrt 3 $. Biết $(P):x + by + cz + d = 0$. Tính $3b + c + d$.
Lời giải
Ta có mặt phẳng cần tìm là $\left( P \right):x + y + z + d = 0$ với $d \ne 3$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ cách điểm $M\left( {3;\,2;\,1} \right)$ một khoảng bằng $3\sqrt 3 $$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {6 + d} \right|}}{{\sqrt 3 }} = 3\sqrt 3 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
d = 3 \hfill \\
d = – 15 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ đối chiếu điều kiện suy ra $d = – 15$.
Do đó $\left( P \right):x + y + z – 15 = 0$.
Vậy $3b + c + d = 3 + 1 – 15 = – 11$.
Câu 25. Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ có hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm $A\left( {1;1;1} \right)$ và $B\left( {0; – 2;2} \right)$, đồng thời cắt các trục tọa độ $Ox,Oy$ tại hai điểm cách đều $O$. Giả sử $\left( P \right)$ có phương trình $x + {b_1}y + {c_1}z + {d_1} = 0$ và $\left( Q \right)$ có phương trình $x + {b_2}y + {c_2}z + {d_2} = 0$. Tính giá trị biểu thức ${b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}$.
Lời giải
Cách 1
Xét mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình $x + by + cz + d = 0$thỏa mãn các điều kiện: đi qua hai điểm $A\left( {1;1;1} \right)$ và $B\left( {0; – 2;2} \right)$, đồng thời cắt các trục tọa độ $Ox,Oy$ tại hai điểm cách đều $O$.
Vì $\left( \alpha \right)$ đi qua $A\left( {1;1;1} \right)$ và $B\left( {0; – 2;2} \right)$ nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{gathered}
1 + b + c + d = 0 \hfill \\
– 2b + 2c + d = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$ $\left( * \right)$
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$cắt các trục tọa độ $Ox,Oy$lần lượt tại $M\left( { – d;0;0} \right),N\left( {0;\frac{{ – d}}{b};0} \right)$.
Vì $M,N$ cách đều $O$ nên $OM = ON$. Suy ra: $\left| d \right| = \left| {\frac{d}{b}} \right|$.
Nếu $d = 0$ thì chỉ tồn tại duy nhất một mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán (mặt phẳng này sẽ đi qua điểm $O$).
Do đó để tồn tại hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: $\left| d \right| = \left| {\frac{d}{b}} \right| \Leftrightarrow b = \pm 1$.
• Với $b = 1$, $\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
c + d = – 2 \hfill \\
2c + d = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
c = 4 \hfill \\
d = – 6 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Ta được mặt phẳng $\left( P \right)$: $x + y + 4z – 6 = 0$
• Với $b = – 1$, $\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
c + d = 0 \hfill \\
2c + d = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
c = – 2 \hfill \\
d = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Ta được mặt phẳng $\left( Q \right)$: $x – y – 2z + 2 = 0$
Vậy: ${b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 1.\left( { – 1} \right) + 4.\left( { – 2} \right) = – 9$.
Cách 2
$\overrightarrow {AB} = \left( { – 1; – 3;1} \right)$
Xét mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình $x + by + cz + d = 0$thỏa mãn các điều kiện: đi qua hai điểm $A\left( {1;1;1} \right)$ và $B\left( {0; – 2;2} \right)$, đồng thời cắt các trục tọa độ $Ox,Oy$ tại hai điểm cách đều $O$
lần lượt tại $M,N$. Vì $M,N$cách đều $O$nên ta có 2 trường hợp sau:
TH1: $M(a;0;0),N(0;a;0)$với$a \ne 0$ khi đó $\left( \alpha \right)$chính là $\left( P \right)$. Ta có $\overrightarrow {MN} = ( – a;a;0)$, chọn $\overrightarrow {{u_1}} = ( – 1;1;0)$ là một véc tơ cùng phương với $\overrightarrow {MN} $. Khi đó ${\overrightarrow n _{_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = ( – 1; – 1; – 4)$,
suy ra $\left( P \right):x + y + 4z + {d_1} = 0$
TH2: $M( – a;0;0),N(0;a;0)$với$a \ne 0$ khi đó $\left( \alpha \right)$chính là $\left( Q \right)$. Ta có $\overrightarrow {MN} = (a;a;0)$, chọn $\overrightarrow {{u_2}} = (1;1;0)$ là một véc tơ cùng phương với $\overrightarrow {MN} $. Khi đó ${\overrightarrow n _{_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( – 1;1;2)$,
suy ra $\left( Q \right):x – y – 2z + {d_2} = 0$
Vậy: ${b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 1.\left( { – 1} \right) + 4.\left( { – 2} \right) = – 9$.
